自动控制理论课件

课程特点高等数学积分变换自动控制理论现代控制理论其它专业课程

1、它是一门专业基础课

2、理论实践相结合理论性非常强但又和实际应用紧密结合

3、内容广泛第一章引论3、自动控制理论能为解决实际控制问题提供理论和方法学习自动控制理论的重要性1、本课程是自动化专业承上启下的课程2、自动控制技术是应用非常广泛的技术

电机控制、自动化生产线、火炮雷达控制、家用电器、机械、冶金、石油、化工、电力电子、航空、航海、航天、核反应堆等。4、学分较多本课程学习方法1、打好基础

高等数学（微积分）、积分变换（拉氏变换）2、做好预习3、听好课讲课的速度较快、了解课程内容掌握基本理论和基本方法4、做好习题

应用学到的基本理论和基本方法解决实际问题第一节开环控制和闭环控制一、什么是控制系统？ 举例：家用空调控制器 功能：使房间的温度控制在人体比较舒适的范（对象、物理量、控制设备）系统组成：控制对象房间交换设备压缩机控制板传感器执行机构测量元件控制单元家用空调系统框图的简化温度设定比较单元控制单元执行机构控制对象测量元件控制器控制对象反馈比较控制指令1、什么叫系统？为了完成某项任务、按一定规律组成、具有一定功能的整体。2、什么叫控制系统？使被控对象的一个或多个物理量能够在一定精度范围按照给定的规律变化的系统。3、控制系统的两种基本形式及特点两种基本形式：开环闭环开环系统结构及其特点：定义：只有正向作用，没有反馈控制作用的控制系统。举例：电机调速控制系统电机调速控制系统电位器放大电机功率放大负载控制器被控对象输入量控制量输出量开环系统的特点：

A、只有正向作用，没有反馈作用；

B、控制精度取决于元器件的精度和系统调整精度；

C、没有抑制内、外干扰的能力；

D、系统结构简单、成本低。闭环系统结构及其特点定义：既有正向作用，又有反馈控制作用的控制系统。举例：电机调速控制系统电位器放大电机功率放大负载比较器测速电机控制器被控对象输入量输出量比较测量电路控制输出量误差信号反馈量闭环系统的特点

A、既有正向作用，又有反馈控制；

B、控制精度与元件精度、控制方法、调整精度有关，控制精度较高；

C、有抑制干扰的能力；

D、结构复杂，成本相对较高。第二节自动控制系统的类型自动调整系统特征：输入信号为常数典型系统：液位、温度、压力、流量控制程序控制系统特征：输入信号为预知的随时间变化函数典型系统：热处理炉控制系统、镜片固化炉温度控制、程序控制机床、灌装生产线、自动生产流水线。随动系统（伺服控制系统）特征：输入信号未知的随时间变化任意函数典型系统：鱼雷飞行、炮瞄雷达、火炮自动瞄准、导弹制导。

按描述元件的动态方程分类

线性系统特征：元件是线性的、系统运动方程可用线性微分方程或差分方程描述非线性系统特征：系统中含有至少一个非线性元件、系统运动方程需用非线性方程或差分方程描述。典型非线性：饱和、死区、继电器、传动间隙。

按系统传递的信号分类

连续系统特征：系统各环节之间传递的信号均为时间的连续函数，一般用微分方程描述。离散系统特征：在信号传递过程中，至少有一处的信号是脉冲序列或数字编码。

按输入输出信号数量分类

单输入单输出系统（单变量系统）特征：输入输出变量仅有一个。多输入多输出系统特征：输入输出变量多于一个。

按系统结构和参数的确定性分类确定系统特征：系统的结构和参数是确定的、已知的，系统的输入信号也是确定的，可以用解析式或图表确切表示。不确定系统特征：系统的结构和参数是不确定的或，系统的输入信号是不确定的。

按系统微分方程分类

集中参数系统特征：能用常微分方程描述分布参数系统特征：至少有一个环节需要用偏微分方程描述。第三节自动控制理论概要一、对自动控制系统的要求稳定性要求快速性要求准确性要求二、自动控制理论研究的问题自动控制建模问题控制系统分析控制系统设计三、控制系统建模问题描述方法传递函数建立方法理论推导、实验法四、自动控制系统分析分析基础系统传递函数分析内容稳定性、稳态、暂态分析工具手工计算、计算机软件五、自动控制系统的设计给定数学模型和技术指标情况下，希望有简洁的方法解决以下问题：控制方案决定一种合适的控制规律及相应参系统分析近似估计系统时域响改进建议当系统性能不满足要求时指明改善系统性能的途径。设计手段控制系统的计算机辅助设计六、古典控制理论与现代控制理论古典控制理论研究对象：单输入单输出线性系统数学基础：微积分、积分变换系统描述方法：传递函数研究方法：时域法、频率特性法、根轨迹法核心概念：输出反馈适用系统：线性系统现代控制理论研究对象：多输入多输出线性系统数学基础：线性代数、矩阵理论系统描述方法：状态空间表达式研究方法：时域法核心概念：状态反馈适用系统：线性、非线性现代控制理论研究对象：多输入多输出线性系统数学基础：线性代数、矩阵理论系统描述方法：状态空间表达式研究方法：时域法核心概念：状态反馈适用系统：线性、非线性第二章、线性系统的数学模型控制系统数学模型概述

一、为什么要建立控制系统的数学模型？1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要2、是寻找一个较好的控制规律的需要

