2023-2024学年上海市高二年级上册12月月考数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年上海市高二上册12月月考数学模拟试题

一、填空题

1.已知数列是等差数列，为=18,%=3,则旬=

【正确答案】--##-64.5

2

【分析】根据题意计算出等差数列的首项和公差即可求解.

_5\

伍+2d=18%=万

【详解】设公差为d,则由题意得'。解得

[%+6"=3d

:一一了

……5115、129

所以％=4+24J=y+24xl-yj=---,

129

故答案为：.

2.平行六面体的每个面都是.

【正确答案】平行四边形

【分析】根据平行六面体的定义即可求解.

【详解】根据平行六面体的定义可知：平行六面体的每个面都是平行四边形.

故平行四边形

3.掷两颗骰子，则所得的点数之和为6的概率为.

【正确答案】三

36

【分析】掷两颗骰子得到有序数对(XJ),事件“正面朝上的点数之和为6”的基本事件有：

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(1,5)共有5个基本事件，而所有的基本事件有36个，由此结

合随机事件的概率公式即可算出本题的概率.

【详解】记两颗骰子的点数分别为x,夕，得掷两颗骰子得到有序数对(不，)

则x、V的值可能是1,2,…，6共六种情况，共6x6=36个基本事件.

事件“正面朝上的点数之和为6”的基本事件有：

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(1,5)

共有5个基本事件因此，点数之和为6的概率为尸=(

故。

36

4.在等比数列｛““｝中，若其前〃项和S“=3"+*则沏）“=

【正确答案】2x325。

【分析】利用等比数列。“与E,的关系求解.

【详解】由题可得q=£=3+”，

当〃22时，a„=Sn-S,,_|=3"+a-(3"T+a)=2•,

因为｛%｝为等比数列，所以为=3+。满足=2・3”',

所以3+a=2解得a=-1,

所以a“=2-3i,〃eN*,

所以。2。"=2乂32"°,

故答案为：2x3刘。.

5.若圆锥的侧面积为。平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的半径

为

【正确答案】立迈

2不

【分析】根据侧面积得到A=，故2兀r=nR,解得答案.

【详解】设侧面展开图的半径为A,则S=；乃•斤=a,即A=

圆锥的底面的半径/满足24=",故r=1迈.

2万

故答案为.警

本题考查了圆锥展开图的相关计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

6.若长方体的对角线的长为9cm,其长、宽、高的和是15cm,则长方体的全面积是

【正确答案】144cm2

【分析】设长方体的长、宽、高分别为x，y，z,利用（x+y+z『可构造方程求得29+2xz+2yz,

即为所求的全面积.

x+y+z=15

【详解】设长方体的长、宽、高分别为％y，z,则

旧+/+z2=9'

z.(XH-^4-Z)~=X2+^2+Z2+2ry+2rz+2yz=81+2xy+2cz+2yz=225,

.-.2xy+2xz+2yz=144,即长方体的全面积为144cm2.

故答案为.144cm?

7.口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概

率为0.65,摸出黄球或白球的概率为0.6,那么摸出白球的概率为.

【正确答案】0.25

【详解】设摸出白球、红球、黄球的事件分别为4民C,根据互斥事件概率加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）=0.65,+C）=P（A）+P（C）=0.6,

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=1,解得P（/）=0.25.

8.如图，在直四棱柱44GA中，ZADC^90°,S.AAt^AD=DC=2,MG平面

ABCD,当D、M1平面4C,D时，DM=.

【正确答案】2行

【分析】建系，根据题意利用空间向量的坐标运算可求点M的坐标，即可得结果.

【详解】如图，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，则

0（0,0,0）,（2,0,2）,C,（0,2,2）,0,（0,0,2）,

UUULLUUULUUIU

由题意可设用（4,6,0）,则八也=（",b,-2）,=（2,0,2）,£>G=（0,2,2,

[Z）,M-P4=2d-4=O[a=2

若〃"，平面4CQ,则FT,解得即加2,2,0,

[D.M-DA,=2fe-4=0W=2

故OM=>/22+22+02=2V2.

故答案为.2亚

9.球面上三点/、B、C,AB=\S,8c=24,AC=30,球心到平面Z8C的距离为球半径的

一半，则球半径为.

【正确答案】10^/3

【分析】由题意可知：AB1BC,Z8C为直角三角形，外接圆圆心为斜边ZC的中点，结

合条件，利用勾股定理即可求解.

【详解】因为48=18,8c=24,AC=30,所以48?+BC?=XC?,

所以ABC为直角三角形,则/C为球小圆的直径，设球半径为R,

如图：

由题意可知：§）2+152=/?2,解得：R=IO百，

故答案为.10百

10.下列四个正方体图形中，/、8为正方体的两个顶点，M、N、尸分别为其所在棱的中点,

能得出相〃平面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）.

【正确答案】①③

【分析】根据线面平行的判定和性质，以及面面平行的性质即可得解.

