2023-2024学年广东高一年级下册开学限时训练数学试题（含答案）

2023-2024学年广东高一下册开学限时训练数学试题

第一部分选择题(共60分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.命题“三》€>^,11«之1,,的否定是()

A.3xeN,Inx<1B,VXeN,Inx<1

C.VxeN,lnx>lD.VxeN,Inx<1

【正确答案】B

【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可求解.

【详解】命题“HxeN,hixN1”的否定是:“VxeN,hix<1”.

故选：B.

2.已知/=f-2x,则/(x)=()

2222

A.xB.x-lC.x+lD.X+2

【正确答案】B

【分析】利用凑配法求得了(x)的解析式.

【详解】由于/(x—l)=》2—2x=(x—I)?—1,

所以f(x)=x2-l.

故选：B

3.已知集合1=1^―>1>,B=|X|X2-14X+45>01,则4U(a8)=()

A.(3,5]B.[5,8)C.(3,9]D.(5,8)

【正确答案】C

【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法求出两集合，再根据并集和补集的定义即

可得解.

【详解】由工>1，解得3<x<8,所以/nlxSAllnkBvxvg},

8-x[8-xJ11।

S=|x|x2-14x+45>o1={x|x>9或x<5},

则48=354》49},

所以ZU(a8)=(3,9].

故选：C.

4.2022年诺贝尔物理学奖授予在量子领域做出贡献的法国、美国、奥地利科学家，我国于

2021年成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控

的超导量子比特为66个.已知1个超导量子比特共有“|0>,|1>“2种叠加态，2个超导量

子比特共有“|00>,|01>,|10>>|11>-4种叠加态,3个超导量子比特共有“|000>,|001>,

|010>,|100〉，种叠加态，…，只要增加1个超导

量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设66个超导量子比特共有N种叠加态，则N

是一个()位的数.(参考数据：修2B0.3010)

A.19B.20C.66D.67

【正确答案】B

【分析】根据题意可得〃个超导量子比特共有2"种叠加态，结合指、对数运算求解.

【详解】根据题意，设几个超导量子比特共有2"种叠加态，

所以当有66个超导量子比特共有N=266种叠加态.

两边取以10为底的对数得，lgN=lg2m=661g2266x0.3010=19.866,

所以N=1()19866=100.866x1019,由于1=1()。<]。。.<同=](),即10、<N<1()20,

故N是一个20位的数.

故选：B.

5.己知/&)=三彳，记/(2)+/(3)+…+/(2023)=〃?，

巾+吗)+…+/

'|一--|=H,则加+〃=()

V2023)

A.-2023B.2023C.-2022D.2022

【正确答案】C

求出+)即可.

【分析】根据题中所求,

【详解】当xN2时，

，+2

仆)+/(外篝Yx+21+2x—x+1

—=------+--------=--------=-1,

八一一1

X

Q+/Q卜…+/[2023)一I的?—2022,

则/(2)+/(3)+…+/(2023)+/

所以7+n=-2022.

故选：C.

6.己知tan(:—a),tan(：+a]是关于X的方程/,—依+左2,一1上3=。的两个实根，

3

—7t<a<3TT,则sina+cosa=()

4

A.交B.巫C.一eD.一逅

2222

【正确答案】D

、1

tan—+a=-----二----------

【分析】利用诱导公式得到(4),T\1，再由韦达定理求出左的值，从而

/tan-a

14)

求出tan(a-?)，即可求出tana,求出(sina

+cosa)2的值，即可得解.

(71)兀(兀)]

■、”不■।-1,tan—Fci—tan——ct—

【详解】因为(4J|_2(4)(71),

tanQ-aJ

71，tan(27t+a］是关于x的方程——云+小一12=0的两个实根,

又tan~~a

43

71.71_13

所以tanI：-a1+tan一+a=%,tana卜an仁+a2

4)-T

所以k2一12=1,解得左=±述,

33

473473

3或

因为U7t<a<37t,所以*兀<a—工<,

4244

/、(吟14百

所以tan<-1,贝!]I4J(后3

14)、7tanI«——I

解得tan(a-?)=-x/§■或tan(a-E)=-半(舍去),

n

tana—tan一

即-----------£6即tana-l=一百,解得tana=2-6,

1+tanatan—兀1+tana

4

所以(sina+cosa)2=l+2sinacosa

(一百)