二、什么是控制系统的数学模型？描述控制系统中各变量之间相互关系的数学表达式

三、如何建立数学模型？1、提出合理的假设，忽略次要因数，抓住本质。2、建立恰当的数学描述3、非线性环节的处理

五、古典控制理论中控制系统模型描述方法

1、微分方程2、传递函数四、实际工程应用中建立模型的一般步骤

1、把各部件尽可能地作线性化处理；

2、建立线性化的系统模型（近似模型）；

3、求系统的近似特性；

4、建立更复杂的模型，得到更精确的特性。六、建立控制系统数学模型的一般方法

1、机理分析法

2、实验辩识法

第一节线性系统的输入—输出时间函数描述1、建立的目的：确定被控制量与给定输入或扰动之间的关系，为分析和设计创造条件

2、建立输入—输出时间函数描述的方法分析系统的工作原理，作合理的假设；确定系统的输入量和输出量；根据物理或化学定律例写描述系统运动的方程；（常用定律：基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律）消去中间变量求出描述系统输入输出关系的微分方程。一、建立线性系统的输入—输出时间描述函数例1、弹簧阻尼系统，图中质量为m的物体受到外力F的作用，产生位移y，求该系统的输入—输出描述解：（1）分析物体m的受力情况，假设k为常数、f为常数;（2）输入量为F，输出量为y;（3）根据牛顿定律列写方程（4）消去中间变量求出描述系统输入—输出关系的微分方程。例2、如图为两个形式相同的RC电路串联组成的滤波电路，建立输入电压为u,求电容C2两端电压uc为输出的微分方程。解：

（1）分析电路的工作原理，假设电阻是理想电阻器，电容也是理想的电容器；（2）输入量为u，输出量为uc;（3）根据基尔霍夫定理列写方程（4）消去中间变量求出描述系统输入—输出关系的微分方程。二、描述线性定常系统输入—输出关系的微分方程一般形式：三、实验法建立模型基本原理1、基本原理：设系统是线性定常系统，且t=0时系统的响应及其各阶导数均为零，则其响应与输入之间其次性和线性关系，即满足2、脉冲函数单位脉冲函数延迟单位脉冲函数3、实验方法如果以单位脉冲函数作为输入函数，则系统输出为称为单位脉冲响应。

如果以脉冲强度为A的延迟脉冲函数作为输入函数，将其施加于初始条件为零的线性定常系统，它将满足第二节线性系统的输入—输出传递函数描述

R(S)—输入函数的拉氏变换C(S)—输出函数的拉氏变换S—拉氏算子说明:1、拉氏算子为复变量，单位为S-12、利用拉氏变换之后，卷积分公式变成代数方程，G（S）称为系统的传递函数，它是系统单位脉冲响应的象函数，在电路分析中也称为网络函数；3、卷积分公式只适用于初始条件为零的线性定常系统，传递函数可定义为初始条件为零的线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比；4、传递函数中的S算子可与角频率ω联系起来，传递函数也称为频域描述。5、得到系统传递函数的方法实验法、分析法用分析法求系统传递函数假设通过对系统机理模型分析得到n阶系统的微分方程为假设初始条件为零！！对等式两边取拉氏变换可得：极点：零点：代数方程式的根由方程式的结构与其各项系数确定，系统极点和零点由系统结构与参数确定。第三节非线性数学模型的线性化

1、什么叫非线性数学模型的线性化？在一定条件下将非线性系统近似的视为线性系统

2、典型非线性—发电机激磁特性3、小范围线性化的概念和原理

假设对于一般的非线性系统，其输入量为r,输出量为c=f(r),并设在给定的工作点c0=f(r0)处各阶导数均存在，则可以展开成泰勒级数：在处理线性化问题时，要注意以下几点：

（1）工作点不同，线性化方程的参数不同；（2）当输入量变化范围较大时，用上述方法建立模型时会会引入较大误差；（3）本质非线性，不能采用上述线性化方法，小范围线性化只适用于非线性不很严重的非线性系统；（4）线性化后得到的微分方程，是增量方程，但为了简化方程，一般略去增量符号

作业

2、P432—1RC网络

3、P432—3电动机

第四节典型环节的数学模型什么是典型环节?

不同的物理系统是由许多元件、按不同结构和不同运动原理构成的。但抛开具体的结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性可以划分成为数不多的几种典型的数学模型，称为典型环节。常见典型环节:比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和迟后环节。一、比例环节特点：输入量输出量之间的关系为固定比例关系传递函数：常见物理系统：杠杆（无弹性形变的）、放大器（非线性和时间延迟可忽略）、测速电机电压与转速关系、传动链之速度比等等。二、惯性环节

特点：输入量输出量之间的关系满足下列微分方程

传递函数：—时间常数—比例系数单位阶跃响应：在单位阶跃输入信号的作用下，惯性环节的输出是非周期的指数函数。当t=3τ—4τ时输出量才接近稳态值。常见物理系统：直流电机的励磁回路—激磁回路电感—激磁回路电阻—输入电压—励磁电流三、积分环节特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程

传递函数：单位阶跃响应：常见物理系统：电机拖动系统—齿轮减速比设以电动机的转速为n转/分为输入量，以减速齿轮带动负载运动的轴角位移θ（单位为rad)为输出量，则四、微分环节特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程

传递函数：单位阶跃响应：常见物理系统：RC电路微分环节和惯性环节的串联组合实际上是一个比例环节和微分环节的并联组合五、振荡环节

特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程单位阶跃响应：令K=1

传递函数：—时间常数—阻尼系数（阻尼比）令：振荡环节的单位响应是有阻尼的正弦曲线。振荡程度与阻尼比有关，阻尼比越小，则振荡越强；阻尼比为零时，出现等幅振荡；阻尼比越大，则震荡衰减越快。常见物理系统：弹簧阻尼系统机械旋转系统RLC电路六、纯滞后环节特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程

传递函数：常见物理系统：1、传输延迟测量点与混合点之间信号延迟2、轧钢板的厚度控制系统单位阶跃响应：延迟单位脉冲函数相似系统1、什么是相似系统？2、相似变量3、了解相似变量和相似系统的意义注意：1、典型环节与元件并非一一对应的。2、控制系统模型与典型环节对比，即可知其有什么样的典型环节组成，由于典型环节的特性是熟知的，可为系统分析提供方便。3、典型环节只适用于线性定常系统。作业1、P452—5非线性系统线性化第五节建立数学模型的试验方法简介第六节框图及其化简方法结构方框图一、方框图的组成要素1信号线

带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。

2信号引出点（线）/测量点

表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。

3函数方框(环节)

函数方块具有运算功能4求和点（比较点、综合点）1.用符号“

”及相应的信号箭头表示2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号

注意量纲和符号!!相邻求和点可以互换、合并、分解。

代数运算的交换律、结合律和分配律。求和点可以有多个输入，但输出是唯一的!!脱离了物理系统的模型!!系统数学模型的图解形式!!形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。依据信号的流向，将各元件的方块连接起来组成整个系统的方块图。二、方框图的画法

