山东高中名校2023-2024学年高三年级上册12月统一调研考试数学试题（含答案）

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山东高中名校2024届高三上学期统一调研考试

数学试题

2023.12

注意事项

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

A=(xllxl<11,5=(xlx2-2x<0),

1.集合I「广I।),则Nun8=()

A{x[0<x<l}B,{x|-l<x<0}

C.{x|-l<x<2}D,{x[0<x<2}

2.已知直线机，〃和平面a,满足〃ua,贝ij“加〃〃”是的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.复数z满足|z-i|=|z-1|,则|z+l|的最小值为()

----B.1C.V2D.y

2

4.已知4尸、。是半径为2的圆上的三个动点，弦尸。所对的圆心角为120°，则Q•质的最大值为

()

A.6B.3C.V6D.也

5.已知函数/(x)=/sin(Gx+")(4>0,G>0)的部分图象，则/)

6.已知/(x)=lg(sinx-cosx),则下列结论错误的是()

A./(x)是周期函数

TTTT

B./(x)在区间上单调递增

C.>=/(x)的图象关于x=-:对称

D.方程/(x)=0在［0,2可有2个相异实根

7已知a=ln(1.2e),b=e°'2,c=,则有()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

8.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，对任意xeR,都有〃x+2)+/(2—x)=0,当xe(0,2)

时，/(x)=hw,则/(x)在［—10,10］上的零点个数为()

A.10B.15C.20D.21

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知a>6,下列结论正确的是()

A.对任意实数C,℃2>命2

B.若一>—，则ctb<0

ab

C.若b>0,则2。+7H------的最小值是4J5

ba-b'

D.若a1>b?,贝ijab>0

10.已知函数/(x)=d-3x2.9x+i,则下列结论正确的是()

A./(x)在［-2,1］上的最小值为—10

B.>=/（x）的图象与无轴有3个公共点

C.>=/（"的图象关于点（0,1）对称

D.>=/（弓的图象过点（一2,0）的切线有3条

11.如图，长方形4BC。中，4B=1,8C=2,E为8C的中点，现将△氏4E沿4E向上翻折到△加£的

位置，连接尸C,。。，在翻折的过程中，以下结论正确的是（）

B.四棱锥尸-4ECD体积的最大值为注

4

c.尸。的中点厂的轨迹长度为叵

4

D.£尸,CD与平面所成的角相等

12.设印入，…，匕为平面a内的〃个点，平面a内到点印鸟,…/，的距离之和最小的点，称为点

Px,P2,...,Pn的“优点”.例如，线段45上的任意点都是端点48的优点.则有下列命题为真命题的有：

（）

A.若三个点48,C共线，C在线段4B上，则C是4瓦C的优点

B.若四个点4民C,。共线，则它们的优点存在且唯一

c.若四个点4民。,。能构成四边形，则它们的优点存在且唯一

D.直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的优点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则

该报告厅座位的总数是

14.已知sma+：=5，ae-等，贝"2,=一1

15.已知圆锥的母线长为/(定值)，当圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角大小为.

RA-CSQ

16.已知内角分别为4民。，且满足cos—+2sin---=0,则1一一+--的最小值为

22sin/sinC

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.记的内角4民。的对边分别为。也。，已知=——=4.

cosA

(1)求Ac：

/八HacosB-bcosZb1为如

(2)右-------------二—bl,求44BC面积.

acosB+bcosAc

18.已知函数/(x)=x—(加+2)lnx---.

x

(1)若/(X)在(1,7(1))处的切线/垂直于直线x—2y+l=o,求/的方程；

(2)讨论/(x)的单调性.

19.已知数列｛4｝,｛〃｝是公比不相等的两个等比数列，令

(1)证明：数列｛4｝不是等比数列；

(2)若%=2","=3',是否存在常数无，使得数列｛C“M+此”｝为等比数列？若存在，求出左的值；若

不存在，说明理由.

20.如图，在四棱台48CD—44GA中，底面4BC。为平行四边形，/民4。=120。，侧棱幺4,底

面ABCD,M为棱CD上的点.2。=AXA=2,AXBX=DM=1.

(1)求证：AM1AXB.

(2)若河为。的中点，N为棱。2上的点，且。N=12,求平面4M乂与平面所成角的余弦

2

值.

