2022-2023学年河南省南阳市实验中学高二数学文下学期期末试卷含解析

2022-2023学年河南省南阳市实验中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的中心的直线交双曲线于点A，B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA，PB，AB的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2＞k恒成立，则离心率e的取值范围为（）A．1＜e＜ B．1＜e≤ C．e＞ D．e≥参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），P（x2，y2），由双曲线的对称性得B（﹣x1，﹣y1），从而得到k1k2=?=，将A，P坐标代入双曲线方程，相减，可得k1k2=，又k=，由双曲线的渐近线方程为y=±x，则k趋近于，可得a，b的不等式，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设A（x1，y1），P（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线﹣=1的交点，∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，∴B（﹣x1，﹣y1），∴k1k2=?=，∵点A，P都在双曲线上，∴﹣=1，﹣=1，两式相减，可得：=，即有k1k2=，又k=，由双曲线的渐近线方程为y=±x，则k趋近于，k1k2＞k恒成立，则≥，即有b≥a，即b2≥a2，即有c2≥2a2，则e=≥．故选D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意构造法的合理运用．2.将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为

（

）

A．1372

B．2024

C．3136

D．4495参考答案：C

解法一：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有4种方法；再在选出的三条边上各选一点，有73种方法．这类三角形共有4×73=1372个．另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法，再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有4×21×21=1764个．

综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136．

解法二：3.已知f（x）=，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，fn+1（x）=[fn（x）]′，n∈N．经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，则f2015（0）=（）A．﹣2015 B．2015 C． D．﹣参考答案：B【考点】归纳推理；导数的运算．【分析】根据归纳推理进行求解即可．【解答】解：∵f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，f2015（x）=，则f2015（x）==2015，故选：B4.在△ABC中，若b2+c2=a2+bc，则A=（）A．30° B．45° C．60° D．120°参考答案：C【考点】余弦定理．【分析】根据余弦定理表示出cosA，然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．【解答】解：∵b2+c2=a2+bc，∴bc=b2+c2﹣a2由余弦定理的推论得：==又∵A为三角形内角∴A=60°故选C5.设命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2=2n参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P为：?n∈N，2n≤2n．故选：C．【点评】命题的否定和否命题的区别：对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题，既否定假设，又否定结论．6.设双曲线（a，b＞0）两焦点为F1、、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F2作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为M，则M点轨迹是（

）

A.椭圆的一部分

B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分

D.圆的一部分参考答案：D7.函数的定义域是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B略8.已知偶函数在区间上满足，则满足的的取值范围是A．

B．C．

D．参考答案：D略9.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A.12 B.24 C.48 D.96参考答案：B【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件，即可结束循环，得到答案．【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点睛】本题主要考查了循环框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，逐次循环，注意判断框的条件的应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。10.函数(,则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（

）

A.

B.

C.

D.大小关系不能确定参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则=

时，数列也是等比数列。

参考答案：略12.为轴上一点，到的距离相等，的坐标为

．参考答案：13.半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r

①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，类比以上结论，请你写出类似于①的式子：

②，②式可以用语言叙述为：

。参考答案：，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”14.如图，在三棱锥A-BCD中，AB、AC、AD两两互相垂直，AB=AC=AD=4,点P、Q分别在侧面ABC、棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ的中点，当P、Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A-BCD分成上下两部分体积之比等于________.参考答案：15.一个棱锥的三视图如图，最长侧棱（单位：cm）是

cm，体积是

cm3.

参考答案：

，

4

16.定义一种集合运算{x|且},设M={x||x|<2},N={x|},则用区间表示为_______参考答案：(-2,1]∪[2,3)【分析】由，可得，，再利用，即可求得答案【详解】，∴，∴故答案为【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集和补集的混合运算，属于基础题。解题时要认真审题，仔细解答，注意新定义的合理运用。17.已知P(4,2)是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是

．参考答案：x+2y8=0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点和圆O：．（Ⅰ）过点E的直线被圆O所截得的弦长为，求直线

的方程；（Ⅱ）试探究是否存在这样的点M：M是圆O内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEM的面积？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．参考答案：（Ⅰ）方程为：或．（Ⅱ）连结OE，点A，B满足,分别过A、B作直线OE的两条平行线、．∵

∴直线、的方程分别为： 、设点（）∴分别解与，得与∵∴为偶数，在上对应的在上，对应的∴满足条件的点M存在，共有6个，它们的坐标分别为：．略19.椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过点与椭圆交于两点．⑴求的周长；⑵若的倾斜角为，求的面积．参考答案：由椭圆的定义，得，又，所以，的周长．又因为，所以，故点周长为．………………6分⑵由条件，得，因为的倾斜角为，所以斜率为，故直线的方程为．………8分由消去，得，……10分设，解得，所以，．…………14分20.已知p：方程方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：实数m满足m2﹣（2a+1）m+a2+a＜0且￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由p可得：2﹣m＞m﹣1＞0，解得m范围．由q：实数m满足m2﹣（2a+1）m+a2+a＜0化为：（m﹣a）[m﹣（a+1）]＜0，解得m范围．又￢q是￢p的充分不必要条件，可得p?q．【解答】解：由p可得：2﹣m＞m﹣1＞0，解得．由q：实数m满足m2﹣（2a+1）m+a2+a＜0化为：（m﹣a）[m﹣（a+1）]＜0，解得a＜m＜a+1．又￢q是￢p的充分不必要条件，∴p?q．则，解得．经过检验a=或1时均适合题意．故a的取值范围是．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．（i）若直线l过定点（1，0），直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证明：k1?k2为定值；（ii）若直线l的垂直平分线与x轴交于一点P，求点P的横坐标xp的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）由已知中椭圆通径的端点坐标，构造方程组，可得a，b的值，进而可得椭圆C的方程；（II）经过点P（1，0）的直线l可设为x=my+1，（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得y1+y2=，y1y2=，由椭圆的右顶点为E（2，0），可得：k1?k2=?==，进而得到答案；（ii）利用点差法，可得kAB=﹣?，故直线l的垂直平分线方程为：y﹣y0=（x﹣x0），令y=0，得P点横坐标，结合由H（x0，y0）在椭圆内部，可得答案．【解答】解：（I）由已知中过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（﹣，）．可得：c=，=，a2﹣b2=c2，解得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：；…3分（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）证明：（i）∵直线l过定点（1，0），设x=my+1，由得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，…5分∴y1+y2=，y1y2=，∵右顶点为E（2，0），∴k1?k2=?====﹣，∴k1?k2为定值；…8分（ii）将A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得：，两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）=﹣（y1﹣y2）（y1+y2）∵直线l的垂直平分线与x轴交于一点P，∴y1+y2≠0，x1﹣x2≠0，∴﹣?==kAB，设AB的中点H（x0，y0），则kAB=﹣?，故直线l的垂直平分线方程为：y﹣y0=（x﹣x0），令y=0，得P点横坐标为：…10分，由H（x0，y0）在椭圆内部，可得：x0∈（﹣2，2），故∈（﹣，）…12分22.(12分)过点作圆O:的切线，切点为D，且|QD|=4.(1)求的值.(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆O的