任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。求和点函数方框引出线函数方框信号线三、方框图的运算规则1、串联运算规则

几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积。例：隔离放大器串联的RC电路同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递函数之和。并联运算规则反馈运算规则1、基于方框图的运算规则四、方框图的等效变换2、基于比较点的简化3、基于引出点的简化4、方框图简化法—求系统的传递函数（1）观察系统中是否存在相互交错的局部反馈回路；（2）确定系统中的输入输出量把输入量到输出量的一条线路列成方块图中的前向通道。（3）通过比较点和引出点的移动消除交错回路；（4）先求出并联环节和具有局部反馈环节的传递函数，然后求出整个系统的传递函数。化简示例1化简示例2只有一条前向通道的多回路系统的闭环传递函数（梅逊公式）闭环系统输入量到输出量间的串联环节的总传递函数即前向通路传递函数的乘积。n

闭环系统所具有的反馈回路的总数i各反馈回路的序号闭环系统中各交错反馈或多环局部反馈的开环传递函数即每个反馈回路的传递函数的乘积。-正反馈+负反馈5、公式法求系统的传递函数梅逊公式法直接求取传递函数示例6、代数法求系统传递函数建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）。对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。五、物理系统的方框图绘制方法例：二阶RC电气网络

作业1、P452—82、P452—9

一、信号流图及其术语二、信号代数运算法则三、根据微分方程绘制信号流图四、根据方框图绘制信号流图五、信号流图梅逊公式第七节系统信号流图

信号流图起源于梅逊（S.J.MASON）利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。节点表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。支路连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。通路沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。一、信号流图的组成要素及其术语输入节点只有输出的节点，代表系统的输入变量。输出节点只有输入的节点，代表系统的输出变量。输出节点输入节点混合节点既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，引出信号为输出节点。前向通路从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。回路起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用Lk表示。不接触回路相互间没有任何公共节点的回路X2、X3X3、X4X5二、信号代数运算法则取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo(s)作为信号流图的节点Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点三、根据微分方程绘制信号流图四、根据方框图绘制信号流图方块图转换为信号流图示例1方块图转换为信号流图示例2Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增益）—第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式∆，将与第k条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的∆即为∆k。∆kG—系统总传递函数∆—流图特征式—所有不同回路的传递函数之和—每两个互不接触回路传递函数乘积之和

—每三个互不接触回路传递函数乘积之和—任何m个互不接触回路传递函数乘积之和五、信号流图梅逊公式

一个前向通道的情况只有一条前向通路三个不同回路L1、L2不接触P1与L1、L2、L3均接触多个前向通道的情况一、系统传递函数

仅控制量作用下

仅扰动量作用下控制量和扰动共同作用下二、系统误差传递函数仅扰动量作用下控制量和扰动共同作用下§2—7控制系统传递函数

前向通道：R(s)到C(s)的信号传递通路反馈通道：C(s)到B(s)的信号传递通路系统闭环传递函数：反馈回路接通后，输出量与输入量的比值。单独处理线性叠加系统对控制量R(s)的闭环传递函数系统对扰动量N(s)的闭环传递函数一、系统的传递函数系统工作在开环状态，反馈通路断开。系统开环传递函数：前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积。

(反馈信号B(s)和偏差信号(s)之间的传递函数)系统的开环传递数函数假设扰动量N(s)=0控制量R(S)作用假设R(s)=0扰动的影响将被抑制!!!扰动量N(S)作用控制量与扰动量同时作用

以误差信号E(s)为输出量，以控制量R(s)或拢动量R(s)为输入量的闭环传递函数。二、系统误差传递函数假设扰动量N(s)=0控制量R(S)作用假设R(s)=0扰动量N(S)作用控制量与扰动量同时作用系统的闭环传递函数具有相同的特征多项式1+G1(s)G2(s)H(s)G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数。系统的固有特性与输入、输出的形式、位置均无关；同一个外作用加在系统不同的位置上，系统的响应不同，但不会改变系统的固有特性。闭环传递函数的极点相同。主要内容：

典型输入信号线性定常系统的时域响应控制系统时域响应的性能指标一阶系统的暂态响应二阶系统的暂态响应高阶系统的暂态响应

第三章线性系统的时域分析根据时域响应建立数学模型先行系统的稳定性劳斯－赫尔维茨稳定判据小参量对闭环控制系统性能的影响控制系统的稳态误差给定稳态误差和扰动稳态误差线性系统时域响应的计算机辅助分析第一节典型输入信号当A=1时称为单位阶跃函数,其数学表达式为阶跃函数当A=1时称为单位斜坡函数,其数学表达式为斜坡函数当A=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为抛物线函数当A=1时称为单位脉冲函数,其数学表达式为脉冲函数正弦函数

第二节线性定常系统的时域响应时域响应的概念控制系统模型建立后，就可以分析控制系统的性能。时域分析就是研究系统的动态性能和稳态性能，动态性能可以通过在典型输入信号控制系统的过渡性能来评价。稳态性能则是根据在典型输入信号作用下系统的稳态误差来评价。微分方程的解齐次方程通解特解

电网络分析

网络响应=暂态响应（暂态分量）+稳态响应（稳态分量）系统响应=零状态响应+零输入响应利用拉氏变换解微分方程单位阶跃响应与单位脉冲响应单位阶跃响应：如给定输入r(t)为单位阶跃函数,系统的输出即为单位阶跃响应，一般用h(t)表示。单位脉冲响应：如给定输入r(t)为单位脉冲函数,系统的输出即为单位脉冲响应，一般用g(t)表示。单位脉冲响应单位阶跃响应求导单位阶跃响应的特点：