【详解】对于①：易知平面尸平行于正方体右侧平面，

根据面面平行的性质即可得出AB平行于平面MNP.

对于②：若平行于平面MNP,

因为/8u平面48。，且平面48。与平面A/N尸交线为N0,

则根据线面平行的性质可得，48平行于N。，

所以煞'=4"，这与矛盾，故该选项错误；

QDND11

对于③：

由中位线定理可得MP平行于CD,

而C。平行于所以"平行于"尸平面M7VP,MPu平面MNP,

所以48〃平面MNP

对于④：如图，连接GE,EN,因为M,N为所在棱的中点，则MN//EF,

故平面MNP即为平面MNEF,由正方体可得ABHEG,

而平面48GE平面MNEF=EM,若4B"平面MNP,

由u平面48GE可得48//E",故EG〃EA/,矛盾，故该选项错误

故①③.

二、双空题

11.棱长为。的正四面体的全面积为,体积为.

【正确答案】氐20

【分析】设力88是棱长为。的正四面体，即可直接求得其全面积，作平面BCD于。,

则。为△8CQ的中心，求出8。的长，由此可求出正四面体的高/。的长，进而可求得正四

面体的体积.

【详解】如图设是棱长为。的正四面体，则正四面体的全面积为4x无/=6”2,

作40,平面8CZ）于O,则O为△8CZ）的中心，则8。=2x^a=立4,

323

所以正四面体的高为40='/-1芋J

所以正四面体的体积为?汐、冬=*.

故百/;1

12.已知球的两个平行截面的面积分别为49兀、400兀，且两个截面之间的距离是9,则球的

表面积为,体积为.

【正确答案】2500兀返言兀

【分析】先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面，再根据球的性质和已知条件列方

程求出球的半径.由于球的对称性，应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧和异

侧的情形，加以分类讨论.

【详解】下图为球的一个大圆截面.

2

7t-=49兀，n-O2B=400TT，则0/=7,02B=20

（1）当两截面在球心同侧时，

OQ-0Q=9=^2-202，

解得收=625,S球=4/=2500rt,喂=1力?'=等2兀,.

（2）当两截面在球心异侧时，

OO,+。。2=9=V/?2-72+加2-2&,无解.

三、单选题

13.已知/是直线，尸是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）

A.若/〃a,IP,则a〃6B.若I//a,则/1£

C.若/_La,/P，则D.若/〃a,a///3,则//

【正确答案】C

【分析】根据线面、面面之间的平行、垂直的判定和性质即可求解.

【详解】对于选项A：若/〃a,/P，存在a,月相交的情况，故该选项错误;

对于选项B：若al£,I//a,存在/在尸内或/〃6或/,月相交的情况，故该选项错误；

对于选项C：若/_La,/£,a、4是两个不同平面，则C夕，故该选项正确；

对于选项D：若/〃a,a//j3,存在/在尸内，故该选项错误.

故选：C.

14.在国庆阅兵中，某兵种A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,

则B先于A,C通过的概率为

A，B—C—D—

632U-3

【正确答案】B

将所有的情况枚举出来再分析即可.

【详解】用(4民C)表示4尻C通过主席台的次序,则所有可能的次序为

(4B,C),(4C,8),(5,4C),(B,C,4),(C,4B),(C,SZ),共6种，其中B先于A,C通过的有

(B,C,A)和(8,4C),共2种，故所求概率尸=：=J

63

故选：B

本题主要考查了古典概型的一般方法，根据枚举求解即可.属于基础题型.

15.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙

分得红牌''是()

A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.必然事件

【正确答案】B

【分析】利用互斥事件和对立事件的定义求解.

【详解】解：把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，

则事件“甲分得红牌”与事件"乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件,

但除了甲分得红牌，乙分得红牌，还有丙分得红牌，则两者不是对立事件，

所以事件，,甲分得红牌，，与事件“乙分得红牌，，是互斥但不对立事件,

故选：B

16.连掷两次骰子得到的点数分别为加和“，记向量二(〃?,〃)与向量了=(1,-1)的夹角为6,

则的概率是()

\_5

B.D.

76

【正确答案】C

【分析】由®《0,1,得出：工1%-"20,计算出基本事件的总数以及事件加2”所包含

的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.

【详解】6*e|0,y,:.a-b^m-n>0^即加2w,

事件“0€（0e”所包含的基本事件有：（1,1）、（2,1）、（2,2）、（3,1）、（3,2）、（3,3）、（4,1）、

（4,2）、（4,3）、（4,4）、（5,1）、（5,2）、（5,3）、（5,4）、（5,5）、（6,1）、（6,2）、（6,3）、（6,4）、

（6,5）、（6,6）,共21个，

所有的基本事件数为6?=36,因此，事件“。€（0微，，的概率为£=卷.

故选：C.

