相似三角形的判定

关于相似三角形的判定一.复习回顾1.辨析

(1)四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？

(2)四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？2.什么样的两个多边形是相似多边形？3.什么是相似比（相似系数）？

简答：1.可举反例回答（1）正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形；（2）正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形.2.两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，下面请同学们思考以下几个问题：第2页,共23页，2024年2月25日，星期天二.引入新知如图1，△ABC与△A′B′C′相似.则图1中的两个三角形记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”，“∽”叫相似符号.CABB′C′A′图1即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对应关系是唯一确定的，即A与A′、B与B′、C与C′分别对应.如果仅说“这两个三角形相似”,没有用“∽”表示的，则没有说明对应关系.

两个三角形相似，用相似符号表示时，与全等一样，应把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边.24.2相似三角形的判定（第1课时）第3页,共23页，2024年2月25日，星期天对于△ABC∽△A′B′C′，根据相似形的定义，应有∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，(三边对应成比例也可写成AB:BC:CA=A′B′:B′C′:C′A′)练习1.已知△ABC∽△DEF,请指出所有的对应边和对应角.并分别指出它们的关系.2.如果将上题中“△ABC∽△DEF”改为“△ABC与△DEF相似”你还能指出它们的对应关系吗？相似三角形的对应关系第4页,共23页，2024年2月25日，星期天相似三角形的相似比将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为△A′B′C′∽△ABC的相似比记为，练习3.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比和△DEF与△ABC的相似比是否相等？如果不相等，和满足什么关系？如果AB=2，DE=2呢？

简析：=，=，≠，.==1第5页,共23页，2024年2月25日，星期天归纳

若将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为，△A′B′C′∽△ABC的相似比记为，一般=.当且仅当这两个三角形全等时，才有

==1.因此，三角形全等是三角形相似的特例.第6页,共23页，2024年2月25日，星期天三.类比猜想1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？2.是不是需要所有的对应边和对应角都相等？3.猜想：两个三角形相似是不是也有简便的方法？简析：1.两个三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS,直角三角形还有HL.2.不需要所有的对应边和对应角都相等.3.猜想：两个三角形相似也不需要所有的对应角和对应边长度的比相等.第7页,共23页，2024年2月25日，星期天四.探究论证

在△ABC中，D为AB上任意一点，如图2所示.过点D作BC的平行线交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？ADBCEAEACEACEABCEADBCA图2已知:在△ABC中，DE∥BC,DE分别交AB，AC于D，E.求证：△ADE∽△ABC.第8页,共23页，2024年2月25日，星期天

1.根据相似多边形的定义△ADE与

△ABC相似必须满足哪些条件？分析由已知和图2可知△ADE与△ABC相似必须有：∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,2.已经具备哪些条件？为什么？还需要什么条件？已有条件：∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C，

，还需要条件：ADBCEAEACEACEABCEADBCA图2第9页,共23页，2024年2月25日，星期天分析

3.解决这个问题的关键在哪里？怎么解决？转化：将DE平移到BC上（可过点D作AC的平行线，交BC于F，则CF=DE）运用定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例.即可得到ADEBCF第10页,共23页，2024年2月25日，星期天证明

过点D作AC的平行线，交BC于F.∵DE∥BC,DF∥AC，∴因为四边形DFCE是平行四边形，∴DE=FC，又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.ABCDEF第11页,共23页，2024年2月25日，星期天五.定理归纳

由以上探究过程你能得出什么结论？如果这条直线与三角形两边的延长线相交呢？如图3所示图3ABCDEBCDEAEDCAB定理平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似.

符号语言

在△ABC中,

若DE∥BC,（如图3所示)

则△ADE∽△ABC.第12页,共23页，2024年2月25日，星期天六.巩固练习

如图4，在ABCD中，DE交BC于F,交AB的延长线于点E.（1）请写出图中相似的三角形；（2）请由其中的一对相似三角形写出相应的比例式；（3）请说明AE·BF与AD·BE是否相等？F图4ABCDE第13页,共23页，2024年2月25日，星期天简析（1）△EBF∽△EAD，△CDF∽△BEF，△EAD∽△DCF；也可写成△EBF∽△EAD∽△DCF(3)由（2）中比例式化成乘积式可得AE·BF=AD·BE.

（2）举一例：在△EBF∽△EAD中有

，

还有两种情形同学们自己解答.F图4ABCDE第14页,共23页，2024年2月25日，星期天七.目标总结本节课我们学习了哪些内容？本节课首先讲述了相似三角形的有关概念，然后通过探究得出“三角形一边的平行线截三角形两边或其延长线所得的三角形与原三角形相似”这一判定定理.三角形一边的平行线的判定定理不仅可以直接用来证明有关的三角形相似的问题，而且是证明其他三个判定定理的主要依据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的预备定理.熟练掌握这一定理对后面三个定理的证明至关重要.

学习了哪些思想方法？

类比和转化的思想，作辅助线的方法.你掌握了哪些知识？还有什么问题？第15页,共23页，2024年2月25日，星期天八.作业设计1.课本中本节练习2.习题24.2第4题3.补充练习：如图5，△ABC

中BD是角平分线，过点D作

DE∥AB交BC于E,AB=5cm

，BE=3cm，求EC的长.图5ABCDE第16页,共23页，2024年2月25日，星期天学习任何东西，最好的途径是自己去发现！同学们，再见第17页,共23页，2024年2月25日，星期天教学目标理解相似三角形概念，能正确地找出相似三角形的对应角和对应边.会用三角形一边的平行线的判定定理进行计算和作比较简单的证明.通过复习前面所学过的有关知识，加深对定理的理解，提高学生利用已学知识证明新命题的能力，并在探索相似三角形条件的过程中，培养学生有条理的分析和推理能力.第18页,共23页，2024年2月25日，星期天内容分析相似三角形的判定是本章的重点内容之一.本节课是相似三角形的判定的第一课时，首先讲述了相似三角形的有关概念，然后通过探究得出三角形一边的平行线的判定定理.三角形一边的平行线的判定定理不仅可以直接用来证明有关的三角形相似的问题，而且还是证明其他三个判定定理的主要依据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的预备定理.熟练掌握这一定理对后面三个定理的证明至关重要.第19页,共23页，2024年2月25日，星期天内容分析教学重点掌握三角形一边的平行线的判定定理.教学难点三角形一边的平行线的判定定理的探索及证明.第20页,共23页，2024年2月25日，星期天设计意图通过三个问题的思考可使学生理解两个多边形相似条件的苛刻性，对后面相似三角形判定的探索充满期待.

通过阅读，观察，讲解，使学生基本了解相似三角形的定义、表示方法、对应关系、相似比.

紧接着提出问题，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心，才能真正掌握相似三角形中的对应关系和相似比的概念.

通过让学生回忆三角形全等的知识，引导学生类比猜想两个三角形相似的判定也有捷径可走，即不需要所有的对应角相等，所有的对应边成比例也可相似.培养和提高学生对类比数学思想的认识和理解.

第21页,共23页，2024年2月25日，星期天设计意图将探究的过程细化分解是为了降低难度，使