特色题型专练06 最值问题-四边形-2024年中考数学考试易错题

若PM+PB的最小值是，则AB长为() 2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，连接PB，PQ，则△PBQ周长的最小值是() 4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，则AD=，若P是AC上一动点，则PB十PE的最小值是.5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若7B＝60O，BC＝4，则GH的最小值为() 6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC7．如图，在□ABCD中，上C=120的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值AM+MN的最小值为() 是对角线BD上一个动点，连接BE，EF，则BE+EF的最小值是() 11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别为AD、CD边上的点，上的两个动点，将△AEQ沿EQ翻折，使点A落在点F处，连接EF,QF，PF，PD，若下方）在直线OB上移动，连接DE，CF，则DE+CF的最小值为() 点P是BC中点，连接AE,PF，则AE+PF最小值为() EFTAC，垂足为点O，连接EC，AF，则EC+AF的最小值为.16．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E在边BC上，分别为边CD与AB上两个动点，线段PQ始终满足与AE垂直且垂足为F，则AP+QE17．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，点E在边AD上，且AE=2，F为边AB上的一个动点，连接EF，过点E作EG丄EF交直线BC于点G，连接FG，若P是FG的中点，则DP的最小值为()直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于7DAC，且DG丄PG，即7DPG=7DAC．连接CG，则CG最小值为()19．图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4．点E是AB上的动点，点F是线段AE上的点，且EF=3AF，DE，CF相交于点P，则DP的最大值为，最小值于点F，点G与F关于CD对称，H为CG的中点，则AH的最小值为.21．如图，在Rt△ABC中，7B=90O，AB=4，BC=3，点E在AB上，以AC为对角线的所有□ADCE中，对角线DE的最小值是()22．如图，在Rt△ABC中，7B=90O，BC=4，AC=5，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是()以AD，CD为邻边作□ADCE，则对角线DE的最小值是24．如图，三角形材料ABC，7B=90O，BC=4，AC=5，点D在边BC上，添加一块三角形材料ACE，加工成□ADCE的材料，则□ADCE的对角线DE的最小值25．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的两个顶点A、B是坐标轴上的动点， 27．如图，7MEN=90O，矩形ABCD的顶点B，C分别是7MEN两边上的动点，已知为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连接OC，则OC的最大值作DE丄AC于点E，DFTBC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是()M作MDTAC于点D，过M作METCB于点E，则线段DE的最小值为()个动点，过点D分别作DM丄AB于点M，DN丄AC于点N，连接MN，则线段MN32．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF丄则PA＋PB＋PC的最小值是() 34．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC 35．如图，在菱形ABCD中，点P为对角线ACPMTAB于点M，PNTBC于点N，连接PD，已知tan7BAC=，AC=24，则37．如图，在矩形ABCD中，AB=10,AD=6，动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P38．如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=S长方形ABCPA+PB的最小值为() 点P到B、C两点距离之和PB+PC的最小值为.41．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E为BC边上的动折叠到△AFE，则在点E的运动过程中，CF的最小值是() F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB,F，连接B,D，则B,D 的最小值是()上的一个动点，把△PCE沿PE折叠，点C的对应点为F．当点E与点D重合时恰好落在边AB上，则AF的最小值是.44．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=3，E是CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，45．如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB=2，连接BF，过A作AH丄BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为()46．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AD边上的一动点，点F是CD边上的一动点，且AE=DF，AF与BE相交于点P，连接PD，在F运动的过程中，PD的最小值为() AE=DF，连接BE，AF，交于点G.（1）连接DG，则线段DG的最小值是；（2）取CG的中点H，连接DH，则线段DH的最小值是.48．