21.已知数列｛。,｝前〃项和为S“，且对任意的正整数凡〃与的等差中项为a“.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

n1aa,an(

(2)证明：--T<—｝+—+---+^n<-h^N.

7

23a2a3an+12'

22.已知函数/(x)=《—a(l—x+lm:),其导函数为/'(x).

(1)若/(x)在(1,+oo)不是单调函数，求实数。的取值范围；

(2)若/(力20在(1,+8)恒成立，求实数0的最小整数值.(e?B7.39)

绝密★启用并使用完毕前

山东高中名校2024届高三上学期统一调研考试

数学试题

2023.12

注意事项

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

A=(xllxl<1),5=(xlx2-2x<0),

1.集合I「广I।),则Nun8=()

A.{x[0<x<l}B,{x|-l<x<0}

C.{x|-l<x<2}D,{x[0<x<2}

【答案】C

【解析】

【分析】分别求出集合45,再运用并集运算求解.

【详解】^={x|-l<x<l},5={x|0<x<2},

则/-1<x<2}.

故选：C

2.已知直线加，〃和平面a,满足〃ua,则“加〃〃”是“〃?//a”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面关系，结合必要条件以及充分条件的定义，可得答案.

【详解】充分性：当且仅当加aa时，由加〃〃，则加//a,故“加〃是“机//a”的不充分条件；

必要性：由题意可知：加与"无公共点，则加〃〃或者切与"异面，故"加〃〃”是“机//。”的不必要条

件.

故选：D.

3.复数z满足|z—i|=|z-1],则匕+1]的最小值为（）

A.叵B.1C.V2D.1

2

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的几何意义，作图，利用点到直线距离公式，可得答案.

【详解】设复数z在复平面上的对应点为尸（见6）,

则|z-i|可表示为复平面上点P（“,b）到2（0,1）的距离，

|z-1|可表示为复平面上点尸（9）到5（1,0）的距离，

由题意可知：点尸在线段48的中垂线上，如下图：

线段4B的中点为直线4B的斜率七B=T，

则尸的轨迹方程为y—〈=x—g,整理可得x—y=0,

由|z+1|可表示为点尸（。⑼到C（-l,0）的距离d,

d.4=也

mnVi+l2

故选：A.

4.已知从尸、0是半径为2的圆上的三个动点，弦尸。所对的圆心角为120°，则方•质的最大值为

)

A.6B.3c.4eD.百

【答案】A

【解析】

【分析】将万•血中向量进行分解，即：Qx而=（方+而方+丽），

由8是P0的中点，可将上式进行化简整理为彳万、而=益2_3,所以只需求|刀|最大，即8。的长加圆

的半径即可，然后代入即可求得万•质的最大值.

【详解】因为弦尸。所对的圆心角为120°，且圆的半径为2,所以|尸@=26,

取尸。的中点8,所以忸尸|=忸0=百，忸。|=1,如图所示：

-----*2------,,

因为刀x而=（益+而AB+AB

因为8是尸。的中点，所以加+苑=0,BP^BQ=-\BP^BQ\

AP^AQ=AB2-|5P||^2|=AB2-3,

所以若NA•而最大，所以只需|刀|最大,

所以|花|=\BO\+r=1+2=3,

IImax11

所以(9X而)=32-3=6.

\Jmax

故选：A

5.已知函数/(x)=/sin(0x+0)(4〉O,口＞0）的部分图象，则/)

C.-V3D.-2

【答案】B

【解析】

71

【分析】由图象求得函数解析式，可求/

【详解】函数/(x)=Zsin(ox+0),

由图象可知，/=2,

函数最小正周期为T,有，？［-总后，则T吟*3=3,

得/(x)=2sin(3x+0),

rr3兀

=2nsinl--+1=2,取夕=1

4

则/(x)=2sin[3x+彳),

=2sin-=-V2.

4

故选：B

6.E^/(x)=lg(siwc-cosx),则下列结论错误的是()

A./(x)是周期函数

jrjr

B./(x)在区间上单调递增

C.>=/(x)的图象关于》=-:对称

D.方程/(x)=0在［0,2可有2个相异实根

【答案】B

【解析】

jr

【分析】根据函数周期性定义可判断A；根据特殊值，即苫=:时，函数无意义判断B；结合正弦函数的对

4

称性判断C；求出方程/(x)=0在［0,2可上的根，判断D.