2sinacosa2tanor+22_3

sin?a+cos?atan%+l(2-荷+13

土国

所以sina+cosa

2

n

又sina+cosaV2sinla+一且口兀<0<3兀，

44

n

所以3兀<。+工<”四，所以sina+cosa=J^sina+——<0,

444

所以sina+cosa=-----

2

故选：D

7.己知函数〃x)>0,若对定义域内任意为、/，/(x)均满足

［/(西)•/(》2七玉)，则称/(X)为几何函数，下列选项中不是几何函数的是

()

A.f(x)=x2(x>0)B./(x)=lgx,xe(l,+oo)

C./(x)=e*D./(x)=tanx,xe(。仁)

【正确答案】D

【分析】利用基本不等式可判断AB选项，利用指数运算可判断C选项，利用特殊值法可判

断D选项.

【详解】对于A选项，对任意的为、％e(0,+8),

由基本不等式可得［/(西)•/.(%)］；=(x1¥)；=x/2<(也手Y三、，

当且仅当X|=》2时，等号成立，即/(x)=x2(x>0)为几何函数；

对于B选项，对任意的X］、X26(1,+OO),Igx,>0,lgx2>0,

由基本不等式可得［/(再>/(匕)j=底砧W度"毁=；ig(X/2)=lgJM

Vig詈=/(号)，

当且仅当玉=々时，两个等号成立，所以，/(X)=lgX,XG(l,+00)为几何函数；

11占+-2/r।r\

对于C选项，对任意的x-zeR，［/(x)〃X2)［5=("e，2We2=f,

7

即〃x)=e'为几何函数;

/、tanx+tanx.

对于D选项，由两角和的正切公式可得tan(否+x,)--——}!~~j

1-tanX]tanx2

itanx,+tanx,

所以，tanx「tanx2=l-^~^-----f,

tan(玉+%2)

j[I7T

n7if(x)-/(x)=tan--tan—=1-tan—4-tan

W取r7玉=W，*2=H'则nil八1"'〃743I4

作出函数/（》）=1211%》€（0,5）的图象如下图所示：

又tan*。，所以，/（再）共2）>“后受」，即卜（再"仇）/>/（宥

所以函数/（x）=tanx,xw10,a）不是几何函数.

故选：D.

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大

值，则必须把构成积的因式的和转化成定值：

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则

这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

8.将函数N=sinx的图象向右平移一兀个单位长度，再将横坐标缩短为原来的1上（。>0）得

6CD

到函数y=/（x）的图象.若y=/（x）在0,y上的最大值为则口的取值个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】B

TT

【分析】利用函数图象的平移与伸缩变换求得/（X）的解析式，再由X的范围求得5--的

6

范围，结合y=/（x）在0,5上的最大值为吆，分类求解得答案.

【详解】将函数y=sinx的图象向右平移看个单位长度，可得歹=sin（x-t）的图象.

再将横坐标缩短为原来的,（o>0）得到函数V="X）=sin（ox-4的图象，

CO\6；

八兀1ze兀兀兀兀

由।XW0,—上，CDX——€——,—69——，

L3J6636J

当三0-分三，即⑦22时，则？=1,求得3=5,

3625

当即0</<2时，由题意可得=

3626y5

作出函数^=0吊（3工一?］与歹='的图象如图：

136；5

X

与y的图象在xe(0,2)上有唯一交点,

5

则$布仁/一e)=£有唯一解,

综上，。的取值个数为2.

故选：B.

本题考查夕=Nsin(ox+G)型的函数图象的变换，考查分类讨论的数学思想方法与数形结合

的解题思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题.

二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，未选或有选错的

得0分.

9.下列函数中，既是偶函数又在区间(-8,0)上是增函数的是()

A..._-3B.y=x3C.y=3-|x|D.

y=Inx2+1

【正确答案】AC

【分析】根据基本初等函数的单调性与定义域判断即可.

