2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练《几何证明-勾股定理》（教师版）

2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练

第归章《几個册胡（二）-勾股定理》

StjffllR互IKIffl

看三边长是否满足

勾股定理逆定理/+"="

直角三角形两直角边的平方和直角三角形（C为最大边长）

等于斜边的平方宀的判别条件

疋理况。是三个正整数

如果a,。分别表示百角二角形内容勾股数

22

的两百角边，用蔗示斜边，满足：«+»=<^

那么：“，+&*="

在直角三角形中，已知两边长

勾股定理求第三边长

饼图睑证法探索勾股定理

的应用______J求立体图形表面上两点间的

「最短距离

■

工MHH导Afi

知识点01：直角三角形

1.直角三角形全等的判定

（1）直角三角形全等一般判定定理:

直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即（SAS、ASA、SSS、

AAS）

（2）直角三角形全等的HL判定定理：

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL）

综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.

2.直角三角形的性质

定理：直角三角形的两个锐角互余；

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；

推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.

3.勾股定理

定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方;

勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三

角形；

勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等）

勾股数组：如果正整数b、c满足1+戸=。2,那么b、c叫做勾股数组，常见的勾股数组

有：3,4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.

4.两点之间的距离公式

如果直角坐标平面内有两点厶（占，%）、3（%,为），那么A、B两点的距离为：

AB=—%2）~+（%—丁2）2-

两种特殊情况：

（1）在直角坐标平面内，X轴或平行于X轴的直线上的两点厶（七,）夙程”的距离为：

x-x2

AB=-J+（y-y）2=V（i2）=%-%2|

（2）在直角坐标平面内，y轴或平行于y轴的直线上的两点夙羽月）的距离为：

■=J（x—X）2+（必—为）2=#1-乃）2=E-乃|

易错点拨：

几何证明的分析思路：

（1）从结论出发，即：根据所要证明的结论一去寻找条件.例如：

要证线段相等，则需先证：①/全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然后利用等

角对等边（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否

可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论；

要证角相等，则需先证：①/全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；②线段相等，然后利用等边

对等角（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可

以直接利用角平分线逆定理来得出结论；

要证垂直，则需先证：①两条直线所夹的角为90°；②先证等腰三角形，然后利用“三线合一”来得

出结论（前提：在同一个三角形中）；

要证三角形全等，则需先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找.

（2）从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理一直接可得的结论.例如：

已知线段的垂直平分线f线段相等；

已知角平分线一到角的两边距离相等或角相等；

已知直线平行一角相等；

已知边相等一角相等（前提：在同一三角形中）.

夏新題逋面板高台

选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2021秋•奉贤区校级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三

角形都是直角二角形.若正方形4B,C,〃的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形£的面积是（）

解：根据勾股定理的几何意义，可得/、8的面积和为S,G2的面积和为S+$=&,于是S=S+S,

即崑=9+25+4+9=47.

2.（2分）（2021秋•宝山区期末）如图，在中，ZACB=9Q°,如果中、◎/分别是斜边上的高和中

线，AC=2,BC=4,那么下列结论中错误的是（）

C.N8=30D.CD=

b

解：・・•//⑵=90°,

：.AACD^ABCD=^a,

'：CDLAB,

班/8G9=90°,

：.AACD=AB,力正确，不符合题意；

在Rt△力切中，AB=7AC2+BC2=2V5>

■：ZACB=90°,是斜边上的中线，

.,.CM=-\[s，6正确，不符合题意；

在RtZi45中，AB=2疵,AC=2,

旣30°,C错误，符合题意；

丄X2X4=」X2&XC»,

22

解得，CD=—\[^>,〃正确，不符合题意；

5

故选：C.