【详解】函数/(%)=照(5加一(：0闻=怆05皿》一；)，定义域为++左eZ,

对于A,/(x+27i)=lgV2sin(x+27i-^-)=/(x),故/(x)是周期函数，A正确；

兀..

对于B,当x时，sinx=cosx,则sinx—cosx=0,

4

此时/(x)=lg(sinx-cosx)无意义，故B错误；

对于C,当X=-四时，V2sin(x--)=-V2,

44

即y=0sin(x—；)的图象关于x=-：对称，

由于/(x)的定义域为12也+；,2桁+牛：左eZ也关于x=-：对称，

故>=/(》)的图象关于x=-：对称，C正确；

对于D,令/(x)=lg正sin(x—£)=0,即sin(x—：)=与，

TTTTTT3TT

则x=一+2左兀,keZ,或％=---F2左兀,kEZ,

4444

JI

即％二—+2左兀，左£Z,或1=兀+2所,左EZ,

2

则当k=0时，x=兀£［0,2兀］,

即方程/(x)=0在［0,2可有2个相异实根，D正确，

故选：B

7.已知a=ln(1.2e),b=e°',c=,则有()

e

A.a<b<cB,a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】C

【解析】

【分析】构造/(x)=e，-ln(x+l)—l,x>l,根据导函数得出函数/(x)在(0,+。)上单调递增，即可得出

/(0.2)>0,所以c<a；构造g(x)=e*—(x+l),x>0,根据导函数得出函数g(x)在(0,+。)上单调递

增，可判断c<l,再根据对数函数的运算性质得到C<a.

【详解】令/(x)=eJln(x+l)-l,x>0,则/<x)=e，—一—.

X+1

当x>0时，有所以」一<1,

x+lX+1

所以,/'(x)>0在(0,+动上恒成立，

所以，/(X)在(0,+“)上单调递增，

所以，/(x)>/(0)=l-1=0,

2

所以，/(0.2)>0,BPe°--lnl,2-l>0>所以a<b

令g(x)=e'—(x+l),x>0,则g'(x)=e*T在尤>0时恒大于零，故g(x)为增函数，

所以——<l,x>0,而a=ln(1.2e)=l+lnl.2>l,所以c<a,

e

所以,

故选：C

8.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，对任意xeR,都有〃x+2)+/(2-x)=0,当xe(0,2)

时，〃x)=hw,则/(x)在［—10,10］上的零点个数为()

A.10B.15C.20D.21

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件“x+2)+/(2-x)=0,得到函数/(x)的周期为7=4,再根据条件得出

xe(—2,0)时，/(x)=-h(-x),从而得出/(—1)=/(0)=/⑴=/(2)=0,再利用周期性及图像即可

求出结果.

【详解】因为/(x+2)+/(2-x)=0,令/=2—x,得到/(4—/)+/。)=0,

所以/(4-)=—/«),从而有/(4+/)=—/(—/),又函数/(x)是定义在R上的奇函数，

所以/(4+/)=/«),即/(4+x)=/(x),所以函数/(x)的周期为7=4,

令xe(-2,0),则-xe(O,2),又当xe(0,2)时，f(x)=Inx,

所以/(-x)Tn(—x),得至i］/(x)=-ln(-x),

lnx,xe(0,2)

故/(x)=<0,x=0，又T=4,所以/(x)在10,10］上的图像如图,

-ln(-x),xG(-2,0)

又当xe(O,2)时，由/(x)=0,得到x=l,当xe(—2,0),由/(0=0,得到x=—1,即

/(1)=0,/(-1)=0,

又T=4,所以/(一8)=/(-4)=/(0)=/(4)=/(8)=0,

f(-9)=/(-5)=/(-I)=/(3)=/(7)=0,/(-7)=/(-3)=/(1)=/(5)=/(9)=0,

又由/(x+2)+/(2—x)=0,得到/(2)+/(2)=0,即/⑵=0,

所以/(—10)=/(-6)=/(-2)=/(2)=/(6)=/(10)=0,

再结合图像知，/(“在［-10,10］上的零点个数为21个，

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知。>力，下列结论正确的是()

A.对任意实数CM，>儿2

B.若一>—,则ab<0

ab

C.若b〉0,贝IJ2Q+7H-----^的最小值是4A/^

ba-b

D.若。2〉/,贝1］">0

【答案】BC

【解析】

【分析】举出反例即可判断AD；作差即可判断B；根据2。+工+,=2(。一»+,+26+」结合基

ba-ba-bb

本不等式即可判断C.