_21

【详解】对于A：y=/(x)=x3=,定义域为{X|XH0},且

即y=x*为偶函数，函数在(0,+力)上单调递减，所以函数在(-8,0)上单调递增，故A

正确;

对于B：歹=X3为奇函数，且在定义域R上单调递增，故B错误；

对于C：歹=/（》）=3/，则/（一切=3+，1=3卡1=〃司，即函数y=3十为偶函数，

又/（》）=3训=<；故函数歹=3/在（—8,0）上单调递增，故C正确；

对于D：y=/'（x）=lnx2+l定义域为{x|xxO},且

f（-x）-ln（-x）2+1=Inx?+1=/（x）,

故y=Inf+1为偶函数，又y=x2与y=lnx在（0,+e）上单调递增，

所以y=In/+1在（0,+力）上单调递增，

所以y=ln/+i在（—8,0）上单调递减，故D错误；

故选：AC

10.已知正实数*6满足ab+a+b=8,下列说法正确的是（）

A.ab的最大值为2B.a+b的最小值为4

C.a+2力的最小值为6a—3D.“〃+］）+7的最小值为「

【正确答案】BCD

【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判断A,B,将代入a+28,化简,

Q+1

利用基本不等式求解可判断C,利用基本不等式“1”的妙用可判断D.

【详解】对于A,因为ab+a+b=8Nab+2^^，

即卜!ab）+2Job—8<0,解得—4«,x/ub<2»

又因为正实数。，b,所以0<J%（2，

则有当且仅当Q=6=2时取得等号，故A错误；

对于B,ab+a+b=8W（、？）+（,+6）,

即（a+6）2+4（Q+6）-3220,解得a+b4-8（舍）a+b24,

当且仅当a=6=2时取得等号，故B正确;

8—Q

对于C,由题可得b(“+l)=8-。所以b=——>0,解得0<。<8,

a+\

n,-,8-a18).18-nE18_,rr

a+2b=a+2----=aH-------2=a+1H------3N2j(a+l)-----3=6。2—3>

a+1a+\a+\ya+1

1Q

当且仅当a+l=——HPa=372-1时取得等号，故C正确；

a+1

—

对于D,[a(b+l)+可

a(6+l)b8Q(6+1)b

ba(6+l)b,A4

当且仅当丁一M=L=。=[=6=4,4=丁时取得等号，故D正确，

a(b+\)bb+\5

故选:BCD.

11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米

德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xeR,用[可表示不

超过x的最大整数，则丁=[可称为高斯函数，W：[1.2]=1,[-1.2]=-2,y=[x]又称

为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”

进行计费，以下关于“取整函数''的描述，正确的是()

A.VxeR,[2x]=2[x]B.VxeR,[x]+x+；=[2x]

C.Wx/eR,若=则有x—y>—1D.方程/=3[x]+l的解集为

(V7,V10)

【正确答案】CD

【分析】取x=1.5,[2x]=3,2[x]=2,A错误，取x=0,[x]+x+；=；,[2x]=0,

B错误，[x]=[y]=m，则xNm,y<加+1,故x-y>T,C正确，计算2<x43十岳.，

2

[x]=2或[x]=3,D正确,得到答案.

【详解】对选项A：取x=1.5,则[2x]=3,2国=2,错误;

对选项B：取x=0,[x]+x+g=；,[2x]=0,错误；

对选项C：[x]=[y]=m,则加，y<m+\,故工一》>-1,正确；

对选项D：X2=3[X]+1,故3x—2<Y=3[幻+I43X+I,解得土上叵，

12

故[x]=2或[x]=3,故工=近或1=^^,正确.

故选：CD

x

12.已知/(x)=^^(x〉l),若a,尸分别是方程/(x)=/和〃x)=lnx的根，则下列说

x-1

法正确的是()

A.a<2In2B.—+^->1C.a/3<6D.

ap

夕+In夕24

【正确答案】AC

【分析】先分析得/(x)、g(x)与〃(x)的图像关于直线N=x对称，从而作出它们的图像;

对于A,结合图像分析x〉l且趋近于1与x=21n2时，/'(X)与g(x)大小关系得到

a<21n2；对于B,利用/(x)的对称性得到的=£+6，从而得以判断；对于C,先结

合图像分析x=2与x=4时，/(X)与“X)大小关系得到。<4,再结合选项B即可判断;

对于D,利用<=5夕与基本不等式判断即可.

p-[

X1

【详解】因为〃X)=’一=1+——(%>1),则/(x)〉l,

x-1x-1

所以/(x)的图像是由的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位而得，则/(X)

