天津二十一中学2024届九年级上册数学期末监测试题含解析

天津二十一中学2024届九上数学期末监测试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

3

1.已知cosa=-,则锐角a的取值范围是（）

4

A.0°<a<30°B.30°<«<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°

2

2.关于反比例函数y=一，下列说法不正确的是（）

x

A.函数图象分别位于第一、第三象限

B.当x>0时，y随x的增大而减小

C.若点A（xi,ji）,B（X2,J2）都在函数图象上，且xi〈X2,则yi>y2

D.函数图象经过点（1,2）

3.如图是二次函数y=。*2+云+，（a#0）的图象的一部分，给出下列命题:

①a+b+c=O；

②b>2a；

③ax2+^x+c=o的两根分别为-3和1；

④c=-3a,

其中正确的命题是（）

C.①③D.①③④

4.如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-2,0）和（2,0）.月牙①绕点B顺时针旋转90。得

到月牙②，则点A的对应点A，的坐标为（）

A.(2,2)B.(2,4)C.(4,2)D.(1,2)

5.一元二次方程/一3了+1=0的两个根为玉,毛，则片+3%2+否9-2的值是()

A.10B.9C.8D.7

6.某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：

A.众数是8B.中位数是8C.平均数是8.2D.方差是1.2

7.在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把A(3,4)逆时针旋转180。，得到点B,则点B的坐标为()

A.(4,-3)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(一3,—4)

8.如图，为。。的直径，尸。切。。于点C,交的延长线于O,且NZ)=40。，则NPC4等于()

C.65°D.75°

9.一个三角形的两边长分别为3和5,第三边长是方程%2一5%+6=()的根，则这个三角形的周长为()

A.10B.11C.10或11D.不能确定

10.下列关于抛物线y=2x2-3的说法，正确的是()

A.抛物线的开口向下

B.抛物线的对称轴是直线x=l

C.抛物线与X轴有两个交点

D.抛物线y=2x2-3向左平移两个单位长度可得抛物线y=2(x-2)2-3

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1,0),点。的坐标为(0,2),延长CB

交X轴于点A，作正方形4BCC，延长G4交X轴于点4,作正方形482G£,…按这样的规律进行下去，第〃个

正方形的面积为.

12.在一个有15万人的小镇，随机调查了1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一

个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是.

13.已知扇形的弧长为4兀，圆心角为120°,则它的半径为.

14.如图，在Rt^ABC中N5=50。，将△ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到△AOE.当点C在31G边所在直线上时

旋转角NBAB产一度.

15.关于x的方程x2-x-m=0有两个不相等实根，则m的取值范围是.

16.如图，把AABC沿AB边平移到△A，B，O的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是AABC的面积的

一半，若AB=2,则此三角形移动的距离AA，=.

17.如图，在AABC中，AB=AC,N5=70。，把AA8C绕点。顺时针旋转得到AE0C,若点B恰好落在AB边

上。处，则Nl='

E

18.在一个暗箱里放有，"个除颜色外其他完全相同的小球，这,”个小球中红球只有4个，每次将球搅匀后，任意摸出

一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%,那么可以推算机大约是

三、解答题（共66分）

19.（10分）某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的

价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系.

（1）试求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？

20.（6分）已知木棒AB垂直投射于投影面"上的投影为4耳，且木棒AB的长为8。〃.

（1）如图（1）,若平行于投影面求4用长;

（2）如图（2）,若木棒AB与投影面a的倾斜角为30，求这时4片长.

21.（6分）已知二次函数y=2/+bx-6的图象经过点（2,-6）,若这个二次函数与x轴交于A.5两点，与y轴交于

点C,求出△ABC的面积.

22.（8分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1,图2,图3中，是AABC的中线,

AF^BE,垂足为点P,像A4BC这样的三角形均为“中垂三角形.设BC=a,AC=b,A3=c.

(1)如图1,当/486=45°,。=2后时，则。=,b=

(2)如图2,当NABE=30',c=4时，贝!|。=，b=；

归纳证明

(3)请观察(1)(2)中的计算结果，猜想片,/,02三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关

系式；

拓展应用

(4)如图4,在OABCD中，E,£G分别是AZ),8C,CD的中点，且BE_LEG.若AO=2百，AB=AF=3,

求AF的长.