【详解】对于A,当。=0时，ac2=Q=bc\故A错误；

对于B,因为—>一,

ab

所以工―工=2二g〉o,所以。6<0,故B正确；

abab

对于C,因为a>/?>0,所以。一6>0,

则2。+工+^—=2("6)+^—+26+,"2("».——+2.2Z)--=4V2,

ba-bI'a-bbVV)a-b\b

11/n

当且仅当2(a—b)=-7且2b=7,即a=J5/=注时取等号，

a-bb2

所以2。+不H-------^的最小值是故C正确；

ba-b

对于D,当。=2,6=-1时，a>b,a1>b?,ab<0,故D错误.

故选：BC.

10.已知函数/(X)=--3X2-9X+1,则下列结论正确的是()

A./(x)在［-2,1］上的最小值为-10

B.>=/(x)的图象与无轴有3个公共点

C.>=/(%)的图象关于点(0」)对称

D.>=/(目的图象过点(一2,0)的切线有3条

【答案】ABD

【解析】

【分析】将原函数/卜)=丁-3/一以+1的导函数求出，即为：f(x)=3x2-6x-9,由导函数的正负判

断原函数的单调性，然后即可判断出函数在卜2,1］上的最值，将原函数的极大值与极小值求出，即可画出

函数图象，判断出函数与X轴的交点个数，对于C选项，只需判断出/(-x)+/(x)=2即能说明y=/(x)

的图象关于点(0,1)对称，D选项需求过点(-2,0)的切线方程，注意区分过某点的切线方程和在某点的切

线方程.

【详解】因为/k)=/-3/一9x+l,所以/'(x)=3f-6X—9=3(X+1)(X—3),

所以当—1<X<3时，/'(无)<0,/(x)单调递减,

当x<—1或x>3时，/心)>0,/(x)单调递增，

A选项中，当xe[—2』时，/(X)在(—2,—1)上单调递增，在(—1,1)上单调递减，

所以/卜2)=卜2)，3<-2)2-9<-2)+1=一1,

/(1)=13-3'I2-9'1+1=-10,

所以/(x)在卜2,1]上的最小值为TO,A正确；

因为/(力在(-叫-1)，(3,+8)上单调递增，在(-1,3)上单调递减，

/⑴极大值$T)=(少-3<一I)?3(一1)+1=6,

/(x)极小值=/(3)=3二3'32-9'3+1=-26,

且当X->-co时，/(X)-—00,Xf+C0时，/(X)->+oo,

如图所示：

所以歹=/(》)的图象与x轴有3个公共点，B正确；

若>=/(x)的图象关于(0」)对称，则有/(f)+/(x)=2,

因为=x3-3x2-9x+]+(-x)3_3(-x)2-9(-x)+1=-6x2+2,

所以C错误;

因为,'(X)=3/一6》一9,设y=/(x)的切点为卜o，x；-3%o-9x0+1),

所以/，/)=3x；-6x0-9,

所以在切点卜o，x；-3x；-9x0+lj处的切线方程为：y-x()+3x；+9玉)-1=(3x：-6x0-9)(x-%),

当切线过(一2,0)时，即：-x；+3x；+9x°-l=(3x；-6/-9)(-2-%),

整理得：2XQ+3%Q-12x0-19=0,

设加(x)=2x3+3x2-12x-19,

则加=6%2+6x-12=6(%2+%-2)=6(x-1)(x+2)

所以加'(x)=0时，x=1或x=-2,

当加'(x)<0时，-2<x<l,加(x)单调递减，

当加(％)>0时，、<一2或x>l,加(x)单调递增，

所以加⑴极大值/(一2)=2<2丫+3<2)2一⑵(-2)-19=1,

巩》)极小值/(1)=2'F+3'F一12'1-19=-26

所以m(x)的图象如图所示：

所以由图象知根(x)有三个零点，所以2d+3f-12x-19=0有三个根，

所以歹=/(力的图象过点(一2,0)的切线有3条，D正确.