阶跃输入对系统来说是最严格的工作状态，如果系统在阶跃作用下的动态性能满足要求，系统在其它输入信号作用下，其动态性能一般满足要求。

单位脉冲响应的特点：

系统的脉冲响应中只有暂态响应，而稳态响应总是为零，也就是说不存在与输入相对应的稳态响应。所以系统的脉冲响应更能反映系统的暂态性能。第三节控制系统的暂态响应的性能指标系统的阶跃响应:1.强烈振荡过程2.振荡过程3.单调过程4.微振荡过程时间响应稳态响应瞬态响应：系统在某一输入信号作下，其输出量从初始状态到进入稳定状态前的响应过程。一、暂态响应的概念评价系统快速性的性能指标评价系统平稳性的性能指标评价系统准确性的性能指标二、暂态响应性能指标评价系统快速性的性能指标上升时间tr:(1)响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。(2)对无超调系统，响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。峰值时间tp:响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。调整时间ts:响应曲线到达并保持在允许误差范围

（稳态值的±2%或±5%）内所需的时间。最大超调量Mp：响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：振荡次数N：在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。评价系统平稳性的性能指标ISE

（平方误差积分）ITSE

（时间乘平方误差的积分）IAE

（绝对误差积分）ITAE

（时间乘绝对误差的积分）评价系统准确性的性能指标第四节一阶系统的瞬态响应

一阶系统的形式闭环极点(特征根)：-1/T一阶系统的单位阶跃响应性质：

1）T

暂态分量

瞬态响应时间

极点距离虚轴

2）T

暂态分量

瞬态响应时间

极点距离虚轴

时间增长，无稳态误差t=Tc(t)=63.2%

实验法求Tt=3Tc(t)=95%

允许误差5%

调整时间ts=3Tt=4Tc(t)=98.2%

允许误差2%

调整时间ts=4T一阶系统的单位阶跃响应的斜率:判别系统是否为惯性环节测量惯性环节的时间常数ln[1-c(t)]与时间t成线性关系:一阶系统的单位斜坡响应性质：1）经过足够长的时间(≥4T)，输出增长速率近似与输入相同；2）输出相对于输入滞后时间T；3）稳态误差=T。只包含瞬态分量！！！一阶系统的单位脉冲响应闭环极点（特征根）：-1/T衰减系数：1/T对于一阶系统输入信号微分响应微分输入信号积分响应积分积分时间常数由零初始条件确定。线性定常系统的一个性质例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用其测量加热器内的水温，当插入水中一分钟时才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以10度/分的速度均匀上升，问温度计的稳态指示误差是多少？解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达98%，费时4T=1分，则T=0.25分。一价系统对于单位斜波信号的稳态误差是T，故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误差为10T=2.5度。二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位斜坡响应第五节二阶系统的瞬态响应二阶系统的单位阶跃响应二阶闭环系统模型

具有零点的二阶系统的响应

二阶欠阻尼系统的阶跃响应的瞬态指标系统的特征方程闭环特征方程根（闭环极点）欠阻尼：0<<1

临界阻尼：=1

过阻尼：>1

无阻尼：=0一、二阶闭环系统模型二、二阶系统的单位阶跃响应 4、无阻尼：=0 1、欠阻尼：0<<1 2、临界阻尼：=1 3、过阻尼：>1 6、几点结论 5、负阻尼：<0欠阻尼：0<<1(t0)阻尼自然频率无稳态误差；含有指数衰减振荡项:

其振幅衰减的快慢由ξ和ωn决定振荡幅值随ξ减小而加大。衰减系数：无阻尼：

=0(t0)无阻尼的等幅振荡稳定边界：无阻尼自然频率临界阻尼：

=1(t0)系统包含两类瞬态衰减分量单调上升，无振荡、无超调、无稳态误差。过阻尼：

>1(t0)系统包含两类瞬态衰减分量单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。负阻尼（ξ<0）

-1<ξ<0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。ξ<-1振荡发散单调发散几点结论：1）二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性：ξ<0

时，阶跃响应发散，系统不稳定；ξ=0时，出现等幅振荡0<ξ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重，但响应愈快，ξ≥1

时，无振荡、无超调，过渡过程长；2）ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速

系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。3）控制系统的阻尼比选择

工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。过阻尼：

>1(t0)欠阻尼：0<<1无阻尼：

=0临界阻尼：

=1三、二阶系统的单位脉冲响应过阻尼：

>1(t0)欠阻尼：0<<1临界阻尼：

=1无阻尼：

=0四、二阶系统的单位斜坡响应上升时间峰值时间调整时间五、二阶欠阻尼系统的阶跃响应的瞬态指标最大超调量振荡次数小结上升时间trξ一定时，ωn越大，tr越小；ωn一定时，ξ越大，tr越大。(t0)峰值时间tp峰值时间等于阻尼振荡周期的一半ξ一定时，ωn越大，tp越小；ωn一定时，ξ越大，tp越大。最大超调量Mp：仅与阻尼比ξ有关。ξ越大，Mp越小，系统的平稳性越好ξ=0.4~0.8

Mp=25.4%~1.5%。调整时间ts包络线实际的ωnts—ξ曲线当ξ由零增大时，ωnts先减小后增大，∆=5%，ωnts的最小值出现在ξ＝0.78处；∆=2%，ωnts的最小值出现在ξ＝0.69处；出现最小值后，ωnts随ξ几乎线性增加。结论：当ξ增加到0.69或0.78时，调整时间ts为最小。设计二阶系统，一般选ξ=0.707,为最佳阻尼比,此时不但调整时间ts为最小,而且超调量也不大。当0<ξ<0.7时当

一定时，ωn越大，ts越小，系统响应越快。振荡次数NN仅与ξ有关:

越大，N越小，系统平稳性越好。1、二阶系统的动态性能由ωn和ξ决定。2、增加ξ

降低振荡，减小超调量Mp

和振荡次数N，

系统快速性降低，tr、tp增加；3、ξ一定，ωn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。4、Mp、N仅与ξ有关，而tr、tp、ts与ξ、ωn有关，通常根据允许的最大超调量来确定ξ。ξ一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。小结系统的瞬态响应指标由两个惯性环节构成的二阶系统系统是一个过阻尼系统，最大超调量=0系统的开环放大系数K