35

23.(8分)如图，在△ABC中，sinB=-，cosC=—,AB=5,求△ABC的面积.

52

24.(8分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别为AABC三边的长.

(1)如果x=-l是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

25.(10分)2019年全国青少年禁毒知识竞赛开始以来，某市青少年学生踊跃参加，掀起了学习禁毒知识的热潮，禁

毒知识竞赛的成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格.为了了解该市广大学生参加禁毒知识竞赛的成绩，抽

取了部分学生的成绩，根据抽查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：

(1)本次抽查的人数是;扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为:

(2)补全条形统计图；

(3)若某校有2000名学生，请你根据调查结果估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有多少

人？

A3S

26.(10分)九年级1班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选.

(1)男生当选班长的概率是；

(2)请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选正、副班长的概率.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、B

【分析】根据锐角余弦函数值在()°到9()。中，随角度的增大而减小进行对比即可；

【详解】锐角余弦函数值随角度的增大而减小，

*.,cos30°,cos45°=^-^->

22

若锐角a的余弦值为之，且也<2<立

4242

则30°<a<45"；

故选B.

【点睛】

本题主要考查了锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键.

2、C

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对D进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、C进行判断.

2

【详解】A.k=2>0,则双曲线丫=一的两支分别位于第一、第三象限，所以A选项的说法正确；

x

B.当x>0时，y随着x的增大而减小，所以B选项的说法正确；

C.若xiVO,X2>0,则yz>yi,所以C选项的说法错误；

22

D.把x=l代入y=—得y=2,则点（1,2）在丫=一的图象上，所以D选项的说法正确.

xx

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质：反比例函数V=K（k#0）的图象是双曲线；当k>0,双曲线的两支分别位于第一、

X

第三象限，在每一象限内y随X的增大而减小；当kVO,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随

x的增大而增大.

3^D

【分析】①观察图象可得，当x=l时，j=0,即a+A+c=O；

②对称轴x=-1,即--=-1,b=2a；

2a

③抛物线与x轴的一个交点为（1,0）,对称轴为x=-l,即可得。好+历:+c=0的两根分别为-3和1；

④当x=l时，y=0,即a+/>+c=（）,对称轴x=-l,即-1,h—2a,即可得c=-3a.

2a

【详解】解：观察图象可知：

①当x=l时，y=0,即a+b+c=O,

.•.①正确；

②对称轴x=-LBP--=-1,b=2a,

2a

.•.②错误；

③•.•抛物线与x轴的一个交点为（1,0）,对称轴为x=-L

.•.抛物线与x轴的另一个交点为（-3,0）

.,'.ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1,

.•.③正确；

④,当x=l时，y=0,即a+/>+c=O,

对称轴x=-l,BP--=-1,h=2a,

2a

.*.c=-3a,

.•.④正确.

所以正确的命题是①③④.

故选：D.

【点睛】

此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键.

4、B

【详解】解：连接A，B,由月牙①顺时针旋转90。得月牙②，可知A，B_LAB,且A，B=AB,由A(-2,0)、B(2,0)

得AB=4,于是可得A，的坐标为(2,4).

故选B.

5、D

【分析】利用方程根的定义可求得，町=3/-1,再利用根与系数的关系即可求解.

【详解】玉为一元二次方程3%+1=0的根,

X；=3X1-1,

/.x；+3/+-2=3F—1+3X2+x}x2-2=3(芯+w)+x}x2-3.

根据题意得玉+光2=3,再々=1，

x；+3X2+x1x2-2=3x3+l-3=7.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系内+々=-2,

a

王々=£是解题的关键.

a

6、D

【分析】首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差.

【详解】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8,中位数是

F3皿=10x2+9x2+8x3+7x2+6x1

8,平均数是--------------------------=8.2

10

士兴旦2x(10—8.2)2+2,(9—8.2)2+3x(8—8.2y+2x(7—8.2)2+(6—8.2产

万奉是-----------------------------------------------------------------=1.JO

10

故选D

【点睛】

本题主要考查统计的基本知识，关键在于众数、中位数、平均数和方差的概念.特别是方差的公式.

7、D

【分析】由题意可知点B与点A关于原点O中心对称，根据关于原点对称，横纵坐标均互为相反数可得B点坐标.

【详解】解：因为点B是以原点为旋转中心，把A(3,4)逆时针旋转180。得到的，所以点B与点A关于原点O中心对

称，所以点8(-3,T).

