江苏省南通市通州高级中学2022-2023学年高一年级下册期中冲刺考试数学试题（含答案解析）

江苏省南通市通州高级中学2022-2023学年高一下学期期中

冲刺考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.cos2150-sin215°=()

2.已知。=(4,2),则与&垂直的单位向量的坐标为()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹫齐

飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A,

B,C处测得阁顶端点P的仰角分别为30,6045，且4?=8c=75米，则滕王阁的

高度0P=()米.

29V15

D.

2

5.已知cos(a+工)=-^^TT

则sin(2a——)=)

6106

492424

A.-竺B.D.

50502525

6.在矩形A8C。中，已知OC=3OE，BF=^BC,|AE|=V3,|AF|=A/6,则AC.8O=

（）

277

A.-----B.—7C.—9D.—

82

7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为“，b,c.已知从-2屏csinA+c?=4,

且a=2,则△ABC面积的最大值是（）

A.4-2石B.6C.2+石D.

2

8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,6+c=26,且4ABC

的面积为诬，则ARAC=（）

2

A痴R2「30376

A•----D.n

4444

二、多选题

9.下列有关向量命题，不正确的是（）

A.若则”〃B.已知cwO，&ac=b-c9则a=〃

C.若a=Ab=c，则。=cD.若a=b，则|〃|=|勿且

10.设复数z=U"D,则（）

l+i

313_5,

A.z的虚部为:B.元=-：+：iC.z-z=-D.z3=1

222

11.已知函数/（x）=2sinx+cosx+l,对VxeR,均有f（药）4/（力4/（々）,则（）

A./（3）-/伍）=-2石B./（内）+/（%2）=2

._25/5._275

Cr.sinXj------nD.sin又1=~~~

12.在ABC中,角A,3,C对边分别为a,A,c,设向量/n=（cM+b）,zi=®c）,且机//〃，

则下列选项正确的是（）

A.A=2BB.C=2A

C.1<-<2D.若ABC的面积为U,则C=9

a42

三、填空题

13.菱形A3c。中，n=(-2,火)，访=(2,2-3)，则实数女的值为

14.在二ABC中，已知tanA+tan3+GlanAtan8=>/5,则C=

试卷第2页，共4页

15.在AABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且°=豆，A=60,若三角

形有且只有--解，则b的取值范围为.

16.在AABC中，A号，点。在边BC上，ADAC=O,若的面积为46，则

4。的最大值为.

四、解答题

17.设i为虚数单位，aeR,复数z=2+ai,z2=4-3i.

⑴若是实数，求a的值；

(2)若五是纯虚数,求4+z?.

z2

18.已知a=(2,—1),b=(3,2),。为坐标原点.

⑴若1=(5,f),(2a+c]//b,求实数f的值；

⑵若ma+b与-a+8的夹角为锐角，求实数〃?的取值范围.

19.设函数/(x)=sin(2x+1)+百sin?X-A/3COS2X~~.

⑴求函数〃x)的最小值；

⑵若吃€且/(%)=等-g，求8s2%的值.

20.在,ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin?C+cos2B=sinAsinC+cos2A.

⑴求3；

TT

(2)若C=§,b=2,。为BC的中点，在AO上存在点。，使得O8-OC=1，求sin/OCA

的值.

21.如图，一幅壁画的最高点A处离地面4米，最低点B处离地面2米.正对壁画的是

一条坡度为1:2的道(坡度指斜坡与水平面所成角的正切值)，若从离斜坡地面1.5米的

C处观赏它.

(1)若C对墙的投影(即过C作A8的垂线，垂足为投影)恰在线段AB(包括端点)上，求点

C离墙的水平距离的范围；

(2)在(1)的条件下，当点C离墙的水平距离为多少时，视角仇NAC8)最大？

22.记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知串二=卢々.

(1)试判定△ABC的形状，并求sinA+sin8的取值范围；

(2)若不等式d2(b+c)+6(c+a)+c2(a+b)Nk版,对任意的a,b,c都成立,求实数&

的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】利用二倍角公式，化简求值.