系统的最大超调量

二阶系统的惯性时间常数T

（由过阻尼变为欠阻尼）

试分析：1）该系统能否正常工作？

2）若要求

=0.707，系统应作如何改进？

=0

无阻尼等幅不衰减振荡工作不正常为S平面上零点和极点到虚轴距离之比六、

具有零点的二阶系统的瞬态响应当a=

时，即为无零点的二阶系统阶跃响应曲线。当其它条件不变时，附加一个闭环零点：超调量

上升时间

、峰值时间

闭环零点 影响瞬态分量的初始幅值和相位； 不影响衰减系数和阻尼振荡频率。附加的闭环零点从左侧极 点靠近。α

附加零点的影响

=0.5时，若α>4，则零点可忽咯不计。串联比例微分对二阶系统响应的影响增加了系统的阻尼比!!结论:1、在欠阻尼二阶系统的前向通道中加入比例微分环节后，将使系统的阻尼比增加，有效地减小原二阶系统阶跃响应的超调量。2、由于闭环系统传递函数中加入了一个零点，缩短了调整时间。三阶系统的暂态响应高阶系统的单位阶跃响应闭环主导极点第六节高阶系统的瞬态响应一、三阶系统的暂态响应一阶因子引起的非周期指数衰减二阶因子引起的阻尼振荡其中：1）当

=，系统即为二阶系统响应曲线；2）附加一个实数极点（0<<），原二阶系统的单位阶跃响应： 超调量上升时间峰值时间例

>1,

即1/T>n

呈二阶系统特性；实数极点P3距离虚轴远；共轭复数极点p1、p2距离虚轴近特性主要取决于p1、p2。

<1,即1/T<n

呈一阶系统特性；实数极点P3距离虚轴近；共轭复数极点p1、p2距离虚轴远特性主要取决于p3。假设系统极点互不相同：R(s)=1/sa,aj为C(s)在极点s=0和s=-pj处的留数；bk、ck是与C(s)在极点处的留数有关的常数。二、高阶系统的单位阶跃响应3）极点的性质决定瞬态分量的类型；

实数极点非周期瞬态分量；

共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。2）如果所有闭环极点都在

s平面的左半平面，则随着时间t→∞，c(∞)=a。，系统是稳定的。极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢，距离越远衰减越快；（衰减系数pj、

k

k）系统零点分布对时域响应的影响 1）系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。 2）通常如果闭环零点和极点的距离比其模值小一个数量级，则该极点和零点构成一对偶极子，可以对消。主导极点：

（距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点）对高阶系统的瞬态响应起主导作用。高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理！！！！三、闭环主导极点三阶系统二阶系统第七节根据时域响应建立数学模型阶跃响应曲线类型与数学模型从阶跃响应曲线确定惯性时间常数的方法一、阶跃响应曲线类型与数学模型惯性环节串联惯性环节串联并有滞后环节具有振荡环节的高阶系统1、惯性环节串联阶跃响应的特点：（１）阶跃响应是随时间单调增长的非周期曲线；（２）如果系统是由一个惯性环节组成，在t=0处的斜率最大。（３）如果系统是由多个惯性环节串联组成，在t=0处的斜率为０。结论：

如果阶跃响应曲线是随时间单调增长的非周期曲线，且在t=0处的斜率为最大，则系统是一个惯性环节；在t=0处的斜率为０，则系统由多个惯性环节串联组成２、惯性环节串联并有滞后环节３、具有振荡环节高阶系统确定参量的方法：第一步从实验曲线中确定ＭＰ和tp第二步由ＭＰ确定阻尼比第三步确定时间常数二、从阶跃响应曲线确定惯性时间常数的方法１、半对数法２、切线法（１）一阶非周期环节参量的确定（２）高阶非周期环节参量的确定（１）一阶非周期环节参量的确定在半对数坐标纸上，以C(∞)-C(t)的对数比例尺为纵坐标，t为横坐标画出上式表示的直线，直线斜率为：求法：在纵坐标上找到对应的点Ｎ，过此点引水平线与直线交于Ｍ点，过Ｍ作垂线，即可求出时间常数τ（２）高阶非周期环节参量的确定依照前法可确定时间常数τ１依照前法可确定时间常数τ２２、切线法切线方程：与稳态值交点Ｂ的时间值为：求法：第一步找出阶跃响应曲线的拐点Ａ第二步过Ａ点作垂线求出时间常数τ第三步过Ａ点作阶跃响应曲线的切线第四步得到与稳态值的交点Ｂ第五步过Ｂ点作垂线求出３τＢ第六步比较τ与τＢ的大小，当τ与τＢ接近表明系统是由两个时间常数非常接近的惯性环节串联组成时间常数为τ；否则，系统是由两个时间常数相差较大的惯性环节串联组成，时间常数改用半对数法确定。第九节劳斯—赫尔维茨判据稳定性的基本概念劳斯判据赫尔维茨判据劳斯判据的应用一、稳定性的基本概念稳定性的定义稳定的充要条件稳定的必要条件例1稳定的摆不稳定的摆例2无限放大直到饱和无输入时因干扰直至饱和稳定性的定义控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，当拢动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态。(a)外加扰动注意：以上定义只适用于线性定常系统。(b)稳定(c)不稳定注意：控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。大范围稳定:不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。(a)大范围稳定(b)小范围稳定否则系统就是小范围稳定的。注意：对于线性系统，小范围稳定

大范围稳定。(a)不稳定临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。稳定的充要条件假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号δ(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t→∞时，若：系统（渐近）稳定。

稳定的条件：理想脉冲函数作用下

R(s)=1。对于稳定系统,t

时,输出量

c(t)=0。由上式知：如果pi和

i均为负值,

当t

时,c(t)0。自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。注意：稳定性与零点无关S平面系统特征方程例结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。稳定的必要条件系统特征各项系数具有相同的符号，且无零系数。设系统特征根为p1、p2、…、pn-1、pn各根之和每次取两根乘积之和每次取三根乘积之和各根之积全部根具有负实部某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。为被控对象水箱的传递函数； 为执行电动机的传递函数；K1为进水阀门的传递系数；Kp为杠杆比；H0为希望水位高；H为实际水位高。由系统结构图可得出系统的闭环特征方程为

令 ,为系统的开环放大系数，则特征方程展开写为为三阶系统,但缺少s项，即对应的特征多项式的中有系数为0，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统不稳定。无论怎样调整系统的参数,如(K、Tm)，都不能使系统稳定。结构不稳定系统二、劳斯判据劳斯(routh)判据劳斯阵列劳斯(routh)判据的特殊情况劳斯阵列性质：第一列符号改变次数==系统特征方程含有正实部根的个数。特征方程：