在(1,+0。)上单调递减，

不妨设点(。,勾(。〉1/〉1)是/。)上的一点，则6=—3—，即ab—b=a,

a-1

微ab—a=b,则。=—竺，所以他也是〃x)上的点，

h-\

故/(X)的图像关于直线y=X对称,

y=xr。

\x=2

联立x(…解得

尸一［y=2

又g(x)=e*与〃(x)=lnx互为反函数，

所以g(x)=e，与〃(x)=Inx的图像也关于直线V=x对称，

因为a,〃分别是方程/(x)="和"X)=Inx的根，

所以画出函数y=e1y=lnx与/(x)=——^的图像，如图,

对于A,当x>l且趋近于1时，由y的性质可知/'(X)趋于无穷大，g(l)=e,则

/(x)>g⑴；

当x=21n2时，/(21n2)=l+^-y-],g(21n2)=e2ln2=(eln2)-=4,

41

因为e4<43,所以4<ln43=31n4,则三<加4,即一+I<21n2,

33

所以，<21n2—l,则--------<3,即1+―-—<4,则/(21n2)<g(21n2)；

32In2-12In2-1

由图像可知，/(X)与g(x)的图像的交点的横坐标落在区间(1,2In2)中，

因为a是方程/(x)=，的根，即。为/(x)与g(x)的图像的交点的横坐标,

所以ae(l,21n2),故a<21n2,故A正确;

对于B,因为a,£分别是方程/(%)=/和〃x)=Inx的根,

所以/(x)与g(x)的图像的交点为a,一台,/(x)与6(x)的图像的交点为

I»一\)

又/（X）的图像关于直线y=x对称,

所以（a,二]与（民/^关于直线y=x对称，则&=上■或夕=a

Ia-\）I（3-\）p-1a-1

cc11a+B[

所以羽=a+P，故一+/=T^=1,故B错误；

apap

对于C,当x=2时，/（2）=2,A（2）=ln2,则/⑵〉〃⑵；

当x=4时，/（4）=—=y,/?（4）=ln4,

由选项A知g<ln4,则/（4）<〃（4）；

所以f（x）与/z（x）的图像的交点的横坐标落在区间（2,4）中，即夕<4,

又a<21n2<2,所以必=«+尸<6,故C正确;

对于D,因为夕是方程/（x）=lnx的根，则生;瓜夕，

p-[

=31)+2+看22+2也.1).高

所以/?+ln/二夕+-4，

当且仅当4一1=即/=2时，等号成立,

"一1

而由选项C可知夕>2,即等号不成立，所以£+ln〃>4,故D错误.

故选：AC.

关键点睛：本题解决的关键是分析得函数/'（无）、g（x）与h（x）的图像关于直线V=x对称,

从而结合图像判断得c<2In2、夕<4与M=a+/7,从而得解.

第二部分非选择题（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设p：4x-3<l,q:x-2a-1<0,若p是g的充分不必要条件，则实数。的取值范

围是・

【正确答案】（0,+8）

【分析】首先化简命题P、q，分别记所对应的不等式的解集为A、8,依题意可得AB,

即可得到不等式，解得即可.

【详解】由4x-3<l,解得x<l,即p：x<l,记/={x|x<l}；

由x-（2a+l）<0,解得X〈2Q+1,

即“：x<2a+i,记8={x|x<2a+l},

因为P是9的充分不必要条件，所以AB,即2a+l〉l,

解得a>0,

所以a的取值范围是（0,+8）.

故答案为.（0,+8）

14.函数/（x）=lg（4-*）+Jjtanx的定义域是.

【正确答案】,将口已2）

【分析】根据对数的真数大于零和开偶数次方根号里的数大于等于零，再结合正切函数的单

调性即可得解.

【详解】由/（船）=怆（4一/）+J1—tanx,

4-x2>0

得《，解得—<x<一或一<x<2,

1-tanx>0242

所以函数的定义域为（―

（兀兀/兀-1

15.函数/（;<）=岳05（，冰+9）口〉0^〈时〈兀的部分图象如图所示，直线V=m

（加<0）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为4，X?,x3,则

sin（2演+x2-x3）=.

【分析】由图象求得参数，由交点及余弦函数的对称性结合

sin(2XI+》2-X3)=sin(2(X]+x2)-(x2+/))即可求值

5兀；05(460+夕)=1,即COS|子5无0+0

【详解】由图可知，/V2ci

4

57171_.

——69+9=—+2K71

82

5兀7兀/r、

4刃+°_4+兀，解得力=2,(p=~—,故/(x)=":os(2x---1

则〈

414j

仅＞0

1〈闸<兀

则/(0)=VIcos,爸27r

=-l,/(x)最小正周期为w=7T.

