分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用课件高二下学期数学人教A版选择性

第六章计数原理6.1.2分类加法原理与分步乘法计数原理的应用2.区别

分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复

两个原理的联系与区别1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.温故知新例1.高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(

) A．360种

B．420种 C．369种

D．396种解析法一(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类：①四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；②有三个班级去甲工厂，剩下的班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4＝16(种)；题型一分配与抽取问题③有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4＝96(种)；④有一个班级去甲工厂，其他班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256(种)．综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种)．法二(间接法)先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：5×5×5×5－4×4×4×4＝369(种)方案．答案C方法解析

选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．练习：有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(

) A．11 B．10

C．9 D．8C 练习：有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(

) A．11 B．10

C．9 D．8C 例2.用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排成多少个无重复数字四位密码？ (2)可以排成多少个四位数？ (3)可以排成多少个四位奇数？

题型二

组数问题(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步:第一步,选取左边第一个位置上的数字,有5种选取方法;第二步,选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法;第三步,选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法;第四步,选取左边第四个位置上的数字,有2种选取方法.由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N=5X4X3X2=120(个)(2)法一(直接法):完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步:第一步，从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法;第二步，从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字,有4种不同的选取方法;第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字,有3种不同的选取方法;第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N=4X4X3X2=96(个).法二(间接法):将5个数字不重复排在4个位置上有5X4X3X2=120种排法，其中不合要求的有4X3X2=24种排法，所以排成无重复数字的四位数为120-24=96(个).(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步:第一步，定个位，只能从1,3中任取一个有2种方法;第二步,定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个，可任取一个有3种方法;第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理共有2X3X3X2=36(个)，方法解析对于组数问题，应掌握以下原则(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位.练习：用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有(

)A．144个 B．120个

C．96个 D．72个解：①首位为5，末位为0：4×3×2＝24(个)；②首位为5，末位为2：4×3×2＝24(个)；③首位为5，末位为4：4×3×2＝24(个)；④首位为4，末位为0：4×3×2＝24(个)；⑤首位为4，末位为2：4×3×2＝24(个)．由分类加法计数原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(个)．故选B．B 题型三

涂色与种植问题例5.将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法.②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法.方法解析解决涂色问题的一般思路(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析.(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析.(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.练习：如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 (

)A．400种 B．460种

C．480种 D．496种C 解：完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．①当使用4种颜色时：从A开始，有