适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习课时规范练54几何法求线面角二面角及距离新人教A版

课时规范练54几何法求线面角、二面角及距离基础巩固练1.(2024·陕西绥德中学校考)已知直线l和平面α所成的角为π6,则直线l和平面α内任意直线所成的角的取值范围为(A.[0,π6] B.[πC.(0,π2) D.[π2.如图,三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形,AB⊥BB1,B1C1⊥BB1,则二面角A-BB1-C的大小是()A.30° B.45° C.60° D.90°3.(2024·湖南长沙模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在线段BB1上运动,则下列直线与平面AD1E的夹角为定值的是()A.B1C B.BC1 C.A1C D.AC14.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,AB=AP=2,点E,F分别是PC,PD的中点,则点C到平面AEF的距离为()A.22 B.2 C.32 D5.(2023·全国乙,理9)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角C-AB-D为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为()A.15 B.25 C.356.(2024·河南名校联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠ABC=∠ACD=60°,AB=BC=2,CD=1,且二面角P-BC-A为60°,则四棱锥P-ABCD的侧面积为()A.3+53 B.10C.3+932 D7.(2022·浙江,8)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1,E,F分别是棱BC,A1C1上的点.记EF与AA1所成的角为α,EF与平面ABC所成的角为β,二面角F-BC-A的平面角为γ,则()A.α≤β≤γ B.β≤α≤γC.β≤γ≤α D.α≤γ≤β8.(多选题)(2022·新高考Ⅰ,9)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则()A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°9.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,PA=3,PB=PC=BC=6,则二面角P-BC-A的正弦值为.

10.如图,AB是圆柱OO1的一条母线,BC是底面圆的一条直径,D是圆O上一点,且AB=BC=5,CD=3.(1)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值;(2)求点B到平面ACD的距离.综合提升练11.(2024·海南海口模拟)如图,点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点,直线AP与平面ABCD所成的角为45°,则点P的轨迹长度为()A.π+42 B.42πC.23 D.32+π12.(2024·广东珠海模拟)如图所示,PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点.若AB=2,PA=3,记直线PB与平面PAC所成的角为α,∠ABC=β,则sinαsinβ的最大值为()A.74 B.75 C.7613.如图,△ACD和△BCD都是边长为2的等边三角形,平面ACD⊥平面BCD,BE⊥平面BCD.(1)证明:BE∥平面ACD;(2)若点E到平面ABC的距离为5,求平面ECD与平面BCD夹角的正切值.创新应用练14.(2024·江苏淮安模拟)刻漏是中国古代用来计时的仪器,利用附有刻度的浮箭随着受水壶的水面上升来指示时间.为了使受水壶得到均匀水流,古代的科学家们发明了一种三级漏壶,壶形都为正四棱台.自上而下,三个漏壶的上口宽依次递减1寸(约3.3厘米),下底宽和深度也依次递减1寸.自上而下设三个漏壶的侧面与底面所成锐二面角依次为θ1,θ2,θ3,则()A.θ1+θ3=2θ2B.sinθ1+sinθ3=2sinθ2C.cosθ1+cosθ3=2cosθ2D.tanθ1+tanθ3=2tanθ2

