平面几何中的向量方法642向量在物理中的应用举例课件高一下学期数学人教A版3

6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例新课程标准解读核心素养1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题数学建模2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用数学运算、逻辑推理知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS01知识梳理·读教材⁠

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在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力.在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力.问题

你能从数学的角度解释上述现象吗？

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⁠知识点

平面向量的应用1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.2.向量在物理中的应用（1）物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等；（2）向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解中；（3）动量mv是向量的数乘运算；（4）功是力F与所产生的位移s的数量积.用向量法如何证明平面几何中AB⊥CD？

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A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形

2.某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2（｜v1｜＞｜v2｜），则逆风行驶的速度的大小为（

）A.v1－v2B.v1＋v2C.｜v1｜－｜v2｜D.解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数.故逆风行驶的速度的大小为｜v1｜－｜v2｜.3.在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），则BC边的中线AD的长为

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02题型突破·析典例⁠

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题型一平面向量在平面几何中的应用角度一：平行或共线问题【例1】

如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线.

通性通法证明A，B，C三点共线的步骤（1）证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线；（2）说明两向量有公共点；（3）下结论，即A，B，C三点共线.角度二：垂直问题【例2】

如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD（异于B，D）上的一点，四边形PECF是矩形，用向量证明：PA⊥EF.

法二

以D为原点，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

通性通法

角度三：长度问题【例3】

如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.

通性通法

角度四：夹角问题【例4】

已知长方形AOCD中，OA＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，∠PED＝45°.解

如图，建立平面直角坐标系，则E（1，0），D（2，3），设P（0，b）（0≤b≤3），

整理得2b2－3b－2＝0，

通性通法平面几何中夹角问题的求解策略

利用平面向量解决几何中的夹角问题时，本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角，借助夹角公式进行求解，这类问题也有两种方法，一是利用基底法，二是利用坐标运算.在求解过程中，务必注意向量的方向.⁠

⁠如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且DC＝2BD.求：（1）AD的长；

（2）∠DAC的大小.

题型二平面向量在物理中的应用角度一：利用向量解决速度、位移问题

解

设风速为v0，有风时飞机的飞行速度为va，无风时飞机的飞行速度为vb，则va＝vb＋v0，且va，vb，v0可构成三角形（如图所示），

角度二：利用向量解决力与做功问题【例6】

一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m.其中｜F1｜＝2N，方向为北偏东30°；｜F2｜＝4N，方向为北偏东60°；｜F3｜＝6N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功.

通性通法

平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则转化为代数方程来计算.⁠

⁠两人提起一个旅行包，旅行包所受的重力为G，两人用力大小都为｜F｜，夹角为θ，若｜F｜＝｜G｜，则θ的值为（

）A.30°B.60°C.90°D.120°

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⁠1.如果一架飞机向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则（

）A.s＞｜a｜B.s＜｜a｜C.s＝｜a｜D.s与｜a｜不能比大小

A.是正三角形B.是直角三角形C.是等腰三角形D.形状无法确定

A.5NB.5NC.5ND.5N

4.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC＝（

）A.－B.C.0D.

答案：103知能演练·扣课标⁠

⁠1.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为（

）A.40NB.10NC.20ND.10N

A.角C为钝角的三角形B.角B为直角的直角三角形C.锐角三角形D.角A为直角的直角三角形

A.B.2C.13D.26

A.B.2C.3D.2

5.（多选）设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，｜a｜＝

｜c｜，则｜b·c｜的值一定等于（

）A.以a，b为邻边的平行四边形的面积B.以b，c为邻边的平行四边形的面积C.以a，b为两边的三角形面积的2倍D.以b，c为两边的三角形面积解析：设b与c的夹角为α，a与b的夹角为θ，则｜b·c｜＝｜b｜·｜c｜·｜cosα｜＝｜b｜·｜a｜·｜cos（90°±θ）｜＝｜b｜·｜a｜·sinθ.故选A、C.

A.·＝－B.存在点P，使｜｜＜｜｜C.·＝0D.AC＝BC

8.有一东西方向的河流（假设河流宽度一样），一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为2m/s，方向为北偏西30°，河水的速度为向东1m/s，经过20s到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是

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10.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.

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A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上

A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶5

14.如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2.

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⁠15.（多选）一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N，水平拉力F1的大小为3N，另一力F2未知，则（

）A.当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝5NB.当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5N时，物体所受合力大小为0C.当物体所受合力为F