直线y=〃？（加<0）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为4，X?,演，

,x.5兀兀371x.+x,5兀717兀

则mI由图可知」~I,=~1二一+―二一

28482848

sin(2X]+x2-x3)=sin(2(玉+x2)-(x2+x3))=sin

2

故—也

2

[|ln(x+2)|x<m

16.己知函数/'(x)=<2,若方程/(X)=加有且仅有4个解，则实数加

|(xT)x>m

的取值范围是.

r3-0

【正确答案】0,^—

I2J

【分析】画出函数图像，根据图像确定1>〃?>(),且加<(1)二解得答案.

【详解】y=|ln(x+2)|是由函数y=ln(x+2)的图像的x轴下方的图像向上翻折形成,

画出y=|ln(x+2)|和y=(x—的图像，如图所示：

根据图像知：1>加>0,且加<(1-机)~,当时，〃？<ln(m+2)成立,

解得0<m<-~，

2

故「，学、

四、解答题:本题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步

(3兀

sin(兀一a)cos(2兀一o)sin—a+——

17.己知〃a)=-------------(力叫2

cos(-a-7t)cosI-a+-I

(1)化简/(a)；

3

(2)若a是第三象限角，且COS求/(a).

5

【正确答案】(1)/(«)=-cosa

⑵嚓

【分析】(1)根据诱导公式求解即可.

3兀、3

3兀

(2)根据cosa=cosa--+-rt求解即可.

44J4

【小问1详解】

sin(zcosa-(-cosa

/⑷=(-)•(-sina)-cosa

【小问2详解】

3

因为兀+2左兀<a<—兀+2版,左£Z,

2

TT3713

所以一+2lai<a----<—7t+2kn,keZ.

444

(3兀3.f3兀4

又因为cosa---所以sina---

I45145

33兀cos"371).3

所以cosa=cos+一兀a----sin—7t

444I4

4，即/9)=吟

--xV2-772

5210

r7T

18.已知函数/'(x)=12-2xtan夕一1,其中。工^+E，4eZ.

(1)当，=一色，xe[—1,J可时，求函数"X)的最大值与最小值;

6

(2)求使y=/")在区间[-1,6]上是单调函数的0的取值范围.

【正确答案】⑴/(X)的最大值为4,最小值为-g

(2)]一5+左耳一微+^U]+E,^+hr],keZ

【分析】(1)代入数据得到函数的单调区间，计算最值得到答案.

(2)确定函数的时称轴为x=tan。，根据单调性得到tan。或tan82JJ，解得答案.

【小问1详解】

n〃、—226,(百丫4

当8_-%，f(X)=XHX_1=IXH—I—-,

函数在4］上单调递减，在上单调递增.

［3」I3」

/(X)，皿=max{/(-l),/(V3))=max-^,4>=4,f(x)min==.

即函数/(x)的最大值为4,最小值为-：

【小问2详解】

/(x)=x2-2xtan^-l,对称轴为x=tan。，函数在区间［—1,6］上是单调函数，

故tan。—1或tan0>G，

JiJIJI

解得----^kn<6<---i-后兀,左或一+左兀4。<一+kn,左eZ,

2432

故6一巴+加,一四+左兀U—+hr,—+ht|,keZ

I24」［32)

19.已知/(x)=/sin((yx+e)］/〉0,|c|<>0)的部分图象如下图.

(1)求/(x)的解析式；

(2)设g(x)=/(x)cos2x,求g(x)的最小正周期，及其在画)上的对称中心和单调增

区间.

【正确答案】(1)/(x)=2sinf2x-^j

【分析】(1)A=2,/(x)=2sin(0x+e),f⑼=一6,得到e=—：,根据周期得到

33

=2得到口=2,得到解析式.

(2)g(x)=sinf4%--,计算周期7="=工，取4x-二=E和

,，(4)2424

TTTTTT

--+2kn<4x--<-+2kit得到对称中心和单调区间.

242

【小问1详解】

根据图像知Z=2,/(x)=2sin((yx+e),

兀

/(0)=2sine=—y/2,sin^?=-—,|夕|<2，故9=

22-4

TT2兀3兀2兀、48

一<一<—,即一<一<——，解得一<①<一,

4824G82a)33

(3兀、c.(3兀兀、c-3兀兀兀…，r口LC16,,r

——2sin—CD——2,故—CD—=-+2kn,4wZ,即69=2H----k,k£Z.