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是BC上的一动点（不与点B、C重合连接AE，过点D作DF丄AE，垂足为F，则线段BF长的最小值为.则CP的最小值是()且AE=6，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E顺时针旋转60O，得到EN，连接BN、CN，则BN+CN的最小值是() PE+PF取得最小值时，的值是.距离．尝试利用阅读内容解决问题：如图，在正方形ABCD中，M为AD上一点，且,E，F分别为BC，CD上的动点，且BE=2DF，若AB=4，则ME+2AF的径问题，连接BD，PD，MD，由菱形的性质得到AB=AD，AC垂直平分BD，则 DM=3；证明△BAD是等边三角形，得到DM丄AB，7ADM=30O，求出【详解】解：如图所示，连接BD，PD，MD，由菱形的性质可得AB=AD，AC垂直平分BD，:PD=PB，:△BAD是等边三角形，∵M是AB的中点，:DM丄AB，7ADM=30O，与点D是对称点，连接DQ，交AC于点P，此时△PB【详解】∵边长为2的正方形ABCD中，点Q是BC【分析】先求出C(0,3)，B(3,0)，A(-1,0)，于点T，连接PT，证明四边形OBTC是正方形，且T(3,3)，即有点O与点T关于直线BC最小值为AT，问题随之得解.:C(0,3)，:B(3,0)，A(-1,0)，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接PT，∴当A、P、T三点共线时PA+PT最小，即PA+PO最小，最小值为AT，称的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，证明四边形OBTC是正方形，且【分析】首先根据题意解得AE、AB的值，再根据正方形的性质求得AD的值；连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PBPB=PD，所以PB+PE=PD+PE=DE，利用勾股定∵四边形ABCD为正方形，如下图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，:PB=PD，正确作出辅助线是解题关键.【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=AF，求出AF的最小值即可解决:四边形ABCD是菱形，:AB=BC=4，:G，H分别为AE，EF的中点，:GH是△AEF的中位线，当AF丄BC时，AF最小，GH得到最小值，题的关键是学会添加常用辅助线.【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=AF，求出AF的最小值即可解决:G，H分别为AE，EF的中点，:GH是△AEF的中位线，:△ABF是等腰直角三角形， 线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.【分析】连接AG，AC，过A作AMTBC于M；由题意得<B=60o，则可求得AM，BM的长，从而由勾股定理求得AC；由三角形中位线定理得EF=AG，当G与C重合时，AG最长；当G与M重合时，AG最短，从而可求得EF的最大值与最小值的差.【详解】解：如图，连接AG，AC，过A作AMTBC于M；∵四边形ABCD是平行四边形，且7C=120。，:AB=4， ∵点E为AH的中点，点F为GH的中点， AG利用三角形中位线定理是关键. :GH是△AEF的中位线，当AF丄BC时，AF最小，GH得到最小值，:△ABF是等腰直角三角形， 故答案为：22.线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.直角三角形的性质、矩形的性质求解即可得.:AM+MN=A/M+MN，等知识点，利用两点之间线段最短和垂线段最短得出当题关键.【分析】作点B关于AD的对称点B,，过点B,作B,G丄BD于点G，交AD于点H，即可得到BE+EF的最小值为B,G，再解直角三角形即可解答.【详解】解：作点B关于AD的对称点B,，过点B,作B,G丄BD于点G，交AD于点H，如图：由对称性可得B,E=BE，:BE+EF≥B,G，:当B,，E，F三点共线，且B,F丄BD时，即点E在点H处，点F在点G处时，BE+BF的值最小.:AB=6，BC=6，【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线. 最短路径．作点A关于BC的对称点H，连接HP，DG，DH，可知当H、P、G、D共线时，PA+PG最小，求出DH、DG长即可.【详解】解：作点A关于BC的对称点H，连接HP，DH，GH，如图所示：:AH=8，DH=:GD=2， :822≤AP+PG， 故答案为：822. 根据两点之间线段最短解决最短问题.作点D关于BC的对称点D,，连接PD,,ED,，由轴对称可知，DP=D,P， 【详解】解：如图，作点D关于BC的对称点D,，连接PD,,ED,， 【分析】如图，作点D关于OB的对称点T，作TR∥OB，使得TR=EF，连接CR交OB于F，在FO的延长线上，取点E，使得EF=1，连接ET．DE，此时DE+CF的值最小.【详解】解：如图，作点D关于OB的对称点T，作TR∥于F，在FO的延长线上，取点E，使得EF=1，连接ET．DE，此时DE+CF小.:RT=EF=1，RT∥EF，:四边形TRFE是平行四边形，:ET=FR，:D，T关于OB对称，:ED=ET，:DE=RF，:DE+CF=RF+FC=RC，此时CR的值最小，最小值关键是学会利用轴对称添加辅助线，构造特殊四边形解决最短问题，属于中考常考题型.【分析】取CD的中点Q，连接PQ，EQ，证明四边形PQEF为平行四边形，求出【详解】解：取CD的中点Q，连接PQ，EQ，如下图所示：:EF=5，:PQ=EF，【点睛】本题考查三角形中位线，勾股定理的知识，掌握性质是解题的关键.三边关系，勾股定理，分别以EF、EC为边作平行四边形ECHF，连接AH，过点F作FGⅡBC交AB于点G，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可，根据题意正确作出辅助线是解题的关键.【详解】解：分别以EF、EC为边作平行四边形ECHF，连接AH，过点F作FGⅡBC交AB∴7BAC=7GFE解得EF=CH=∵四边形ECHF是平行四边形，2 【分析】过点Q作QH丄CD于点H．