3.（2分）（2020秋•奉贤区期末）在△/欧中，ZA/B、N。的对边分别是&b,c.下列条件中，不能

说明△/比是直角三角形的是（）

A.N4/B：NC=3：4：5B.ZC=ZA-ZB

C.lj=a-cD.a：b：c=5：12：13

解：/、N4NB：ZC=3：4：5,且//+/8+/C=180°,所以/C=180°X——=75°#90°,故

3+4+5

△/回不是直角三角形；

B、因为/C=//-NB,即//=/班/4且//+/班NC=180°,所以2/4=180°,解得//=90°,

故△/宽是直角三角形；

C、因为6"=a--c-,所以a2=Z/+c2,故是直角三角形；

D、因为a：b：c=5：12：13,设a=5x,6=12x,c=13x,（5x）2+（12x）2=（13x）2,故△力欧是直

角三角形.

故选：A.

4.（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△48C中，BD、"是高，点G、尸分别是微庞的中点，则

下列结论中错误的是（）

C.NDGE=6Q°D.GF平■分~2DGE

解：•.•劭、四是高，点G是况1的中点，

:.GE=LBC,GD=LBC,

22

/.GE=GD,/正确，不符合题意；

"：GE=GD,6是应的中点，

AGFLDE,6正确，不符合题意；

曲的度数不确定，C错误，符合题意；

"：GE=GD,尸是小的中点，

:.GF平■分乙DGE,2正确，不符合题意；

故选：C.

5.（2分）（2021秋•普陀区期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（）

A.8,15,17B.我，遅，疾C.M，2,V5D.1,2,炳

解：/、：82+152=172,.•.此三角形为直角三角形，故选项错误；

B,V（V2）"（我）2=（返）z,.•.此三角形是直角三角形，故选项错误；

av（V2）2+2V（返）2,.♦.此三角形不是直角三角形，故选项正确；

D,Vl2+22=（遅）Z,...此三角形为直角三角形，故选项错误.

故选：C.

6.（2分）（2021秋•普陀区期末）现有四块正方形纸片，面积分别是2,3,4,5,选取其中三块按如图的

方式围成一个三角形，如果要使这个三角形是直角三角形，那么选取的三块纸片的面积分别是（）

A.2,3,4B.2,3,5C.2,4,5D.3,4,5

解：•••四块正方形纸片，面积分别是2,3,4,5,

.•.四块正方形纸片的边长分别是M，V4.炳,

由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，

当选取的三块纸片的面积分别是2,3,4,2+3W4,围成的三角形不是直角三角形；

当选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时，2+3=5,围成的三角形是直角三角形；

当选取的三块纸片的面积分别是2,4,5时，2+4W5,围成的三角形不是直角三角形；

当选取的三块纸片的面积分别是3,4,5时，3+4W5,围成的三角形不是直角三角形；

故选：B.

7.（2分）（2020秋•浦东新区校级期末）如图，在双△/■中，ZACB=90°,如果燄◎/分别是斜边上的

高和中线，那么下列结论不一定成立的是（）

込

cB

A.ZACM=ZBCDB.ZACD=ZBC.ZACD=ABCMD./ACD=/MCD

解：：N4^=90°,5是高，

：.ZA+ZAO）=9QO,ZA+ZB=9Q°,

：.ZACD=AB,

故方选项正确；

；NACB=9Q°,。/是斜边的中线，

：.CM=BM,

：.ZMCB=AB=AACD,

：.AACM=ABCD,

故A选项正确；

VZMCB=AB=AACD,故。选项正确；

不一定等于CM,

与/幽小不一定相等，故。选项错误.

故选：D.

8.（2分）（2022秋•宝山区期末）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50Mx40CHX20M的长方

体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①38c勿；②40cm；③60cm；④68cm,

请问这位旅客可以购买的尺寸是（）

A.①②B.①②③C.①②③④D.①

解：由题意知：AD=20cm,CD=50cm,AE=4Qcm.

如图，连接然，CE.

在直角△力切中，由勾股定理知：〃=〃+5=23>362.

在直角中，C&=A^AC.

所以<^=402+202+502=4500.

因为382=1444<4500,

402=1600<4500,

602=3600<4500,

682=4624>4500,

所以这位旅客可以购买的尺寸是①②③.

故选：B.