I8JI84)8423

当k=0,0=2时满足条件，故/(x)=2sin2x—；

【小问2详解】

g(x)-f{x}cos2x=2sin2x~—cos2x=A/2(sin2x-cos2x)cos2x

=-^-sin4x--^-(cos4x+1)=sin

g(x)的最小正周期为r=y=p

_.71.71kit.亚］(5兀&、

取4%一二=左兀，x——GZ,对称中心为—,——,—,——

4164I162II162

7T...7U兀/d兀%兀3兀kjZ.—

取——+2/ai<4x——<一+2E,解得----+—<x<一+一€Z,

242162162

,,,八।兀3TI।7兀1In

当上=0时，----<x<.—,当左=1时，—<x<，

16161616

故函数在（0,]]的单调增区间为（0,带77171

和

76,2

20.已知函数/（x）=5，q（aeR）.

（1）当且<1时，利用单调性定义证明/（x）在R上单调递增；

（2）若存在再<0<芍，使/（石）+/（》2）=1,求实数a的取值范围.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵「高

（a-1）（2』-2"2）

【分析】（1）取王<工2,则/（》2）—/（xjno；:a-1<0,2$—2*2<0，

+1）（2须+1），

212+l>0.2*'+1>0,得到证明.

11113

（2）考虑a〉l,a=\,a<1三种情况，得到-----1-----e_L2,-<<-,

2处+12X,+12,22\-a2

解得答案.

【小问1详解】

z12>22

2、2+。2』+a_G-)('~')

取玉<々，则/。2

2处+1T'+1(2,+1”+1)，

a<1,故a-1<0,王<%，故2$-2*2<0，2*+1>0，2"+1>0，

故/（工2）_/（石）〉0，即/（工2）〉/.（玉），函数单调递增.

【小问2详解】

2"+a2、+a11

/'(%)+/(七)=1，故----------1=1,即(”1)2与+1+2』+1

2J1---2X'+1

当a>l时，("1)("：

不成立;

\2t2+12X,+1)

当a=l时，不成立;

w0，£|，111j_3

当a<1时，—------e,故------1------G,故

T2+12』+12次+12M+1252

113皿9,1

-<----<一，解得一1<a（一,

2\-a23

综上所述：

21.如图为某大江的一段支流，岸线4与4近似满足4〃4,宽度为7筋?.圆。为江中的一

个半径为2左机的小岛，小镇A位于岸线4上，且满足岸线4_L。/,0A=3km.现计划建

造一条自小镇A经小岛0至对岸4的水上通道48。(图中粗线部分折线段，B在A右侧),

为保护小岛，8c段设计成与圆。相切.设N/8C=万一。

(1)试将通道48c的长L表示成。的函数，并指出定义域;

(2)若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元?

9—3cos0(7t

【正确答案】(1)口。)=:,定义域是为,彳.(2)6近百万

sin。V2；

【分析】

(1)以A为原点，直线4为x轴建立如图所示的直角坐标系，设Z8=a(a>0),利用直

2_3coq0

线与圆相切得到。=二------，再代入£=43+8。这一关系中，即可得答案；

sm6

(2)利用导数求函数的最小值，即可得答案：

【详解】以A为原点，直线4为x轴建立如图所示的直角坐标系.

y

设则8（。,0）,0（0,3）,/2:y=7.

因为/ABC=汽—夕（0<6<-^\,

所以直线BC的方程为y=tan夕•（x—。），

即x•tan3-y-atan0=0,

1—3—citan01

因为圆。与8C相切，所以/,=2,

V1+tan2^

□3cose+asin82..2-3cos^

即n--------------二-----，从而得zrlQ二----------，

cos6cos。sin。

77cos0

在直线BC的方程中，令y=7,得%=。+——=。+------，

tan0sin0

2

所以BC=V1+tan0\xB—xc\=---九。"=—--,

1Bc|cos。sin。sin<9

所以1=N8+8C=q+-^-=93cos6>

sin。sin。

27

当a=0时，cos6=§,设锐角4满足cos〃=§,则。0<。<万,

9—3cos0（

所以L关于。的函数是以。）=--------,定义域是e,-.

sin。<{}2J

（2）要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即L最小.

3sin2-（9-3cos0）cos63-9cos。

以⑶

sin20sin?。，/

令z/（e）=o,得cos6=」，设锐角a，满足cosq=2<2,得可{1%,工

333I2

列表:

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