故选：ABD

11.如图，长方形48C。中，4B=1,8C=2,E为BC的中点，现将△氏4E沿4E向上翻折到△尸/£的

位置，连接尸C,。。，在翻折的过程中，以下结论正确的是()

P⑻

A.存在点尸，使得尸Z，£Z)

B.四棱锥尸-NEC。体积的最大值为注

4

c.尸。的中点厂的轨迹长度为叵

4

D.ERC。与平面所成的角相等

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据面面垂直性质，锥体体积、动点轨迹、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于A,当平面4PE_1_平面ZECD时有尸4_1_，下面证明：

在底面ZECD中，AE=DE=g,AD=2,所以

当平面APE±平面AECD时，平面APEn平面AECD=AE,DEu平面AECD,

所以DE/平面4PE,

又尸Zu平面4PE,所以尸Z，££),故A正确.

对于B,梯形NECZ)的面积为牛xl=],AE=6,直角V4PE斜边NE上的高为亚.

222

当平面4PE,平面ZECD时，四棱锥尸—ZEC。的体积取得最大值1x3xY2=也，B正确.

3224

对于C,取R4的中点G,连接GF,GE,FC,则GE,EC平行且相等，四边形ECFG是平行四边形，

所以点尸的轨迹与点G的轨迹形状完全相同.

过G作/£的垂线，垂足为〃，G的轨迹是以“为圆心，〃G="为半径的半圆弧，

4

从而阳的中点下的轨迹长度为叵，C错误.

4

对于D,由四边形ECFG是平行四边形，知EC〃/G,

又£C<Z平面P4D,尸Gu平面P4D,

则EC//平面PAD,则瓦C到平面PAD的距离相等，

故PE,CD与平面PAD所成角的正弦值之比为CD:PE=1:1,D正确.

P(B)

【点睛】关键点点睛：求下的轨迹关键是证得点厂与点G的轨迹相同，转化为G的轨迹解决.EP,CD与

平面所成的角相等的证明关键要先证得E与C到平面的距离相等.

12.设4,6,…，匕为平面々内的〃个点，平面a内到点4,6,…，匕的距离之和最小的点，称为点

P[,P»…,P,,的“优点”.例如，线段45上的任意点都是端点45的优点.则有下列命题为真命题的有：

()

A.若三个点45,C共线，C在线段上，则C是4民。的优点

B.若四个点45,c,£>共线，则它们的优点存在且唯一

c.若四个点4民C,。能构成四边形，则它们的优点存在且唯一

D.直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的优点

【答案】AC

【解析】

【分析】根据优点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可.

【详解】对于A,若三个点4瓦C共线，C在线段48上，根据两点之间线段最短，则C是4民C的优

点，故A正确；

对于B,若四个点4民。,。共线，则它们的优点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的优点存在但

不唯一，如3,C三等分AD,设|48|=忸。|=|。必=1,|B^|+|5C|+|BZ)|=4=|C4|+|CB|+|CZ)|,

故B错误;

ABCD

对于C,如图，设在梯形45C。中，对角线的交点。，〃是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边

^MA+MB+MC+MD>AC+BD=OA+OB+OC+OD,

•••梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一优点.故C正确.

对于D,举一个反例，如边长为3,4,5的直角三角形48C,点尸是斜边N3的中点，此直角三角形的斜边

的中点P到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7,.•.直角三角形斜

边的中点不是该直角三角形三个顶点的优点；故D错误;

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则

该报告厅座位的总数是.

【答案】840

【解析】

【分析】根据题意将问题转化为等差数列问题，应用等差数列的通项公式和前"项和公式，基本量运算即

可求解.

【详解】设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列｛4｝,其前"项和为

根据题意，数列｛4｝是一个公差为d=2的等差数列，且%o=41,

故

a[=aw—9d=41—18=23.

20x(20-1)

由S=20。]+x2=840

202

因此，则该报告厅总座位数为840个座位.