AB

9.（2分）（2022秋•徐汇区期末）如图，在中，ZC=90°,AB=2BC,BD平■%/ABC,BD=2,则以下

结论错误的是（）

B.点。到直线的距离为1

C.点/到直线劭的距离为2

D.点8到直线/C的距离为«

解：•.•在△/加1中，ZC=90°,BC=^AB,

2

AZA=30°,

：.ZABC=60a,

*：BD平%NABC,

：.ZABD=Z.CBD=3Q°,

：.ZA=ZABD,CD=丄BD=\,

2

:.AD=BD=2,

二点〃在四的垂直平分线上.

故选项力结论正确；

过，作DE丄AB于E,

：.DE=DC=\,

.•.点。到4?的距离为1（故选项8结论正确），BC=McgM，

...点8到“1的距离为我，

故选项〃结论正确；

过/作AFLBD交BD的延长线于F,

：.AF=^AB=BC=V3，

二点A到BD的距离为

故选项。结论不正确；

故选：C.

10.（2分）（2022秋•青浦区校级期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方

法，如图，在直角梯形徵中，AB//CD,/8=90°,£是边比上一点，旦BE=CD=a,AB=EC=b.如

果△/座'的面积为1,且a-6=1,那么龙的面积为（）

D

BQEbC

A.1B.2C.2.5D.5

解：AB//CD,ZB=90°,

：.ZC=ZB=90°,

*：BE=CD=a,AB=EC=b,

工△ABMAECD（外S）,

：.AE=DE,/AEB=/EDC,

.：/EDC"DEC=/AEB+/DEC=9G°,

：.ZAED=90°,

...△/瓦?是等腰直角三角形，

...△/庞的面积=丄/，

2

座的面积为1,

2

ab—2,

*.*a-b=1,

（H-6）=一+庁-2aZ?=l,

・••一+方=5,

△/庞的面积=」X5=S,

22

故选：c.

填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

H.（2分）（2021秋•嘉定区期末）一个直角三角形两条直角边的比是3：4,斜边长为10瀨，那么这个直角

三角形面积为24凉.

解：•••一个直角三角形两条直角边的比是3：4,

设两条直角边分别为3x,4x,

根据勾股定理得,(3x)2+(4x)2=102,

/.x=2,

丄两条直角边分别为6c勿和8cm,

这个直角三角形面积为』X8X6=24Can),

2

故答案为：24c/.

12.(2分)(2021秋•宝山区期末)已知在△板中，/物C=90°,点，在8c延长线上，且力公枭。若

ZD=50°,则/6=25。.

解：根据斜边中线等于斜边一半可得：AE=BE=EC=AD,

:./AED=/D=3Q°=2ZB,

：.ZJ?=25°.

故答案为：25.

13.（2分）（2021秋•徐汇区期末）如图，/AOE=/BOE=15°,EF//OB,ECLOB,若£C=2,则EF=4

"：EF//OB,/AOE=/BOE=\5°

：.AOEF=ACOE=\^°,EG=CE=2,

'：AAOE=\^°,

:./EFG=\5°+15°=30°,

:.EF=2EG=4.

故答案为：4.

B

o

GA

14.（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边夹角为70°,那么这个直

角三角形的较小的内角是35°.

解：如图，•••力是斜边上的中线，

：.CD=AD=DB,

：.//=NACD,

•••斜边上的中线与斜边所成的锐角为70°,即/初C=70°,

:./BDC=/A+NACD=2NA=7Q°,

解得/4=35°,

另一个锐角/夕=90°-35°=55°,

...这个直角三角形的较小内角的度数为35°.

故答案为：35.

15.（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△力比中，AB=AC,点〃为36上一点，联结切，BD=5,

DC=\2,BC=13,则AB=16.9.

解：在△初C中，BD=5,DC=\2,8c=13,

.,.初+9=25+144=169,初=169,

硏切=/,

△时是直角三角形，

：.ZBDC=W0,

180°-NBDC=90°,

设AB=AC=x,则AD=AB-BD=x-5,

在中，A4+5=AC,

/.(x-5)2+144=X,

解得：T=16.9,

：.AB=AC=1&,9,

故答案为：16.9.

