考研数学一(填空题)高频考点模拟试卷16(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）高频考点模拟试卷16(题后含答案及解析)题型有：1.1．设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又x(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=__________．正确答案：m解析：令x=一1，则f(1)=f(-1)+f(2)，因f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)一f(-1)=2f(1)一2a．再令x=1，则f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明f(n)=na．当n=1，2，3时，已知或者已证．假设n≤k时，有f(k)=ka．当n=k+1时，f(k+1)=f(k一1)+f(2)=(k一1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数n，有f(n)=na，令x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a，又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有f(n)=一f(-n)=一(一m)=na．所以对一切整数n，均有f(n)=na．知识模块：函数、极限、连续2．设f(x)连续，且，则=__________。正确答案：a2f(a)解析：知识模块：高等数学部分3．设正确答案：z涉及知识点：高等数学4．对随机变量X，Y，Z，已知EX=EY=1，EZ=-1，DX=DY=1，DZ=4，ρ(X，Y)=0，ρ(X，Z)=1／3，ρ(Y，Z)=-1／2，(ρ为相关系数)则E(X+Y+Z)=_______，D(X+Y+Z)=_______，cov(2X+Y，3Z+X)=_______。正确答案：1；16/3；3解析：E(X+Y+Z)=EX+EY+EZ=1，D(X+Y+Z)=DX+DY+DZ+2coy(X，Y)+2cov(X，Z)+2cov(Y，Z)=1+1+4+0+2ρ(X，Z)，cov(2X+Y，3Z+X)=6cov(X，Z)+2DX+3cov(Y，Z)+cov(Y，X)=6×ρ(X，Z)知识模块：概率论与数理统计5．过曲面z—ez＋2xy＝3上点M0(1，2，0)处的切平面方程为______·正确答案：0解析：曲面方程F(x，y，z)＝0，F(x，y，z)＝z一ex＋2xy一3，gradF＝＝{2y，2x，1—ez}，gradF＝｛4，2，0｝＝2｛2，1，0｝.点M0的切平面方程为2(x一1)＋(y一2)＝0，即2x＋y一4＝0．知识模块：高等数学6．=_______。正确答案：i+j+k解析：知识模块：向量代数和空间解析几何7．曲线在xOy平面上的投影曲线为__________．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分8．设α为3维列向量，αT是α的转量．若ααT=，则αTα=_____．正确答案：3涉及知识点：线性代数9．设曲线y=ax2与y=ln2x相切，则切点坐标为_______．正确答案：解析：设切点坐标为(x0，y0)，则则y0=ln2x0=．故所求切点坐标为(x0，y0)=知识模块：高等数学10．过直线且和点(2，2，2)的距离为的平面方程是______．正确答案：5x－y－z－3=0或x+y－z－1=0解析：已知直线的一般式方程为显然平面3x－z－2=0不符合题意，可设过该直线的平面束方程为πλ：(2+3λ)x－y－λz－(1+2λ)=0，由点(2，2，2)到πλ的距离为得化简得λ2=1，λ=±1．当λ=1时，对应一个平面π1：5x－y－z－3=0；当λ=－1时，对应另一个平面π2：x+y－z－1=0．知识模块：向量代数与空间解析几何11．设XA＝AT＋X，其中A＝，则X＝______．正确答案：解析：由XA—X＝AT有X(A—E)＝AT，因为A可逆，知X与A—E均可逆．知识模块：线性代数12．若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=___________。正确答案：ex解析：已知条件中二阶常微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0，特征根为λ1=1，λ2=一2，则二阶齐次微分方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x。再由f’(x)+f(x)=2ex得2C1ex一C2e-2x=2ex，可知C1=1，C2=0．故f(x)=ex。知识模块：常微分方程13．微分方程y′=1+x+y2+xy2的通解为________。正确答案：y=，其中C为任意常数解析：将已知方程变形后，并整理得=(1+x)(1+y2)，则两边积分可得arctany=(1+x)2+C，因此y=，其中C为任意常数。