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文档简介
关于椭圆的参数方程例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
OAMxyNB分析:点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.
而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.设<AON=φ,M(x,y),则在中,即:在中,即:abφ椭圆的参数方程为:(φ为参数)第2页,共9页,2024年2月25日,星期天1.椭圆中心在原点的参数方程:2.在椭圆的参数方程中,常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
3.
称为点M的离心角,规定参数
的取值范围是。第3页,共9页,2024年2月25日,星期天第4页,共9页,2024年2月25日,星期天【练习2】把下列普通方程化为参数方程.
(1)(2)(3)(4)把下列参数方程化为普通方程第5页,共9页,2024年2月25日,星期天
[例1]如图,在椭圆4x2+9y2=36上求一点P,使P到直线l:x+2y-10=0的距离最小.解:可化为对应的参数方程为(φ为参数)设椭圆上任一点M(3cosφ,4sinφ),则点M到直线的距离为:令所以,当α-φ=0时,d取最小值,此时故,当M点位于时,到直线的距离取最小值第6页,共9页,2024年2月25日,星期天思考:已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点,求(1)x2+y2的最值;(2)x+y的最值;(3)P到直线x+y-1=0的距离d的最值。解:圆x2+y2-6x-4y+12=0即(x-3)2+(y-2)2=1,用参数方程表示为由于点P在圆上,所以可设P(3+cosθ,2+sinθ),(1)x2+y2=(3+cosθ)2+(2+sinθ)2=14+4sinθ
+6cosθ=14+2sin(θ+ψ).(其中tanψ=3/2)第7页,共9页,2024年2月25日,星期天∴
x2+y2
的最大值为14+2,最小值为14-2。(2)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+sin(θ+)∴x+y的最大值为5+
,最小值为5-
。(3)显然当sin(θ+)=1时,d取最大值,最小值,分别为,。第8
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