【详解】cos215-sin215=cos2xl5=cos30

2

故选：C

2.C

+2〃=0

【分析】设与。垂直的单位向量坐标为（八〃），由题意得可得求得m,n的值,

[yjm2+n2=1

即可得答案.

【详解】设与〃垂直的单位向量坐标为（W）,

故选：C

3.C

【分析】根据正弦定理及充分必要条件的定义判断.

【详解】由正弦定理‘一=」一,所以3>C=A>c=sin3>sinC,

sinAsinB

故选：C.

4.B

【分析】设08=/?,由题意可求得OP=百人，OA=3h,OC=®,在△OBC中，

OC-=OB-+BC2-2OB-BC-cosZOBC,在,OAB中，

Ofic=OB2+AB2-2OB-AB-cosZOBA,因为8$/03。+85/0朋=0,所以两式相加可解

得h,即可得出OP.

【详解】设08=〃，因为NP8O=60"，则OP=O8tan60"=G〃，

因为NPAO=30°,/PCO=45°,

〜OP勒“

「匚।OA=------7=—尸=3hOP/T.

所以tan30V3，。。=---*=<3h,

—tan45

3

答案第1页，共13页

在△08C中，OC?=OB2+BC2-2OB-BC-cosAOBC,HP3/z2=/j2+752-2x75〃cosNOBC，

在中，OA2=OB2+AB2-2OB-AB-cosAOBA,即9力？=层+752—2x75〃cosNOBA,

②

因为NOBC+ZOBA=it,贝IcosZOBC+cosZOBA=0,

所以①©两式相加可得：12〃2=2〃2+2X752,解得：h=l5小,

则OP=J5/?=15而.

故选：B.

5.D

【分析】将a+£看成整体，转化sin(2a-a=-cos[2(a+S)],然后利用二倍角整体代换,

求解即可.

【详解】cos(a+—)=,sin(2cr~~)=si*1+=-cos2a+—

6100I6

cos2(a+—)=2cos2(a+—)-1=--,

_6J625

jr24

所以sin(2a-》=三,

625

故选：D

6.A

【分析】根据向量的线性运算，求出AB,AD的长度，然后用基地向量48,A。表示AC,BD，即

可求解.

【详解】AE=-AB+AD,AF=AB+-AD

33

2(\V1.222212,

AE=-AB+AD=-AB+AD=3,AF=AB+-AD=6,

U)99

所以A。21,Ah八

8080

又.AC=AB+AD,BD=AD-AB

22

AC.BD=(AD+AB)(AD-AB)=AD-AB=^-^=-^.

故选:A

答案第2页，共13页

7.C

【分析】由题意结合余弦定理可知2反8sA=2&csinA,可得A=g,由正弦定理可得

6

b=4sin8,c=4sinC=4sin(^-8),所以S八膨二；bcsinA=4sinBsin(^-8),利用三角

恒等变换化简，然后结合三角函数的性质求得结果.

【详解】由从一2g/?csinA+/=4,且〃=2,得一2V5》csinA+c?=/,

BPb2+。2_/=2>/3^csinA，由余弦定理可知2〃ccosA=2V^/?csinA,

所以cosA=GsinA,可得tanA=X^,由Aw（。,兀），可得4=?,

36

hca2Az_

由正弦定理sin3-sinC一sinA一1一,可得〃=4sin8,c=4sinC=4sin[x~-6

所以SABC=—bcsinA=-bc=—x4sinBx4sin

244*

=4sinB—cosB+——sinB=2sinBcosB+2\/3sin2B

、22>

=sin2B-V3cos2B+>/3=2sin^2B-1j+>/3<2+^,

当28-方=],即8时等号成立，

可得ABC面积的最大值是2+VL

故选：C.

8.B

【分析】由AA8C的面积为亚得sinA=逅，由余弦定理得8$4=竽二利用

2bebe

sin2A+cos2A=l,解得小！cosA=j然后利用数量积的定义求得跟浅.