利用相似三角形的性质求出PH=3，设BQ=x，则CH=x，PD=5x，AP+QE=，求AP+QE的最小值，相当于在x轴上找一点M(x,0)，使得点M到J(0,4)，K(5,6)的距离和最小，作点J关于x轴的对称点J,，连接KJ,，则KJ,=由MJ+MK=MJ,+MK≥KJ,=5·,可得结论.【详解】解：如图，过点Q作QH丄CD于点H.:四边形ABCD是矩形，:CE=2，:QH丄CD，:四边形BCHQ是矩形，:BQ=CH，BC=QH=6，QHⅡBC，:AE丄QP，:△ABE∽△QHP，,:PH=3，欲求AP+QE的最小值，相当于在x轴上找一点M(x,0)，使得点M到J(0,4)，K(5,6)的距离作点J关于x轴的对称点J,，连接KJ,，:K(5,6)，J,(0,一4)， :JM+MK的最小值为55， :AP+QE的最小值为55. 故答案为：55.中考填空题中的压轴题.【详解】则四边形ABG1E是矩形.2:△ABE~△EG2B，2，:OC=BC2BC2BO222(10)2 【点睛】本题是一道矩形中的动点问题，难度较大.主要考查了矩形的性质、勾股定理、三轨迹.【分析】作DHTAC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HETCD于H，证明△ADH∽△PDG，得∠DHG=∠DAP=定值，则点G在射线HF上运动，故当CG⊥HF时，【详解】解：如图，作DHTAC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HETCD于E，∵DG⊥PG,DH⊥AC，:△ADH∽△PDG，:△ADP∽△DHG，:∠DHG=∠DAP=定值，:∠HDF=∠DAH=∠DHF，在Rt△ADC中，4242+22 5，∴△CGF≌△HEF(AAS)，的关键. ∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD:△PCD∽△PFE，:当t=时，即x=时，PD取得最大值，(75,(75,【点睛】本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等，熟练运用相似三角形性质和二次函数的性质是解题关键. 【分析】将正方形ABCD沿着CD翻折得正方形A,B,CD，连接AE，BG，以A,B,为直径作当MG最小时，AH的值最小．由点G在以A,B,为直径的ΘO上运动，当且仅当M、G、O【详解】解：将正方形ABCD沿着CD翻折得正方形A,B,CD，连接AE，BG，以A,B,为直径作ΘO，连接CA并延长至M，使AM=AC，连接MG，如当MG最小时，AH的值最小.:点G在以A,B,为直径的ΘO上运动，当且仅当M、G、O三点共线时，过点O作ON∥AD，过点M作AB的平行线交ON于N，延长DA交MN于K，:△MAK≌△ACD(AAS)，:A,K=12，:四边形A,ONK是矩形，:MG=62。故答案为：31题.【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当DE丄BA时，DE取最小值，【详解】解：在Rt△ABC中，7B=90O，:BC丄AB.:当DE丄BA时，线段DE最短，:DE∥CB，:OE是△ABC的中位线，故选：B.行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键.【详解】解：∵7B=90O，BC=4，AC=5，:BC∥AE，:当DETBC时，DE最小，:四边形ABDE是矩形，【点睛】本题考查矩形判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理及点到直线垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线垂线段最短.23．6的对角线的交点是AC的中点O，当ODTBC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解.【详解】解：如图所示，设AC,DE交于点O，∵平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，:当ODTBC时，OD最小，即DE最小.ODTBC，BCTAB，:ODⅡAB，:OD是△ABC的中位线，:CDⅡAE，:当DE丄BC时，DE取最小值，∵7B=90O，的距离处处相等.【分析】取AB的中点E，连接OE、CE，则BE=根据正方形的性质及勾股定理得即可求解.【详解】解：如图，取AB的中点E，连接OE、CE，则BE=，∵四边形ABCD是正方形，边长为4，:<ABC=90。,AB=BC=4，则BE=AB=2，三角形三边关系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键.【分析】取AB的中点E，连接OE、CE，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 【详解】解：取AB的中点E，连接OE、CE， :OC的最大值为3+35，两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键. 【分析】如图所示，取BC的中点F，连接DF，DE，利用勾股定理求出DF的长，再确定DE最大时的条件，即可求出答案.【详解】如图所示，取BC的中点F，连接DF，DE，:7BCD=90O，∵F是BC的中点，:当点E，F，D三点共线时，DE有最大值， :DE最大值=EF+DF=5+52， 【点睛】此题考查了矩形性质及三角形的三边性质，确定最值条件是解题的关键.【分析】取AB中点E，连接OE，CE，根据勾股定理求出CE，根据直角三角形斜边中线【详解】解：取AB中点E，连接OE，CE，正方形ABCD，AB=6，点E是AB中点，:OE=AB=3，:当O，C，E三点共线时，OC取最大值，最大值为OE+CE=3+3关系求线段的最值等，解题的关键是正确作出辅助线.CD的值最小，即线段EF有最小值，在Rt△ABC中，可求出AB的值，根据等面积法即可 求出CD的值，由此即可求解.【详解】解：如图所示，连接CD，∴CD是斜边AB的高，∴线段EF的最小值是2.4，故选：D.线段最小值的转换方法，等面积法求高是解题的关键.【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面积关系【详解】解：连接CM，如图所示：∴DE=CM，当CM丄AB时，CM最短，此时Rt△ABC的面积AB.CM=BC.AC，∴线段DE的最小值为，矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩线段最短和三角形面积即可解决问题.