故选：D

【点睛】

本题主要考查了平面直角坐标系中的点对称，理解中心对称的定义是解题的关键.

8、C

【分析】根据切线的性质，由尸。切。。于点C得到NOCO=90。,再利互余计算出NOOC=50。，由NA=NACO,NCOD

=NA+NACO,所以NA=1NCOD=25。，然后根据三角形外角性质计算NPC4的度数.

2

【详解】解：・・・?。切。。于点C,

工OC工CD,

：.ZOCD=90°9

VZZ)=40°,

:.N0OC=9O。-40°=50°,

9：OA=OC9

:.ZA=ZACO,

♦：NCOD=NA+NACO,

：.ZA^-ZCOD=25°,

2

...NPCA=NA+NO=250+40°=65°.

故选C.

【点睛】

本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识；熟练掌握切线的性质与三

角形外角性质是解题的关键.

9、B

【分析】直接利用因式分解法解方程，进而利用三角形三边关系得出答案.

【详解】2

VX-5X+6=0>

.,.(x-3)(x-2)=0,

解得：玉=3,x2=2,

•..一个三角形的两边长为3和5,

...第三边长的取值范围是：5—3<x<5+3,即2<x<8,

则第三边长为：3,

.•.这个三角形的周长为：5+3+3=11.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了因式分解法解方程以及三角形三边关系，正确掌握三角形三边关系是解题关键.

10、C

【解析】根据二次函数的性质及二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律逐一判断即可得答案.

【详解】V2>0,

...抛物线y=2x2-3的开口向上，故A选项错误，

Vy=2x2-3是二次函数的顶点式，

.•.对称轴是y轴，故B选项错误，

V-3<0,抛物线开口向上，

•••抛物线与x轴有两个交点，故C选项正确，

抛物线y=2x2-3向左平移两个单位长度可得抛物线y=2(x+2)2-3,故D选项错误，

故选：C.

【点睛】

此题考查二次函数的性质及二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质及“左加右减，上加下减”的平移规律是解

题关键.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、5x(孕-2

2

【分析】推出AD=AB,ZDAB=ZABC=ZABAi=900=ZDOA,求出NADO=NBAAt,TJEADOA^AABAI,得出

求出AB,BAi,求出边长AIC=35,求出面积即可；求出第2个正方形的边长是，求出面积，

AB0D22

再求出第3个正方形的面积；依此类推得出第n个正方形的边长，求出面积即可.

【详解】•・,四边形ABCD是正方形,

AAD=AB,ZDAB=ZABC=ZABAi=90°=ZDOA,

AZADO+ZDAO=90°,ZDAO+ZBAAi=90°,

AZADO=ZBAAi,

VZDOA=ZABAi,

AADOA^AABAi,

.物OA1

»•---

AB~0D2

VAB=AD=722+12=A/5

•*.BAi=—\[5

2

...第2个正方形AiBiCiC的边长AiC=AiB+BC=&+逅=之应,

同理第3个正方形的边长是-75+-75=-V5V5

244

-2

面积是

3

第4个正方形的边长是^5,面积是5'

第n个正方形的边长是强人面积是5x(g)2"-2

故答案为：5x(1)2"-2

【点睛】

本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律,

题目比较好，但是一道比较容易出错的题目

1

12、一

5

【解析】根据概率的概念，由符合条件的人数除以样本容量，可得P(在日常生活中进行垃圾分类)=蒜=;・

故答案为m.

13、6

【解析】根据弧长公式可得.

【详解】解：：1=，Vl=4n,n=120,

XB0

IM

解得：r=6,

故答案为：6

【点睛】

本题考查弧长的计算公式，牢记弧长公式是解决本题的关键.

14、100

【分析】根据RS48C中NB=50。，推出NBCA=4()。，根据旋转的性质可知，AC=ACi,ZBCA=ZCi=40",求出

NCAG的度数，即可求出NA45的度数.

【详解】•..R3A5C中NB=50。，

AZBCA=40°,

•••△A8C绕直角顶点4顺时针旋转得到AAOE.当点C在61cl边所在直线上，

.*.ZCi=ZBCA=40°,AC=ACi,NCAB=NC,

AZACCi=ZCi=40",

AZBABi=ZCACi=100°,

故答案为：10().