故答案为:840

【答案】其1##2后

33

【解析】

【分析】由题设可得。+色€（0,色），进而求得cos[a+&]=Y5,再应用二倍角余弦公式及诱导公式求

444）3

目标函数值.

【详解】由题设a+巴e（-巴,史），又sin[a+P]=Y3e（O,Y2）,Lt兀/八兀、

则a+—e（0,一）,

44414J3244

则cos2a=sin（2a+

故答案为：迪

3

15.已知圆锥的母线长为/（定值），当圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角大小为.

【答案]巫式用巫L

33

【解析】

【分析】表达出圆锥的体积，通过求导得出其单调性，即可求出当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的

圆心角的弧度数.

【详解】由题意，圆锥的母线长为/,

设圆锥的底面半径为/•,高为九则产+的=产，...『2=/2—%2,

体积：J7=g仃2力=；兀（/2_/“=；兀（/2”_力3）,

.•.*兀…）,

3

r>0,%单调递增;r<o,/单调递减,

.•.当场=辿时，/取得最大值,

3

此时外=幽，侧面展开图的圆心角2nr2y/~6

a-------=-------兀•

33

故答案为：2瓜兀•

3

BA—C50

16.已知AABC内角分别为4民。，且满足cos—+2sin-------=0,则——+——的最小值为

22sinZsinC

【答案】16

【解析】

AQAQ

【分析】由三角形内角和性质、诱导公式、和差角正弦公式可得3sin—cos—=cos—sin一,进而有

2222

C

2ctan—42tan-4A

3tan一=tan一>0,结合sinZ=_____2_sinC=--------。将目标式化为^万，应用

,24,,"Ctan一

221+tarT—1+tan--?

22

基本不等式求最小值即可.

nA+CA-CA+CA-C

【详解】由题设cos(----------)+2sin--=sin--+2sin--=0，

22222

.ACZ.Cj.ZCA.C.

所以sin—cos—+cos—sin一+2(sin—cos----cos—sin一)=0n，

22222222

.ACA.CAC小兀、口cAC八

所以3sin—cos—=cos—sin—，—,—e(0,一)即3tan—=xtan—>0,

222222222

2tan—2tan一

又sinN=--------J,sinC=--------

1+tan—1+tan—

22

222

595(1+tan-)9(1+tan—)4+16tan-4Z

则-----+------=------------+----------=--------------2_-------+16tan一

A2

sinAsinC2tan幺—2tan—Ct+an—Ztan-—

2222

c4A

>2--------16tan一=16

…N2

4“ZA1

------r=16tan—tan———,..

当且仅当，时取等号,

tan——A222

2

59

所以一；+「；的最小值为16.

smAsmC

故答案为：16

AC

【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换将条件化为3tan—=tan—>0,再应用万能公式用正切表示正

22

弦为关键.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.记。的内角4民。的对边分别为。也。，已知——=4.

cosA

(1)求be:

/八HacosH-bcosZb14

(2)右---------=-+l,求△48C面积.

acosB+bcosAc

n

【答案】(l)2(2)2

2

【解析】

【分析】(I)由余弦定理化简已知等式，可求be；

(2)由正弦定理和两角和的正弦公式化简等式，求出角A,面积公式求面积.

【小问I详解】

,人?,?7_,.+c?—/2bccosZ.

由余弦定理/=〃+02—2b0cos4，z得n-----------=--------=2bc=4，

cosAcosA

所以bc=2.

【小问2详解】

.acosjB-bcosAb、,

若fl--------------=—+l,由正弦定理m，

acosB+bcosAc

acosB-bcosA_siMcosB-sinScos/=sin^cos^—sinficosZ=sirUcosB-sinffcosZ

acosB+bcosAsiib4cos5+sin5cos/sin(4+8)sinC

/7+]b+csinS+sinCsin8+sin(4+B)_siiiS+siiL4cosB+siii5cos/

ccsinCsinCsinC

所以一2cos4sin8=siaB,

因为5£(0,兀)，故0<sinS<l,所以cos/二一g,

又0</<兀，所以siiL4=32,

2

」6csmZ」x2x^=走

故A48C的面积为S

△TlnC2222

18.已知函数f(x)=x-(m+2)lnx-----.

x

(1)若/(X)在(1,7(1))处的切线/垂直于直线x—2y+l=0,求/的方程;

(2)讨论/(x)的单调性.