411

【详解】因为△A8C的面积为理，所以SABc=L^sinA="，则sinA="，

2ABC22be

由余弦定理得cos4=b­,=(b+c)--2bc-a2=4-bc,

2bc2bcbe

由sin?A+cos2A=1,得+f---=1,解得儿=2^,

{be)\be)4

答案第3页，共13页

“k4-be5

从而cosA一=—,

be11

所以AB-AC=/>ccosA=—x—=—

4114

故选：B.

9.AB

【解析】根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项.

【详解】向量由两个要素方向和长度描述，A错；若且与c垂直，结果成立，但。不

一定等于匕，B错；相等向量模相等，方向相同，D选项对.

故选：AB.

10.AC

【分析】根据复数的运算化筒，再结合复数的虚部，共也复数的概念及复数的运算求解判断

各选项即可.

因为Z=髻=泮*茎手13.

【详解】—+—1

1+1+222

所以z的虚部为A对;

故选：AC.

11.ABD

【分析】根据条件得/&）是最小值，/（电）是最大值，根据三角函数最值，结合辅助角公

式，分别进行判断即可.

【详解】••♦/（%）V〃X）V/（X2），•♦•/&）是最小值，〃毛）是最大值，

/（x）=2sinx+cosx+l=\/5sin（x+£Z）+l,其中sina=正，cosa=^^~.

55

所以"七）=6+1,/（5）=-石+1,

所以/（不）一〃々）=一26,故A正确；/（%）+/仁）=2,故B正确；

答案第4页，共13页

当Xi+a=2E-]时，/(占)是最小值，则X[=2kt-5-a,

所以sin玉=sin(2E==+=-cosa--,

故C错误；

当与+£=2也+万时，/(x?)是最大值，则马=2屈+5—cr,

所以sin赴=sinIkn.+-^-a^=sin^-a^=cosa=,故D正确，

故选：ABD.

12.BC

【分析】根据向量平行得到结合余弦定理转化为cosC=-1+3,进而利用正

22a

弦定理得至!|cosC=-1+；a2,化简整理即可判断A、B选项；利用正弦定理及二倍角公

22sinA

式将£转化为2cosA,然后求出角A的范围，进而求出值域即可判断C选项；利用

a

1w

S=-absmC=—,结合正弦定理及二倍角公式化简整理可求得角A,进而可以求出角C,

24

从而可以判断D选项.

【详解】因为向量加=(c,a+0),〃=(a,c),且机///，所以/=9+句),即©2=02+a/,,

结合余弦定理得cosC="一+"二J,cosC=_'仍+b,cosC=一2+，-,

2ab2ab22a

再结合正弦定理得cosC=」+巴叱*,2sinAcosC=-sinA+sinB,

22sinA

又因为sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以2sinAcosC=-sinA+sinAcosC+cosAsinC,

sinAcosC-cosAsinC=-sinA,

sin(A-C)=-sinA,

sin(A-C)=sin(-A),

所以A—C=—A,故C=2A,所以B正确，A错误；

£=sinC=sin2d=2sinAcos^i因为疝人*。，所以£=2cosA,

asinAsinAsinAa

答案第5页，共13页

0<A<180

又因为0<2A<180,所以0<A<60，所以g<cosA<l,

0<180-3A<180

即1<2COSA<2,因此1<£<2,故C正确；

a

因为S=1a〃sinC=J,结合正弦定理［sinAsinBsinCu'sin?C,

2424

即sinAsin3=gsinC,则sinAsin(180-3A)=-^sin2A,

sinAsin3A=—sin2A,sinAsin3A=sinAcosA,sin3/4=cosA,

sin3A=sin(A+90)

则3A+A+90=180，或3A=A+90，

故A=22.5或A=45,故C=45或C=90,故D错误.

故选：BC.

13.4或一1/一1或4

【分析】利用向量垂直的坐标运算计算即得解.

【详解】解：由题得A"•防=-4+以4-3)=0,

所以公一3&—4=0,「./-4)伏+1)=0,/.2=4或％=—1.

故答案为：4或-1

14.120°

【分析】运用正切的和差公式tan(A+B)=产，:tanB

1-tan/AtanB

［详解］由题意可知，tanA+tanB=^(1-tanAtanB)

匚匚-ztanA+tan8A/3(1-tanAtanB)r.