16.（2分）（2022秋•黄浦区校级期末）在中，ZACB=90°,5丄46于点〃且49=5,47=10.则

AB=20.

解：如图，•:CDLAB于D,49=5,AC=10f

：.ZACD=30°,

CD1AB于D,

：.ZB+ZBCD=90°,

又/AC//BCD=gG°,

：.ZB=ZACD=30°,

\'AC=10,

：.AB=2AC=2Q.

故答案为：20.

cB

17.（2分）（2022秋•徐汇区期末）已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的

顶角等于30°或150。.

解：①如图，以中，AB=AC,CD_L4B且CD=LB,

2

宛中，切丄相且但工相，AB=AC,

2

CD=^-AC,

2

：.ZA=30°.

②如图，△/宛1中，AB=AC,"丄掰的延长线于点〃且。=工48,

2

VZC2Z4=90°,CD=丄AB,AB=AC,

2

CD=^-AC,

2

-,.ZZMC=30°，

：.ZA=150°.

故答案为：30。或150。.

18.（2分）（2021秋•奉贤区校级期末）已知：如图在中，/9（7=90°且加=47,2是边宽■上一

点，£是边1上一点，AD=AE,若△/初为等腰三角形，则/建的度数为22.5°或33.75。.

解：当掰=故时，'：AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZB=ZC=45°,

：.ZBAD=ZBDA=^-(180°-45°)=67.5°,

2

：.ZDAE=90a-67.5°=22.5°,

'：AD=AE,

：.ZADE=ZAED=^-(180°-22.5°)=78.75

2

"：AAED=AC+AEDC,NC=45°,

：.AEDC=n.75°-45°=33.75°,

当如=物时，'：ZDAC=ZDAB=45°,

：.ZADB=90°,

'：AD=AE,

:.NADE=/AED=工(180°-45°)=67.5°,

2

■:/AED=/*/EDC,NC=45°,

：.ZEDC=67,5°-45°=22.5°,

故答案为22.5°或33.75°.

19.（2分）（2022秋•青浦区校级期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正

方形拼成一个大正方形（如图所示，AB<BCX如果小正方形的面积是25,大正方形的面积为49,那么

解：・・,小正方形的面积是25,

:・EB=5,

Y△HASABCA,

：.AH=CB,

•・•大正方形的面积为49,

:,BH=7,

：.AB+A//=7,

设AB=x,

则AH=1-x,

在中：/+(7-x)2=52,

解得：乂=4,莅=3,

当x=4时，7-x=3,

当x=3时，7-x=4,

9：AB<BC,

：.AB=3,BC=4,

.BC_4

••——,

AB3

故答案为：A

3

20.（2分）（2022秋•闵行区期中）阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边

的平方和，等于斜边的平方.因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长.例如：在RtA

ABC^,已知/r=90°,AC=3,BC=4,由定理得"+配=〃，代入数据计算求得/6=5.

请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：

已知：如图，Zf=90°,AB//CD,AB=5,CD=U,47=8,点£是切的中点，那么/£的长为5

'：AB//CD

:.△ABFsXCDF,

.AF=AB

"CFBCr

'：AB=5,DC=ll,

•.•-A-F-_--5-,

CF11

AF=-^-AC=-LX8=2

16162

：.FC=8-2.5=旦，

2

•,•跖十+年戸囈

DF=号）2=,

：.EB=—X（乱3丄亚_）=4而,

222

:.EF=4娓-SVL.

22

易得，XABFsXGEF,

.EG_EFFG_EF

"AB"FB'AF'FB，

3娓

.EG_2_3FG_3

y?万、，T"?,

2~2

：.EG=3,FG=±,

2

，/6=立+旦=4,

22

22

在Rt△力£G中，^=I/3+4=5.

故答案为:5.

三.解答题（共8小题，满分60分）

21.（6分）（2022秋•闵行区校级期中）如图，在△板中,点，是46上一点，BD=AD=CD,过点6作庞丄

CD,分别交/C于点£,交切于点户.