∵DM丄AB，DN丄AC，∴四边形DMAN是矩形.∴当AD丄BC时，AD的值最小，此时，ΔABC的面积AB×AC=BC×AD，的关键是熟练掌握基本知识，本题属于中考常考题型. 定理，连接FG、BE，根据EFTAB，EGTBC结合正方形的性质得到FG=BE，根据垂线段最短，可知当BETAC时，BE最小，得出△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解.【详解】解：连接FG、BE，又EFTAB于点F，EGTBC，:四边形FBGE是矩形.:FG=BE.:当BE最小时，FG就最小.根据垂线段最短，可知当BETAC时，BE最小.当BETAC时，在正方形ABCD中，△AEB是等腰直角三角形，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得2BE2=AB2=400， 解得BE=102. 故答案为：102.【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°,得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求.【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°,得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求.考题型.【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°,得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求.【详解】解：如图，将△BPC绕点C逆时针旋转60°,得到△EFC，连接PF、AE、AC，【点睛】本题考查轴对称-最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.【分析】过点P作PM,丄AD，垂足为M,，过点D作DG丄AB，垂足为G，交AC于点H，连接BD，交AC于点O，连接BH，根据菱形的性质，得到PM,=PM，BH=DH，由PN丄BC，PM,丄AD，结合ADⅡBC，推出点M,,P,N三点共线，即【详解】解：过点P作PM,丄AD，垂足为M,，过点D作DG丄AB，垂足为G，交AC于点H连接BD，交AC于点O，:ABCD是菱形，PM/丄AD，PM丄AB，:PM/=PM，BH=DH，:PN丄BC，PM/丄AD，ADⅡBC，当点D,P,M三点共线时，即点G，M重合，DP+PM有最小值，最小值为DG的长，:PD+PM+PN有最小，最小值为DG+BH，:菱形ABCD的面积为AC.BD=AB.DG，:△BOH∽△AOB，:DG+BH=+=，做出辅助线证明三角形相似是解题的关键.△DQC，则△APP和△DQQ是正三角形，进而可证当B,P,P,Q,Q,C六点共线时AP+BP+PQ+CQ+DQ的值最小．连接BB,CC，则△ABB和△CDC是等边三角形，然后分别求出BE,EF,CF的值即可.【详解】解：将△APB绕点A顺时针旋转60O至OAPB至△DQC，∴AP+BP+PQ+CQ+DQ∴当B,P,P,Q,Q,C六点共线时AP+BP+PQ+CQ+DQ的值最小.连接BB,CC，∴B,C,垂直平分AB,CD， 即AP+BP+PQ+CQ+DQ的值最小为1+3. 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.【分析】过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A,，连接求出A,B即可.【详解】解：过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A,，连接A,B交MN于点P，【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.线段相加最小值后用勾股定理即可求出本题答案.【详解】解：设△PAB中AB边上的高是h，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，,线段最短.:PE=9×2÷6=3，题. 40．85【分析】首先由S△ABP=10.5，得出动点P在与AB关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值.【详解】设△ABP中AB边上的高是h，:动点P在与AB平行且与AB的距离是3的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接在Rt△ABE中，AB=7，AE= 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键.∴点A，F，C在同一条直线上时，CF最小， ∴CF=AC-AF=2·5-2.【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记折叠的性质是解题的关键.AD=3，DG=进一步求得从而解∵四边形ABCD是平行四边形，<B=60O∵E是AB的中点，AB=4，【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行四边形的性质、两点之间线段最短的综合运用，43．E与点D重合时，点F恰好落在边AB上，画出图形，由勾股定理解Rt△FBP，Rt△DAF求出AB的长，再根据PF=PC=5cm，点P为定点，可知点F和点C在以点P为圆心，5为半径的圆上，连接AP，与ΘP交点即为所求点F.【详解】解：矩形ABCD中，AD=8cm，当点E与点D重合时，点F恰好落在边AB上，如下图所示：在Rt△FBP中，由勾股定理得BF2+BP2=PF2，:AF=AB—BF=x4，在Rt△DAF中，由勾股定理得AD2+AF2=DF2，:AB=CD=10cm.:点F和点C在以点P为圆心，5为半径的圆上，如图，连接AP，与ΘP交点即为所求点F，:AB=10cm，BP=3cm， 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、以及勾股定理，利【详解】解：由折叠知，点D,在以点A为圆心，AD为半径的圆弧上，所以当A、D,、C:矩形ABCD中，AB=5，AD=3，:DC=AB=5 运用这些知识是解题的关