明以，tan(A+8)=-----------------=------------------------=，二

1-tanAtanB1-tanAtanB

0°vA+Bvl80°,:.A+B=60

故C=180°-(4+8)=120°

故答案为:120。

15.{2}1(0,>/3］

【分析】由正弦定理得$皿=晒=当，依题意得或

840<84608=90,进而利用三角函

a2

数的性质可得结果.

答案第6页，共13页

■ms,/-'八4丁力ab—,n"sinAbsin60b

【详解】因为〃=6，A=60,由正弦定理二一-=—一-sinB=------=---『—=—,

sinAsinBa732

要使三角形有唯一解，则0<3460或8=9(),

所以0<sin3K立或sin8=l,即0<空且或鸟=1,

2222

解得05退或6=2,则b的取值范围为｛2卜1（0,73].

故答案为：｛2｝（0,6].

16.瓜

【分析】先根据△A8C的面积得儿=16,再根据△A3。的面积与△AOC的面积和为4方得

人。=史叵，最后根据基本不等式求最值.

2b+c

【详解】因为△A8C的面积为4百，所以gbcsinA=4G,/.g/?csing=4G,.，.bc=16,

TT

ADAC=0>则A£)_LAC,/5M>=2,

6

因为△ABD的面积与^ADC的面积和为4G，

所以Lc-AOsin¥+，aAQ=4g,，AD=^^-

2622h+c

16731673

从而AD=<y[f>,当且仅当3=c=40时取等号,

2b+c~2y/2bc

因此AO的最大值是指.

故答案为：V6.

17.⑴|

⑵6-；i

【分析】（1）先利用复数的乘法化简，再根据z「z?是实数求得“的值;

Z.

（2）先利用复数的除法化简，再根据」是纯虚数求得4的值，进而得出4+4.

Z2

【详解】（1）z,-z2=（2+«i）（4-3i）=3o+8+（4«-6）i,

3

因为z「z?是实数，所以4a—6=0,解得。=力

答案第7页，共13页

J_2+ai_(2+oi)(4+3i)_8-3a4a+6.

⑵三-4-3i-(4-3i)(4+3i)-25.25’

z.[8—3a=0g

因为」■是纯虚数，所以L,n,解得。=>

z2[4a+6,03

所以Z1+Z2=(2+gi)+(4-3i)=6-；i.

18.(1)8

⑵(TO,-1)5-1,9)

【分析】(1)先求出2a+c、=(9,-2+f),然后由(2a+c)〃6,可得其对应坐标成比例，从而

可求出实数r的值，

(2)求出ma+b与-a+6的坐标，则由题意可得(%”+6).(-a+6)>0,求出机的范围，再去

掉，w+/,与-a+6共线同向的情况即可

【详解】(1)因为4=(2,-I),c=(5,f),

所以2〃+c=(9,-2+r).

因为(2n+c)〃人，〃=(3,2),

仁二ri9-2+1

所以；=二一，

32

所以9x2-3(-2+，)=O,解得f=8.

(2)机々+〃=(2〃z+3,—〃z+2),—a+b=(l,3).

因为ma+b与一〃+/7的夹角为锐角

所以(ma+Z?)•(-a+Z?)>0,得2〃2+3+6-36>0,即机<9.

当zna+力与一a+8同向时3(2〃?+3)=2—帆艮|Jm=-\.

所以当〃m+O与一a+力的夹角为锐角时，me(-oo,-l)u(-l,9),

即实数血的取值范围为(田,-1)5-1,9)

19.⑴-|

答案第8页，共13页

c、3+\lb

U)----------

6

【分析】（1）利用倍角公式与辅助角公式化简/（力，根据三角函数的性质求得最小值;

(2)由cos2x()=cos，可先求出sin

-y-,代入和差的余弦公式即可求解.