劳斯阵列：

劳斯(routh)判据如果符号相同

系统具有正实部特征根的个数等于零

系统稳定；如果符号不同

符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数

系统不稳定。控制系统稳定的充分必要条件：劳思阵列第一列元素不改变符号。“第一列中各数”注：通常a0>0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。劳思判据判定稳定性劳斯(routh)判据的特殊情况特殊情况1：第一列出现0特殊情况2：某一行元素均为0特殊情况1：第一列出现0特殊情况：第一列出现0。各项系数均为正数解决方法：用任意小正数

代之。特殊情况2：某一行元素均为0特殊情况：某一行元素均为0解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。各项系数均为正数求导得:例如：劳斯阵列出现全零行:系统在s平面有对称分布的根大小相等符号相反的实根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根三、赫尔维茨判据赫尔维茨行列式赫尔维茨(Hurwitz)判据例赫尔维茨行列式系统的n阶赫尔维茨行列式取各阶主子行列式作为1阶~（n-1）阶赫尔维兹行列式赫尔维茨(Hurwitz)判据控制系统稳定的充分必要条件是：当a0>0时，各阶赫尔维茨行列式

1、2、…、n均大于零。一阶系统二阶系统

a0>0时,a1>0(全部系数数同号)

a0>0时,a1>0,a2>0(全部系数数同号)a0>0时a0>0时三阶系统a0>0时,a1>0,a2>0,a3>0(全部系数数同号)a0>0时

a1a2>a0a3

四阶系统a0>0时,a1>0,a2>0,a3>0,a4>0

(全部系数数同号)a0>0时

一阶系统a1>0(全部系数数同号)a1>0,a2>0(全部系数数同号)a1>0,a2>0,a3>0(全部系数数同号)a1a2>a0a3a1>0,a2>0,a3>0,a4>0(全部系数数同号)归纳：a0>0时二阶系统三阶系统四阶系统例a1>0,a2>0,a3>0,a4>0K值的稳定范围各项系数均为正数a0>0时,单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下：判断上述系统开环增益K的稳定域，并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响。系统1的闭环特征方程为：系统3的闭环特征方程为：系统2的闭环特征方程为：K的稳定域为：K的稳定域为：结论：增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利。由于特征方程缺项，不存在K的稳定域。四、劳斯判据的应用1、判定系统参数的取值范围2、根据给定稳定裕度确定参数取值第十节小参量对闭环系统性能的影响一、小参量处理问题二、将小参量忽略不计使模型降阶的分析三、处理小参量应注意的问题小参量处理问题：在某种前提条件下，用各种方法，或将其忽略不计，或将其做变通处理，使数学模型降阶或简化成易于应用线性系统理论的近似形式。例如：

处理高阶系统时，根据闭环主导极点的概念，可将高阶系统视为二阶系统。研究小参量处理问题的目的和意义：

简化数学模型、使系统的阶次降低一、小参量处理问题二、将小参量忽略不计使模型降阶的分析1、对于开环系统忽略小参量只需考虑系统的时间常数的数值相对大小这一条件即可。例如：开环系统的传递函数为2、对于闭环系统忽略小参量不仅需考虑系统的时间常数的数值相对大小，而且还必须考虑系统的开环放大系数（或开环增益）。闭环控制系统忽略小参量的前提条件：

（1）系统中时间常数相对值的大小（2）必须同时考虑系统的开环增益实质：当系统的开环增益比临界开环增益小很多时，系统中时间常数相对值很小的参数可以近似为零。三、处理小参量应注意的问题1、常见的近似式2、近似式成立的条件（1）存在相对较大的时间常数；（2）开环增益比临界开环增益小很多；第十一节控制系统的稳态误差稳态误差的概念

网络分析中稳定的定义：系统达到不随独立变量而变化的一个定值状态称为网络系统的稳定状态。控制系统的稳定定义：

时间趋于无穷大（足够长）时的固定响应称为控制系统的稳定状态。区别：网络分析中的定义要求：定值状态；

控制系统的定义：时间、固定响应。例如：系统的响应经过足够长的时间后系统响应为正弦波状态，根据用两种不同的定义分析系统稳定性将会得到不同结果。

稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用下，达到稳定状态时系统精度的度量。说明：误差产生的原因是多样的，我们只研究由于系统结构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误差。稳态误差分类：跟随稳态误差：用于衡量随动系统的稳态性能。表示系统能以什么精度跟随系统输入信号的变化，用esr表示。扰动误差：用于衡量恒值调节系统的稳态性能。表示系统在扰动信号作用下系统偏离平衡点的情况，用esn表示。稳态误差=跟随稳态误差+扰动误差

ess=esr+esn误差:输入信号作用下的系统响应e(t)稳态误差：瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量控制信号作用下扰动作用下线性定常系统的随动（给定）误差稳态误差：输入信号作用下瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量。误差传递函数输入拉氏变换开环传递函数稳态误差：扰动作用下瞬态过程结束后误差e(t)的稳态分量线性定常系统的扰动误差扰动误差传递函数扰动拉氏变换开环传递函数例1解：sE(s)的极点不全部分布在[S]平面的左半部例2终值定理第十二节给定误差和扰动误差分析稳态误差系数系统结构对稳态误差的影响误差级数（动态误差）扰动作用下的稳态误差提高稳态精度的措施1、稳态误差系数单位阶跃输入单位斜坡输入单位抛物线输入稳态位置误差系数稳态速度误差系数稳态加速度误差系数2、系统结构对稳态误差的影响V=0 Ⅰ型系统V=1 Ⅱ型系统V=2 Ⅲ型系统稳态误差系数和稳态误差0型系统的稳态误差有差系统V=0I型系统的稳态误差一阶有差系统V=1II型系统的稳态误差二阶有差系统V=2稳态误差系数和稳态误差（系统在控制信号作用下）减小和消除稳态误差方法提高系统的开环增益增加开环传递函数中积分环节系统的稳定性注意:(1)尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。(2)如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。(3)系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误差等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。例：I型单位反馈系统的开环增益K=600s-1,系统最大跟踪速度

max

=24/s，求系统在最大跟踪速度下的稳态误差。解：单位速度输入下的稳态误差I型系统系统的稳态误差为例：阀控油缸伺服工作台要求定位精度为0.05cm,该工作台最大移动速度vmax=10cm/s，若系统为I型，试求系统开环增益。单位速度输入下的稳态误差为系统的开环增益引例定义长除法一般公式误差性能指标3.误差级数(动态误差)引例在s=0的邻域展开泰勒级数在s=0的邻域

t

的邻域动态误差系数的定义动态位置误差系数动态速度误差系数动态加速度误差系数动态误差系数的长除法求取II型系统0型系统I型系统动态误差系数的一般公式I型系统例4.