【答案】(1)2x+j-5=0

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义求得参数力的值，即可求得答案；

(2)求出函数导数，分类讨论加的取值，结合解不等式，求得导数大于0和小于0时的解，即可求得答案.

【小问1详解】

由题意得广(x)=l—3+乌=寸也±交±网；

XXX

因为/(X)在x=l处的切线/垂直于直线X—2y+l=0,

所以/'⑴=—2,即1—(加+2)+2-=—2,解之得,"=一1；

又"1)=3,

所以/的方程为V—3=—2(x—1),即2x+y—5=0.

【小问2详解】

/⑺的定义域为(0,+。)，

x~-(m+2)x+2m(x-2)(x-切)

由(1)得/'(x)=

所以当加<0时，令/心)>0得x>2,令/'(x)<0得0<x<2,

所以/(x)在(2,+8)上单调递增，在(0,2)上单调递减；

当0(加<2时，令/'心)>0得0<x<加或x>2,令/''(x)<0得用<x<2,

所以/(x)在(0,⑼和(2,+s)上单调递增，在(m,2)上单调递减；

当加=2时,/'（x）20在（0,+功上恒成立,

所以/（x）在（0,+“）上单调递增；

当加＞2时，令/'，弓＞0得0＜x＜2或x＞加，令/'（x）＜0得2＜x（加，

所以/（x）在（0,2）和（机,+8）上单调递增，在（2,m）上单调递减.

综上，当机＜0时，/⑺在（2,+8）上单调递增，在（0,2）上单调递减；

当0＜加＜2时，/（x）在（0,加）和（2,+8）上单调递增，在（m,2）上单调递减；

当加=2时，/（x）在（0,+。）上单调递增；

当加＞2时，/（x）在（0,2）和（机,+8）上单调递增，在（2,机）上单调递减.

19.已知数列｛%,｝,｛4｝是公比不相等的两个等比数列，令c“=a”+b”.

（1）证明：数列｛qj不是等比数列；

（2）若％=2",“=3",是否存在常数左，使得数列｛。用+此“｝为等比数列？若存在，求出后的值；若

不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）存在，左=—2或左=—3

【解析】

【分析】（1）要证明证｛，”｝不是等比数列，只需证即可，由此计算C；-即可证明结论；

（2）假设存在常数无，使得数列｛。向+h“｝为等比数列，则利用等比中项性质，列式化简求解，可求得左

的值，验证即得结论.

【小问1详解】

设｛%｝,｛4｝的公比分别为p,q（p#q），

为证｛cn｝不是等比数列，只需证C；W.

而一年3-3。+丽）一（%+幻+4/）=一她（p-q）2,

由于且为,［不为零，

因此故｛%｝不是等比数列.

【小问2详解】

假设存在常数k，使得数列｛c〃+i+kc„］为等比数列,

则有（0"+1+也｝=（%+2+姐+i）（g+kC"_）,〃N2,

将％=2"+3"代入上式，得

［2角+3"+i+左（2"+3"-+3"+2+、2"+i+3向）｝［2"+3"+k（T-x+

即［（2+左）2"+（3+左）3"丁=［（2+左）2-1+（3+左）3"［•［（2+左）2自+（3+后）3自］，

整理得12（2+左）（3+左）=13（2+左）（3+左）,

解得上=—2或左=—3.

B+1B+1B

经检验,当左=一2时,c„+1+kcn=2+3+（-2）.（2"+3"）=3,

此时数列｛c“+i+kcn｝为等比数列；

B+1B+1M

当上=—3时，c„+1+kcn=2+3+（-3）.（2+3"）=-2",

数列｛c»+l+此“｝为等比数列，

所以，存在常数左=-2或左=-3,使得数列｛%+i+3｝为等比数列.

20.如图，在四棱台48CD—44GA中，底面/BCD为平行四边形，ZBAD=nO°,侧棱幺同工底

面ABCD,M为棱CD上的点.2。=AXA=2,A｝By=DM=1.

(1)求证：AM1AXB；

(2)若新为CD的中点，N为棱。。1上的点，且。"=好，求平面4跖V与平面48。所成角的余弦