【详解】(1)因为/(x)=sin(2x+])+6sin21―Geos'x—Q

=sin2xcos—+cos2xsin-->/3cos2x~—

332

11.吟1

=—sin2x------cos2x——=sin2x----,

222I2

所以，当sin(2x-£|=-1时，取最小值

(2)因为/(%)=理一g,即/1(/)=sin(2x()—三)一:=*一g,所以sin(2/-乎,

.__,,571271-_7t71

因为，所以,，7c，

所以cos(2"o-1)=_J1_sin2(2x0-1)=-当,

V61V3V33+指

=----------X---------------X-------=------------------

32326

71

20.(l)«=y

23-A^

6

【分析】（1）通过同角三角函数关系式将co/B、cos2A变换成sin?8、si/A,再利用正弦

定理，将角化边，转换成余弦定理形式，求出C0S8.

（2）将。8℃=1变形，可求出1。。1,再求出1。。1,利用正弦定理可求出sin/OC4.

【详解】（1）因为sin?C+cos?8=sinAsinC+cos?4,

答案第9页，共13页

所以sin?A+sin?C—sin?5=sinAsinC，

HPa2+c2-b2=ac-

由余弦定理可得cosB=c-b-=L

2ac2

又5c(O㈤

故吟.

(2)OBOC=(OD+DB)(OD+DC)=OD2-\DB^DC\=l.

由题意可得"C是边长为2的等边三角形，

则用。4=1,所以0。=拉，AO=G-&,CONCD，+0D。=#).

Anco

在“c。中，由正弦定理得忑咒

sinZC4D

^3-72y/3

即sinZOCA一丁

2

解得sinNOCA=三逅

6

21.d)[l,5]

(2)1米

【分析】(1)作CF工AB于点F,作C。平行于斜坡交A8于点。，设8尸=x(04x42),CF=y,

所以y=2。尸=2x+1,即可得出点C离墙的水平距离的范围；

2n_8

(2)由tan8=tan(N8C/+NAC/9=^~^—r,因为y=2x+l,所以“=5小

V--2x+x^3y+0

y

利用基本不等式求解即可得出答案.

【详解】(1)作6145于点F,作C。平行于斜坡交48于点O,B£>=2-1.5=0.5,

设BF=x(0<x<2),CF=y,

因为tanNFCD=-=所以y=2DF=2(x+0.5)=2x+l,

因为0Vx42,所以14y45,即点C离墙的水平距离的范围为[1,5].

答案第10页，共13页

tanZBCF+tanZ.ACF2y

(2)tane=tan(NBCF+NACF)=

1-tan/BCF-tanZ.ACFy2-2x+x2'

yy

因为y=2x+l,所以x=\l，代入上式得

tan*2)，=__________2y__________=8

"Ax25#一6,

因为14y45,所以5y+°—622,5门3-6=4,

)'Vy

当且仅当5y=2时取等号，即y=l时，取等号,

y

所以0vtan6<2,

因此当点C离墙的水平距离为1米时，视角仇NACB）最大.

22.（1）直角三角形，。,血］

⑵攵W3夜+2

A.A.B

cos---sin—sin—

【分析】（1）由已知条件结合二倍角公式可得一I——1=一卷，整理化简得

D

sin—+cos—cos—

222

tan住-4］=tan。，结合角的范围得；—g=g,即A+8=］可得AABC是以NC为直

<42J24222

角的直角三角形；由sinA+sin8=sinA+cosA=&sin（A+：）,结合三角函数的性质可得

sinA+sin3的范围；

(2)a=csmAfh=ccosA,所以原不等式等价于AK--------------------------^对任

abc

,,,1+sinAcosA(sinA+cosA)+sinA+cosA..

意的mb,c均成立，因为右边=-----------J---------------------，令，=sinA+cosA,

sinAcosA

则右边=言+(/-1)+1,令“=g(“)=a+]+l,利用函数的单调性可求

得答案.

答案第11页，共13页

2A.2Ac.BB

cos-sin2sincos

cosAsinB2222

【详解】（1）因为,所以一7--------:

1+sinA1+cosB.->2,A.AAB

sin"—+cos+o2sin—cos—l+2cos9~----1

22222

c.BB

2sincos

2222

所以22

sin4+cos$*2B

20cos2一

222

因为A,Bc(0,w),所以《，与€(0,口71，所以sinAg+cos与BwO,B