（1）求证：ZJCS=90°；（2）如果庞=徵，求证：AC=2BC.

证明：(1)'：BD=AD=CD,

：.Z?l=ZACD,ZABC=ZDCB,

'：ZA+ZACD^ZABC+ZDCB=180°,

ZACIKABCD=^-X180°=90°,

2

AZACB=90a；

(2)取检中的G,连接DG,

・・・切是△/回的中位线,

・・・GD//BC,

：.ZCG/AZACB=180°,

：.ZCGD=ZECB=90°,

u：BELCD,

:./EBC+/BCF=90°,

u：AGCIAABCF-90°,

：.AGCD=AEBC,

•:BE=CD,

:•△CDG^XBEC(AAS),

：.CG=BC,

\*AC=2CG,

:・AC=2BC.

22.(6分)(2022秋•杨浦区期末)已知，如图，在欧中，曲为夕。边上的中线，且49=丄a；AELBC,

2

(1)求证：NCAE=/B；

(2)若NO£=30°,CE=2,求熊的长.

(1)证明：・・・曲为能边上的中线,

：.BD=DC=^BC,

2

,:AD=工BC,

2

：.AD=DC=BD,

：.AB=ABAD,/C=/DAC,

VZB+ZBADvZDAOZC=180°,

・・・2(N班NO=180°,

：.ZB+ZC=90°,

•:AELBC,

：.ZAEC=9Q°,

：.ZCAE+ZC=90°,

：.ZCAE=ZB；

(2)解：・.・N/£C=90°,ZCAE=30°,CE=2,

：.AC=2CE=^,

'：ZB+ZC=90°,

：.ZBAC=18Q°-(N班NO=90°,

VZB=ZCAE=30°,

AB=V3AC=4*\/3，

・・・/8的长为4y.

23.(8分)(2022秋•宝山区期末)如图，直角三角形Z倣直角顶点。在直线/上，分别过点48作直线

/的垂线，垂足分别为点〃和点反

(1)求证：/DAC=/BCE：

(2)如果况：

①求证：CD=BE：

②若设的三边分别为a、b、c,试用此图证明勾股定理.

证明：（1）VZACB=9Q°，/〃丄庞于点〃

：.ZDAaZACD=90°,/ADC+/BCE=9Q°,

：.ZDAC=ABCE-,

(2)①丄龙于点〃BELDE于点、E,

:./ADC=/CEB=9Q°,

由(1)知：ADAC=ABCE,

在和△面中，

,ZADC=ZCEB

，ZDAC=ZECB-

AC=CB

:NDC会MCEB(AAS),

CD=BE；

②由图可知：

S梯形ADEB=S^ADC^SAAC计S/\CEBf

.(a+b)(a+b)_abc2ab

••-------------------——+—+—，

2222

化简，得：J+炉=1.

24.(8分)(2021秋•普陀区期末)在RtA466'中，ZACB=9Q°,N8AC=30°,4D平分/班C,腑是/。的

垂直平分线，交AD于点、M,交四于点儿已知%=2,求4V的长.

解：如图所示，过。作庞丄惑于点£,连接的;

平分/物乙DCVAC,DEVAB,

：.DE=CD=2,

,：ZBAC=30°,AD平分/BAC,

：.ZBAD=15°,

是4?的垂直平分线，

:.NA=ND,

：.AADN^ANAD=\^°,

.,.ZZW=30°,

:.DN=2DE=4,

25.(8分)(2021秋•徐汇区校级期末)已知，如图，在三角形/勿中，/〃是边比边上的高，龙是中线,

厂是位中点，如垂直于第求证：CD=工AB.

证明：连接以，

■:DFLEC,EF=FC,

：.DC=DE,

在Rt△/庞中，//庞=90°,应是中线,

：.DE=—AB,

2

：.CD=^AB.

2

26.(8分)(2021秋•宝山区校级期中)阅读材料：

两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A(xi,K)、B(A2,産)，那么/、6两点的距离AB=

222

(x1-x2)+(y1-y2)-则初=(Xi-)"+(〃-■).