课时规范练54几何法求线面角、二面角及距离1.D解析根据线面角的定义,线面角是平面外的直线与平面内所有直线所成的角中最小的角,故直线l与α内直线所成角的最小值为π6,当直线l在α内的射影与平面α内的一条直线垂直时,l与这条直线所成的角为π2,故直线l与α内直线所成角的范围为[π2.C解析在三棱台ABC-A1B1C1中,因为B1C1∥BC,且B1C1⊥BB1,所以BC⊥BB1.又AB⊥BB1,且AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,所以B1B⊥平面ABC,所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角.因为△ABC为等边三角形,所以∠ABC=60°.3.B解析连接BC1.因为BC1∥AD1,且AD1⊂平面AD1E,BC1⊄平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E,所以BC1与平面AD1E的夹角始终为0°.而直线B1C,A1C,AC1与平面AD1E的夹角均会因为点E的位置的不同而不同.4.B解析在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,所以CD⊥AD,CD⊥PA,又AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD.因为点E,F分别是PC,PD的中点,所以CD∥EF,所以PD⊥EF,又PA=AD,则AF⊥PD,且EF∩AF=F,AF,EF⊂平面AEF,所以PD⊥平面AEF,所以线段PF为点P到平面AEF的距离,又E是PC的中点,所以点C与点P到平面AEF的距离相等,又PF=2,所以点C到平面AEF的距离为25.C解析(方法一)如图,取AB中点O,连接OC,OD,则由题可知∠DOC为二面角C-AB-D的平面角,∴∠DOC=150°.设CA=CB=a,则OC=12AB=2∵△ABD是等边三角形,∴OD⊥AB,且OD=32AB=62a.在△DOC中由余弦定理得,CD2=OC2+OD2-2OC·ODcos∠DOC=72a2,∴CD=142a.过D作DH⊥平面ABC,垂足为H,易知点H在直线OC上,则∠DCH为直线CD与平面ABC所成的角,且∠DOH=30°,故DH=12OD=64a,∴sin∠DCH=DHCD=64a142a=(方法二)取AB中点O,连接OC,OD.以O为原点,OA,OC所在直线分别为x轴、y轴,过O点作平面ABC的垂线为z轴建立空间直角坐标系(图略).设AB=2,则由题可得A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,-32,32),则CD=(0,-52,32),由题可知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1).设CD与平面ABC所成角为θ,则sinθ=|cos<CD,n>|=327×16.C解析因为AB=BC,∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形.取BC的中点E,连接PE,AE,则AE⊥BC.因为PA⊥底面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC,又PA∩AE=A,PA,AE⊂平面PAE,所以BC⊥平面PAE,则BC⊥PE,则∠PEA为二面角P-BC-A的平面角,所以∠PEA=60°,所以PA=AEtan60°=3,PE=32+(3)2=23.因为∠ACD=AC2+CD2-2AC·CDcos60°=3,则AD2+CD2=AC2,所以AD⊥CD.因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.因为PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD.PD=PA2+AD2=9+3=23.故S△PAB=12PA·AB=12×3×2=3,S△PAD=12PA·AD=12×3×3=332,S△PCD=127.A解析作FG⊥AC交AC于G,连接EG.因为FG⊥平面ABC,所以α=∠EFG,β=∠FEG,tanα=EGFG=EGAC,tanβ=FGEG=ACEG,易知AC≥EG,故β≥α.作FH∥B1C1交A1B1于点H,连接BH,CF,作FM⊥BC交BC于点M,连接GM,得γ=∠FMG,则tanγ=FGMG=ACMG,由EG≥MG,故选A.8.ABD解析连接AD1,∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1∥AD1,A1D⊥AD1,∴直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确;连接B1C,∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,∴BC1⊥平面A1B1C,又CA1⊂平面A1B1C,∴BC1⊥CA1,即直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确;连接A1C1,交B1D1于点O,连接BO.易证C1A1⊥平面BB1D1D.∴∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a,则OC1=22a,BC1=2a,∴sin∠C1BO=OC1BC1=12,∴∠C1BO=30°,故C错误;∵C1C⊥平面ABCD,∴∠C又∠C1BC=45°,∴直线BC1与平面ABCD所成的角为45°,故D正确.故选ABD.9.33解析取BC的中点D,连接PD,AD.因为PB=PC,所以PD⊥BC.因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.因为PD⊂平面PAD,PA⊂平面PAD,PA∩PD=P,所以BC⊥平面PAD.因为AD⊂平面PAD,所以BC⊥AD.所以∠PDA为二面角P-BC-A的平面角.因为PB=PC=BC=6,所以PD=32×6=33,sin∠PDA=PAPD10.解(1)∵AB⊥平面BCD,BC,CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD,AB⊥BC.∵BC是圆O的直径,∴BD⊥CD,又AB∩BD=B,AB,BD⊂平面ABD,∴CD⊥平面ABD,∴∠CAD即为直线AC与平面ABD所成角.∵AB=BC=5,AB⊥BC,∴AC=52,又CD=3,∴sin∠CAD=CDAC即直线AC与平面ABD所成角的正弦值为3(2)过点B作BM⊥AD,垂足为M.由(1)知CD⊥平面ABD,CD⊂平面ACD,∴平面ABD⊥平面ACD,又平面ABD∩平面ACD=AD,BM⊂平面ABD,BM⊥AD,∴BM⊥平面ACD.∵BD=BC2∴AD=A∵12AD·BM=1∴BM=AB·即点B到平面ACD的距离是2011.A解析若点P在正方形A1B1C1D1内,过点P作PP'⊥平面ABCD于点P',连接AP',A1P.则∠PAP'为直线AP与平面ABCD所成的角,则∠PAP'=45°.又PP'=2,则PA=22,则PA1=2,则点P的轨迹为以点A1为圆心,2为半径的圆落在正方形A1B1C1D1内的部分,包括点B1,D1.若点P在正方形A1B1BA内或A1D1DA内,轨迹分别为线段AB1,AD1,不包括点A.因为点P不可能落在其他三个正方形内,所以点P的轨迹长度为2×π2+22+22=π+12.D解析因为点C为以AB为直径的圆O上异于A,B的任意一点,所以∠ACB=π2,即AC⊥BC.因为PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,即PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又AC∩PA=A,且PA,AC在平面PAC内,所以BC⊥平面PAC.所以直线PB与平面PAC所成的角为∠BPC,即∠BPC=α.设AC=x,0<x<2,则BC=4-x2,且PB=3+4=7,所以sinα=BCPB=4-x27,sinβ=x2,所以sinα13.(1)证明如图,取CD的中点O,连接AO,则AO⊥CD.又平面ACD⊥平面BCD,且平面ACD∩平面BCD=CD,AO⊂平面ACD,则AO⊥平面BCD.又BE⊥平面BCD,所以BE∥AO.又BE⊄平面ACD,AO⊂平面ACD,所以BE∥平面ACD.(2)解如图,连接EO,BO,取BC的中点F,连接DF,则DF⊥BC.因为AB=AO2+BO2=6,则等腰三角形ABC的面积为S△ABC=1因为BE⊥平面BCD,DF⊂平面BCD,则DF⊥BE,又DF⊥BC,BE∩BC=B,BE⊂平面EBC,BC⊂平面EBC,所以DF⊥平面EBC.因为BE∥AO,所以点A到平面EBC的距离等于点O到平面EBC的距离,为12DF=因为S△BCE=12×2则VA-EBC=13×BE×又VE-ABC=VA-BCE,所以EB=5.因为BE⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,则BE⊥BC,BE⊥BD,所以CE=DE,所以EO⊥CD,所以平面ECD与平面BCD的夹角为∠EOB,则tan∠EOB=BEOB所以平面ECD与平