知识模块：常微分方程14．欧拉方程(x＞0)的通解为________。正确答案：，C1，C2为任意常数解析：令x=et，则，且代入原方程，整理得解此方程，得通解为y=C1e—t+C2e—2t=，C1，C2为任意常数。知识模块：常微分方程15．f(x)=ln(2+x一3x2)在x=0处的泰勒展开式为_________．正确答案：解析：f(x)的泰勒展式为f(x)=ln[(1一x)(2+3x)]=ln(1一x)+ln(2+3x)知识模块：无穷级数16．设X，Y相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令Z=min(X，Y)，则P(0＜Z＜1)=___________．正确答案：解析：由X，Y在(0，2)上服从均匀分布得因为X，Y相互独立，所以fz(z)=P(Z≤z)=1一P(Z＞z)=1一P{min(X，Y)＞Z}=1—P(X＞z，Y＞z)=1一P(X＞z)P(Y＞z)=1一[1一P(X≤z)][1一P(Y≤z)]=1一[1一FX(z)][1一FY(z)]于是P(0＜Z＜1)=FZ(1)一FZ(0)=．知识模块：概率统计17．已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=_______．正确答案：－1解析：由A的特征多项式|λE－A|=(λ+1)3，知矩阵A的特征值是λ=－1(三重根)，因为A只有2个线性无关的特征向量，故从而a=－1．知识模块：线性代数18．独立投骰子两次，X，Y表示投出的点数，令A＝{X＋Y＝10}，B＝{X＞Y)，则P(A＋B)＝___________.正确答案：解析：P(A)＝P{X＝4，Y＝6)＋P{X＝5，Y＝5)＋P{X＝6，Y＝4}＝，P(B)＝P{X＝2，Y＝1}＋P{X＝3，Y＝1}＋P{X＝3，Y＝2}＋P{X＝4，Y＝3}＋P{X＝4，Y＝2}＋P{X＝4，Y＝1}＋P{X＝5，Y＝4}＋P{X＝5，Y＝3}＋P{X＝5，Y＝2}＋P{X＝5，Y＝1}＋P{X＝6，Y＝5}＋P{X＝6，Y＝4}＋P{X＝6，Y＝3}＋P{X＝6，Y＝2}＋P{X＝6，Y＝1}＝P(AB)＝P{X＝6，Y＝4)＝，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)一P(AB)＝．知识模块：概率统计部分19．微分方程3extanydx+(1－ex)sec2ydy=0的通解是______．正确答案：tany=C(ex－1)3，其中C为任意常数解析：方程分离变量得积分得lntan｜y｜=3ln｜ex－1｜+lnC1．所以方程的通解为tany=C(ex－1)3，其中C为任意常数．知识模块：常微分方程20．已知X，Y为随机变量且P{X≥0，Y≥0}=，P{X≥0}=P{Y≥0}=，设A={max(X，Y)≥0}，B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}，C={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}，则P(A)=________，P(B)=________，P(C)=_____。正确答案：解析：首先分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率性质计算概率。由于A={max(X，Y)≥0}={X，Y至少有一个大于等于0}={X≥0}∪{Y≥0}，所以P(A)=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{x≥0，Y≥0}=又{max(X，Y){min(X，Y)＜0}，则B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}={max(X，Y)＜0}=。从而P(B)=根据全集分解式知：A={max(X，Y)≥0}={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}+{max(X，Y)≥0，min(X，Y)≥0}=C+{X≥0，Y≥0}，故P(C)=P(A)-P{X≥0，Y≥0}=知识模块：概率论与数理统计21．设随机变量X与－X服从同一均匀分布U(a，b)，已知X的概率密度f(x)的平方f2(x)也是概率密度，则b=______．正确答案：解析：因X～U(a，b)，则－X～U(－b，－a)，又X与－X同分布，故有a=－b，即X～U(－b，b)，所以又因为f2(x)也是概率密度，所以有1=∫－∞+∞f2(x)dx=知识模块：概率论与数理统计22．设随机变量X与一X服从同一均匀分布U[a，b]，已知X的概率密度f(x)的平方f2(x)也是概率密度，则b=__________．正确答案：解析：若x～U[a，b]，则一X～U[一b，一a]，由X与一X同分布可知a=一b，即x～U[一b，b]．于是有由题设f2(x)也是概率密度，则由知识模块：随机变量及其分布23．设随机变量X和Y均服从，且D(X+Y)=1，则X与Y的相关系数ρ=_________。正确答案：1解析：根据题意可知D(X)=D(Y)=，且1=D(X