【点睛】

本题考查了旋转的性质和等腰三角形的判定和性质，熟练掌握其判定和性质是解题的关键.

1

15>m>-----

4

【分析】根据根的判别式，令△>(),即可计算出m的值.

【详解】•••关于x的方程x2-x-m=0有两个不相等实根，

.*.△=1-4xlx(-m)=l+4m>0,

解得m>--.

4

故答案为-L.

4

【点睛】

本题考查了一元二次方程系数的问题，掌握根的判别式是解题的关键.

16、2-72

【分析】由题意易得阴影部分与AABC相似，然后根据相似三角形的面积比是相似比的平方可求解.

【详解】解:

把AABC沿AB边平移到的位置，，&AJBC^i.A'B'D,

它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是AABC的面积的一半，AB=2,

立=立即抽?=友，，A4，=2—血；

AB2

故答案为2-a.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

17、100

【分析】作AC与DE的交点为点O,则NAOD=NEOC,根据旋转的性质，CD=CB,即NCDB=NB=NEDC=70。,

NB=70。,则NADE=180"2NB=40。，再由AB=AC可得NB=NACB=70。即A=40°,再根据三角和定理即可得

ZAOD=180o-40°-40o=100°,即可解答.

【详解】如图，作AC交DE为O

则NAOD=NEOC

根据旋转的性质，CD=CB,

ZCDB=ZB=ZEDC=70°,NB=70°,则NADE=180°-2NB=40°

AB=AC

•••ZB=ZACB=70°

:.ZA=40°

ZAOD=180°-ZA-ZADO

ZAOD=180o-400-40o=100°

ZAOD=ZEOC

Z1=100°

【点睛】

本题考查旋转的性质，解题突破口是作AC与DE的交点为点O,即NAOD=NEOC.

18、1

【分析】由于摸到红球的频率稳定在25%,由此可以确定摸到红球的概率为25%,而机个小球中红球只有4个，由

此即可求出in.

【详解】•••摸到红球的频率稳定在25%,

,摸到红球的概率为25%,

而m个小球中红球只有4个，

.,・推算，"大约是4・25%=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，其中解题时首先通过实验得到事件的频率，然后利用频率估计概率即可解决问题.

三、解答题(共66分)

19、(1)y=-10000x+80000(2)当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元

【解析】试题分析：(1)设厂b+〃，再由题目已知条件不难得出解析式；(2)设利润为W,将印用含x的式子表

示出来，W为关于x的二次函数，要求最值，将解析式化为顶点式即可求出.

试题解析：

解：(1)设厂质+6,

3=5k+b

根据题意得:

'2=6k+b

解得：k=-l,b=8,

所以，y与*的函数关系式为尸一x+8；

(2)设利润为W,则W=(x—4)(―x+8)=—(x—6)2+4,

因为a=-1V0,所以当x=6时，W最大为4万元.

当销售价格定为6元时，才能使每月的利润最大，每月的最大利润是4万元.

点睛：要求最值，一般讲二次函数解析式写成顶点式.

20、(1)=8cm；(2)=4y/3cm.

【分析】（D由平行投影性质：平行长不变，可得A出尸AB；

（2）过A作AH_LBBi,在RtaABH中有AH=ABcos30°,从而可得A1B1的长度.

【详解】解：（1）根据平行投影的性质可得，A1B1=AB=8cm；

（2）如图（2）,过A作AH_LBBi,垂足为H.

VAAilAiBi,BBi±AiBi,

二四边形AAiBiH为矩形，

,

..AH=AiBl,

在RtAABH中，VZBAH=30°,AB=8cm,

44=4V§cm.

【点睛】

本题主要考查平行投影的性质，线段的平行投影性质：平行长不变、倾斜长缩短、垂直成一点.

21、1.

【分析】如图，把（0,6）代入y=2x?+bx-6可得b值，根据二次函数解析式可得点C坐标，令y=0,解方程可求出

x的值，即可得点A、B的坐标，利用AABC的面积=,xABxOC,即可得答案.

2

【详解】如图，

.二次函数y=2x?+bx-6的图象经过点（2,-6）,

:.-6=2x4+2b-6,

解得：b=-4,

，抛物线的表达式为：y=2x2-4x-6；

・••点C（0,-6）；

令y=0,贝!J2x2-4x-6=0,

解得：Xl=-1,X2=3,

，点A、B的坐标分别为：（-L0）、（3,0）,

AAB=4,OC=6,

.,.△ABC的面积=,1

xABxOC=—x4x6=l.