本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是求出总的基本事件数和

所求事件所包含的基本事件数，考查计算能力，属于中等题.

四、解答题

17.如图所示，在长方体中，N8=4D=1,44/=2,M是棱C。的中点.证

明：平面平面

【正确答案】证明见解析

【分析】通过长方体的几何性质证得用W1/圈,通过计算证明证得_L玛M,由此证得

8M1平面从而证得平面平面4及河.

【详解】由长方体的性质可知48/J•平面8CC/8/,

又8/Wu平面BCCiBi,

又9=2,又为CC/的中点,

：.C/M=CM=l.在中，BiM=在何+CM。=叵,

同理向耳后/=应，又8由=2,

222

：.BtM+BM=BiB,从而BMLBiM.

又A山QBiM=Bi,平面小

,?8A/u平面ABM,：.平面J_平面/

本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

18.如图，在三棱柱为8c-4AG中，ACIBC,AB1BBt,AC=BC=BB、=2,D为AB

⑴求证：8G〃平面a。；

（2）求三棱锥4-4DC的体积.

【正确答案】（1）见解析；

【分析】（1）利用中位线的方法，结合线面平行的判定定理来证得8G〃平面射。.

（2）利用锥体体积公式，及等体积法计算出三棱锥片-/QC的体积.

【详解】（1）设/Gc4c=o,所以。是zq的中点，连接OD,如图,

aG

由于。是的中点，所以OD//BC-

由于g<z平面。。u平面

所以8G〃平面a。.

(2)由于4c=8C,所以CD_L/8,

由于。_LO4,O4c/8=。，力Bu平面49BM，所以c。，平面4844.

由于/C18C,所以48=+2?=26C£>=也,

2

因为所以工4印>=348「8归=拒、2=2五，

所以%-4欧=CD&，附=；x近x2V2=：

19.已知/8C。是空间四边形，如图所示(M,N,E,F分别是48、AD.BC、CO上

的点).

C

(1)若直线MN与直线E尸相交于点。，证明B,D,。三点共线；

(2)若E,N为BC,力。的中点，AB=6,DC=4,NE=2,求异面直线48与DC所成的

角.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)arccos—

【分析】(1)根据点与线和点与面的位置关系推出。是平面和的公共点，结合平

面平面=即可证明；

(2)连接8。，作8。的中点G,并连接GN,GE,利用中位线的性质可以得到异面直线48

与DC所成的角等于直线GE与GN所成角,再根据余弦定理即可求解.

【详解】(1)因为NeAD,48u平面48£),4Ou平面/BO,

所以MVu平面4B。，

因为FeCD,08(=平面。8。，CDu平面430,

所以EFu平面CBD,

由于直线MN与直线E尸相交于点。，

即OeMV,。€平面/B。，OGEF,0G平面C8。，

又有平面/8Oc平面C5Z)=8D,则Oe8Z),

所以8,D,。三点共线.

(2)连接80,作8。的中点G,并连接GN,GE,如图所示：

在中，点N,G分别是49和8。的中点，且/8=6,

所以GN〃AB,且GN=—/8=3,

2

在△CBO中，点E,G分别是8c和8。的中点，且CZ)=4,

所以GE〃CZ>,且GE=；CD=2,

则异面直线/8与QC所成的角等于直线GE与GN所成角，即2EGN或ZEGN的补角,

Przr…道汨GE2+GN2-EN2i+3

又EN=2,由余弦7E理得：cosZ.EGN=--------------=--------=T>0n,

2GExGN2x2x34

一3

故异面直线AB与DC所成的角为arccos-.

4

20.小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则:小王先掷一枚骰子，向上的点数

记为x;小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y,

(1)在直角坐标系xQy中，以(x,历为坐标的点共有几个?试求点(xj)落在直线x+y=7上的概率；

(2)规定:若x+j^lO,则小王赢；若x+)《4,则小李赢，其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平

吗?请说明理由.

【正确答案】(1)36个，概率为1：(2)公平.

【分析】(1)根据题意判断为古典概型，所有的基本事件总数为36个，其中点(x/)落在直

线x+y=7上包含6种情况，故概率为尸=3=；;

366

(2)由题意，判断x+yN10和x+)W4的概率是否相等即可，根据古典概型概率公式求解即可.

【详解】⑴因都可取1,2,3,4,5,6,故以(xj)为坐标的点共有6x6=36个.

记“点(x/)落在直线元+y=7上”为事件A,

则事件A包含的点有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个,

由古典概型概率公式可得事件/的概率为P(4)=3=，

366

(2)记“x+y>0”为事件8,“x+胫4”为事件C,用数对(叼)表示的取值.

则事件B包含的基本事件为(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个数对；

事件C包含的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6个数对.

由(1)知基本事件总数为36个，

所以尸(8)='=；,

366Joo

所以小王、小李获胜的可能性相等，因此游戏规则是公平的.

21.如图，在四棱锥