扰动作用下的稳态误差定义0型系统扰动作用下的稳态误差(V=k=l=0)1）只有三种值：0、常数（1/k1）、；2）扰动作用引起的常数稳态误差只与增益K1有关。扰动作用下的稳态误差表比例积分环节提高稳态精度闭环回路提高稳态精度输入量补偿的复合控制干扰补偿的复合控制 5.提高稳态精度的措施控制器G1(s)的放大系数扰动误差

阻尼

振荡

求在单位阶跃扰动作用下的扰动误差essn比例积分环节提高稳态精度求在单位阶跃扰动作用下的扰动误差essn比较两个系统，在单位阶跃输入信号下的稳态误差。闭环回路提高稳态精度如果稳态增益G0（0）将随时间消逝而偏离1，稳态误差不再等于0

须重新调整系统。单位阶跃输入下设在回路的传递函数中有如下的变化:K=10，

K=1单位阶跃输入下设在回路的传递函数中有如下的变化：K=10，

K=1，且有Kp=100/K若位置随动系统：雷达跟踪系统、船舵操纵系统。

输入量补偿的复合控制前馈/顺馈若系统在控制信号作用下干扰量补偿的复合控制前馈/顺馈物理上难实现（分子阶次高于分母的阶次），近似取作业P903—1二阶系统的稳态误差P903—2误差系数的求法P903—3稳态误差级数P913—4稳态误差级数P913—6系统参数与稳态误差一、ＭＡＴＬＡＢ中连续系统模型表示方法二、求连续系统的单位脉冲响应三、求连续系统的单位阶跃响应四、任意输入下的响应的仿真计算第十三节用ＭＡＴＬＡＢ求取瞬态响应一、ＭＡＴＬＡＢ中连续系统模型表示方法１、连续系统多项式模型ＭＡＴＬＡＢ表示方法分子多项式num=[b0b1…bm-1bm]分母多项式den=[a0a1…an-1an]系统表示方法（num,den)２、连续系统零极点模型ＭＡＴＬＡＢ表示方法比例系数Ｋ＝k分子Z=[-z1,-z2,…,-zm]分母Ｐ=[-p1,-p2,…,-pm]系统表示方法（Z,P,K)模型转换［num,den]=zp2tf（Z,P,K)二、连续系统的单位脉冲响应例一：求如下系统的单位脉冲响应%example1num=[1.9691,5.0395]den=[1,0.5572,0.6106]impulse(num,den)end在ＭＡＴＬＡＢ的Ｅditor/Debugger输入程序在ＴＯＯＬＳ菜单中选择ＲＵＮ得到结果三、连续系统的单位阶跃响应%example２num=[1.9691,5.0395]den=[1,0.5572,0.6106]step(num,den)end例二：求如下系统的单位阶跃响应在ＭＡＴＬＡＢ的Ｅditor/Debugger输入程序在ＴＯＯＬＳ菜单中选择ＲＵＮ得到结果四、任意输入下的响应的仿真计算%example３num=[1.9691,5.0395];

den=[1,0.5572,0.6106];t=0:0.1:80;

period=20;u=(rem(t,period)>=period./2);

[y,x]=lsim(num,den,u,t);plot(t,u,'-b',t,y,'-r')end例三：求如下系统的在周期为２Ｓ的方波输入时的响应在ＭＡＴＬＡＢ的Ｅditor/Debugger输入程序在ＴＯＯＬＳ菜单中选择ＲＵＮ得到结果

主要内容§4—1根轨迹的基本概念§4—2绘制根轨迹的基本条件和基本规则§4—3广义根轨迹§4—4滞后系统的根轨迹§4—5利用根轨迹分析系统的性能§4—6用MATLAB绘制系统的根轨迹第四章线性系统的根轨迹分析§4—1根轨迹的基本概念系统特征根的图解方法!!!根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。狭义根轨迹（通常情况）：变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。问题1:如何按希望性能将闭环极点合适的位置?闭环极点（即闭环特征方程根）闭环控制系统稳定性、瞬态响应特性问题2:当系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解，不方便,有没有简便分析方法?K＝0时两个负实根K值增加相对靠近移动离开负实轴，分别s=-1/2直线向上和向下移动。一对共轭复根

根轨迹图

系统的相关动静态性能信息过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；临界阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。1）当K值确定之后，根据闭环极点的位置，该系统的阶跃响应指标便可求出。2）闭环极点不可能出现在S平面右半部，系统始终稳定。!系统开环增益确定

闭环极点在S平面上的位置也确定。

闭环零、极点与开环零、极点间的关系前向通道根轨迹增益反馈通道根轨迹增益前向通道增益开环系统根轨迹增益前向通道零点反馈通道零点前向通道极点反馈通道极点m个零点(m=f+l)n个极点(n=q+h)m个零点(m=f+l)n个极点(n=q+h)3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹增益均有关；

！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。单位反馈系统（1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；（2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。§4—2绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件二、绘制根轨迹的基本规则三、闭环极点的确定一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件根轨迹方程m个零点n个极点（nm）幅值条件1）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；2）必要条件：幅角条件（k=0,1,2,…）1）幅角条件只与开环零、极点有关2）充要条件：

幅值条件K＝2幅值条件成立！不是根轨迹上的一点根轨迹上的一点必要条件：

S平面上的某一点s是根轨迹上的点，则幅值条件成立；

S平面上的任一点s满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。幅值条件是必要条件开环极点（“×”）p1=0开环零点（“〇”）!!幅角均以反时针方向进行。如果幅角条件成立，则s1即根轨迹上的一个点。