22

【点睛】

本题考查二次函数图象上的点的坐标特征及图象与坐标轴的交点问题，分别令x=0,y=0,即可得出抛物线与坐标轴的

交点坐标；也考查了三角形的面积.

22、（1）275,26；（2）2屈,25;（3）a2+b2=5c2,证明见解析；（4）AF=4

1PFPFFFI

【分析】（1）根据三角形的中位线得出；EF^-AB,进而得到——=——=——=7计算即可得出答案；

2PBPAAB2

（2）连接EF,中位线的性质以及NAB£=30°,c=4求出AP、BP、EP和FP的长度再根据勾股定理求出AE和BF

的长度即可得出答案；

PEPFI

（3）连接EF,根据中位线的性质得出——=——=—,根据勾股定理求出AE与AP和EP的关系以及BF与BP和

PBPA2

FP的关系，即可得出答案；

（4）取的中点，，连接结合题目求出四边形45户E是平行四边形得出AP=FP即可得到AABF是“中

垂三角形”，根据第三问得出的结论代入，即可得出答案（连接EC。尸，交于点，，证明AH4EAHBC求得BE,CA

是AHBC的中线，进而得出是“中垂三角形”，再结合第三问得出的结论计算即可得出答案）.

【详解】解：（1）是AA8C的中线，，石户是AABC的中位线，

AEF//AB,且EF=LAB=LX2O=6,易得生=竺=竺=」.

22PBPAAB2

••,NA8E=45°,c=2亚，

:・AP=BP=2,EP=FP=1.

由勾股定理，得AE=3F=6，

a=b=2V5•

（2）如图2,连结石厂.

ARBE是AABC的中线,

:.E尸是AA8C的中位线,

〜qPEPFEF1

EFIIAB,EF=—AB=—x4=2,易得---=----=----=—・

22PBPAAB2

.,:NABE=30,c=4,

AP=2,BP=26，

FP=1,EP=6

由勾股定理，得AE=出,BF=A，

:.a=2岳,b=2近.

(3)/力2,°2之间的关系是4+〃=5。2.

证明如下：如图3,连结Ef.

图3

AfBE是AABC的中线,

AE尸是AABC的中位线.

EF//AB,且EFULABU'C

22

U3PEPF1

易得---=----=一.

PBPA2

在R/AAPE和Rt^BPF中，

,:AE1=AP2+EP2，BF2=BP2+FP2，

•••AE2+BF2=AP2+EP2+BP2+FP2=AP2+[-BP\+BP2+\-AP

12JU）

：.AE2+BF2=；（4产+BP2）.

即a2+b2=5c2•

(4)解法I：设的交点为尸.如图4,取AB的中点〃，连接产”,人。.

•.•E,G分别是ARC。的中点，户是8C的中点,

EGHACHFH.

又BE±EG,

：.FH±BE.

■:四边形ABC。是平行四边形，

:.AD//BC,AD=BC,

AAE=BF,AE//BF,

二四边形ABFE是平行四边形，

二AP=FP，

，AAB尸是“中垂三角形”，

:.AB2+AF2=5BF2,即3?+AF2=5x(75)2,

解得AF=4.

(另：连接EC,。/7,交于点H,易得△的C是“中垂三角形”，解法类似于解法1,如图5)

解法2：如图6,连接AC,CE,延长CE交84的延长线于点H.

图6

在AACD中，•••£6分别是49,。。的中点,

:.EGIIAC.

,:BE人EG,

:.ACYBE.

又•.•四边形ABC。为平行四边形，

:.AE//BC,AD=BC,BC=2AE,

易得MAEMiBC,

.AEHAHE\

：.HA=AB,HE=CE,

：.BE,C4是的中线，

二是“中垂三角形”，

AHB2+HC2=5BC2.

VAB=3,AE=y[5,

AHB=6,BC=2A/5.

：.62+HC2=5x(2y[5)2,

解得“C=8.

；AE是M8C的中位线，

AF=!HC=4.

2

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，注意类比思想在本题中的应用，第

四问方法一得出AB2+AF2=5BF2是解决本题的关键.