1开环零点至s1的幅角

1、2、3、4：开环极点至s1的幅角。由幅值条件幅角条件绘制根轨迹，幅值条件定K值单位反馈系统的开环传递函数

一个开环极点P1=0

负实轴上点s1s2=-1-j负实轴上都是根轨迹上的点！

负实轴外的点都不是根轨迹上的点！

举例二、绘制根轨迹的基本规则一、根轨迹的起点和终点二、根轨迹分支数三、根轨迹的连续性和对称性四、实轴上的根轨迹五、根轨迹的渐近线六、根轨迹的分离点

七、根轨迹的起始角和终止角八、根轨迹与虚轴的交点九、闭环特征方程根之和与根之积一、根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点幅值条件s值必须趋近于某个开环极点

根轨迹起始于开环极点s值必须趋近于某个开环零点

根轨迹终止于开环零点二、根轨迹分支数n阶系统，根轨迹有n个起始点，

系统根轨迹有n个分支2）实际物理系统，开环极点一般多于开环零点，即n>m。m条终止于开环零点（有限值零点)；（n－m）条根轨迹分支终止于（n－m）个无限远零点。1）系统特征方程的阶次为n次特征方程有n个根

K变化(0到∞

),n个根随着变化n条根轨迹。三、根轨迹的连续性和对称性根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下，各根分别是K的连续函数；特征方程的根为实根或共轭复数根。仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。四、实轴上的根轨迹如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。开环零点：z1开环极点：p1、p2、p3、p4、p5在实轴区段[p2，p3]上取试验点s1每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360°；s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0°。s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180°；？

已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。[-1，-2]右侧实零、极点数=3。[-4，-6]右侧实零、极点数=7。五、根轨迹的渐近线当系统n>m时，有（n－m）条根轨迹分支终止于无限远零点。沿着渐近线趋于无限远处，渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。渐近线与实轴的倾角（k=0，1，2，…）：渐近线与实轴交点的坐标值：证明长除法

K’

∞时，s

∞，取前两项改写为模和相角的形式两边开（n－m）次方牛顿二项式定理展开，由于s

∞，忽略分母为s的二次幂和二次幂以上各项

1）当k值取不同值时，

a有（n－m）个值，而

a不变；2）根轨迹在s

∞时的渐近线为 （n－m）条与实轴交点为

a

、倾角

a为的一组射线。说明已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。渐近线与实轴正方向的夹角：三个开环极点：0、-1、-5一个开环零点：-4n-m=3-1=2渐近线与实轴交点：根轨迹的渐近线例一已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4一个开环零点：-1n-m=4-1=3渐近线与实轴交点：渐近线与实轴正方向的夹角：根轨迹的渐近线例二六、根轨迹的分离点

分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。分离点必然是为D(s)某一数值时的重根点。1、

b坐标值由分式方程解出证明例2、由极值点求解

b

坐标值由解出

b

证明例必要条件：当解得多个s值时，其中k’值为正实数时才有效。3、重根法求解

b

证明由解出

b

分离点（或会合点）处的根轨迹的会合角（或分离角）会合（或分离）的根轨迹的条数分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角例r重根

r>1含两边求导

b必要条件：!!当解得多个s值时，其中k’值为正实数时才有效。[-1，-2]区间无根轨迹舍去由极值点求解

b坐标值由分式方程解出根轨迹在S平面上相遇并有重根，设重根为s1，根据代数中的重根条件，有

或两式相除或即得解出s1，即为分离点

b已知某一系统的开环零极点分布，试概略画出其根轨迹。规则1、2、3

根轨迹有三条分支，分别起始于开环极点0、－2、－3，终止于一个开环有限零点－1和二个无限零点。根轨迹对称于实轴。规则4

实轴上0到－1和－2到－3两个区域段为根轨迹规则5

根轨迹有两条渐近线（n－m＝2),令k=0

规则6

在实轴上有根轨迹分离点，且在区段－2到－3之间由极值点求解

b

假定s点沿实轴自p2点移向p1点,k’增益：从零开始逐渐增大， 到达

b点时为最大， 逐渐减小， 到p1点时k’为零。

根轨迹分离点处所对应的k’增益具有极值

？！取在根轨迹上的解。规则1、2、3、4

根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支，分别起始于极点0，－4和－2±j4，终止于无限远零点。实轴上0～－4区段为根轨迹。辐角条件

p3、p4的连接线为根轨迹根据规则5

根轨迹有四条渐近线根据规则6

求根轨迹的分离点p3、p4的连接线上七、根轨迹的起始角和终止角起始角

p:从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。根轨迹起始角的一般计算式(0～360°)k＝0，1，…

证明

终止角

z:进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。根轨迹终止角一般计算式(0～360°)

例根轨迹上，靠近起点p1处取一点s1相角方程s1

p1

起始角

p四条分支起始点p1＝0、p2、3＝―0.5+j1.5、p4＝―2.5终止点z1＝－1.5、z2，3

＝－2±j、－∞实轴上0～－1.5和－2.5～－∞两区段是根轨迹取k＝0p3和p2为共轭复数，根轨迹起始角对称。或取k＝1z2和z3为共轭复数，根轨迹终止角对称。八、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交

闭环特征方程有纯虚根、系统处于稳定边界。1）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K’，由K’值求出相应的ω值例2）代数法代入特征方程联立求解，

根轨迹与虚轴的交点ω值和相应的临界K’值。例系统的开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点。闭环特征方程系统稳定的临界K’值：K’=6阵列中s2行元素构成辅助方程根轨迹与虚轴的交点

系统的开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点。代入系统闭环特征方程九、闭环特征方程根之和与根之积系统闭环特征多项式zi开环零点si闭环极点pi开环极点闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程的系数关系：1）(n-m)

2时，根之和与根轨迹增益K’无关，是个常数，且有2）根之和不变

K’增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。根轨迹增益K’=3K。根轨迹对称于实轴，有四条根轨迹分支分别起始于开环极点0，－3，－1±j，终止于零点－2和另外三个无限远零点。实轴上区段0～－2和－3～－∞为根轨迹。根轨迹有三条渐近线（n－m＝3），与实轴的倾角为取k＝0、1

＋60°、－