2023-2024学年南京一中高二年级上册数学阶段性测试卷（含答案）

南京一中2023〜2024学年第一学期7月阶段性考试检测卷

高二数学

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,若复数z满足Z°—2I）=3+I（i是虚数单位），则目=（）

A.0B.V3C.2D.3

2.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的

投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可

能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为（）

5

8-

7

3.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为可，SA与圆锥底面所成角为45。，若ASAB的面

积为5小，则该圆锥的侧面积为（）

A.80岳B.40C.40岳D.40&

4.若a,〃为正实数，直线2x+（2a-3）y+2=0与直线法+2>-1=0互相垂直，则ab的最大值为

)

399

A.B.

284

4A/5

A.B.逑

99丁~9~

6.过点A（l,l）的直线/与圆/+>2=3交于M,N两点，则弦长|肱V|的最小值为（）

A.#jB.277C.1D.2

7.若直线/：y=x+匕与曲线丫=/二?■有两个交点，则实数力的取值范围是（）

A.(-72,72)B.(1,72)

c[1,72)D.[1,V2]

8.在_ABC中，AB-AC=9，sinB=cosAsinC,ABC-6,p为线段AB上动点，且

CACB21

CP=x--------+y---------,则一+一的最小值为（）

\CA\­\CB\

AU+逅1111瓜11

B.—C.—+D.—

63612312

二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法错误的是（)

A.过点A（-2,-3）且在两坐标轴上的截距相等的直线/的方程为x+y=-5

B.直线2（m+l）x+（加一3））+7-5加=0必过定点（1,3）

C.经过点尸（1,1）,倾斜角为。的直线方程为y-l=tan*x-l）

D.过（工,%）,（%，%）两点的所有直线的方程为（马一百）（丫一>）=（必一乂）（上一%）

10.下列选项中，正确的有（）

1dh

A.设。，人都是非零向量，则=5。”是“同二"”成立的充分不必要条件

2

B.若角夕的终边过点P（3,一m）且sina=-［百，则加=±2

C.在_/18。中，A<B<=>sinA<sinB

D.在一ABC中，若48=20,8=45°,4c=3,则满足条件的三角形有且只有一个

11.已知实数x，y满足曲线C的方程/+9-2%一2=0,则下列选项正确的是（）

A.f+『的最大值是6+1

B.巴•的最大值是2+#

x+1

C.|x-y+3|的最小值是2&-6

D.过点(0,作曲线C的切线，则切线方程为x—应y+2=0

12.已知正方体ABCD-ASC。的棱长为4,点尸是A4的中点，点”是侧面AAQB内的动点，且

满足RM±CP,下列选项正确的是()

A.动点M轨迹的长度是2逐

32

B,三角形A9”在正方体内运动形成几何体的体积是1

C.直线RM与8C所成的角为a,则tana的最小值是写

D.存在某个位置使得直线8"与平面ARM所成的角为4

4

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.数据3,4.5,6,a,10,11的平均数是8,则这组数据的60百分位数为

14,直线4:3x-y-3=0关于直线4：x+y-1=0的时称直线方程为.

15.在平面直角坐标系xoy中，点A(l,0),8(4,0),若在曲线。：*2-2℃+)2-4殁+5/-9=0上存在点

P使得|P8|=2|PA|,则实数。取值范围为

16.在矩形ABC。中，AB=坦,BC=\,现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体。-4BC,则该四面体

7171

外接球的体积为;设二面角》一AC—8的平面角为仇当e在内变化时，8D的取值范围

为________

四.解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知一ABC三个顶点是A(—1,4),B(—2,T),C(2,3)

(1)求8c边的高所在直线方程；

(2)的面积S

18.如图，在平面四边形43CD中，乃，CD=瓜,AACD的面积为手.

⑴求AC的长；

71

(2)若NB=一,求8。的长.

4

19.甲、乙两同学组成“星队”参加“庆祝中国共产党成立101周年”知识竞赛.现有A、B两类问题，竞

赛规则如下：

①竞赛开始时，甲、乙两同学各自先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；

答对的同学再从8类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束.

②若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于3个，则“星队”可进入下一轮.已知甲同学能

答对A类中问题的概率为一，能答对B类中问题的概率为一.乙同学能答对A类中问题的概率为‘，答对

544

2

8类中问题的概率为

(1)设“甲答对0个，1个，2个问题”分别记为事件4、A、4,求事件4、A、4的概率；

(2)求“星队”能进入下一轮的概率.

20.已知点P(2,2),圆。：/+'2-8)，=0,过点P的动直线/与圆c交于A,5两点，线段AB的中点

为M,。为坐标原点.

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|=|OM|时，求/的方程及的面积.

21.在三棱柱ABC-A4G中，AB=BC=AA,=2,BCt=V14,ZABC=y,AC,±A,5.

(1)证明：平面AAC，平面ABC；

(2)求二面角A-A/-C的平面角的余弦值.

22.已知圆C：(x+3)2+(y-4>=16,直线/：(2w+l)x+(w-2)y-3m-4=0(WG/?).

(1)若圆C截直线/所得弦AB的长为2而，求“的值；

(2)若加>0,直线/与圆C相离，在直线/上有一动点尸，过尸作圆C的两条切线PM,PN,切点分别

13

为M,N,且cosNMPN的最小值为，.求机的值，并证明直线MN经过定点.

45

南京一中2023〜2024学年第一学期7月阶段性考试检测卷

高二数学

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,若复数z满足Z°—2I）=3+I（i是虚数单位），则目=（）

A.y/2B.V3C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的模的计算公式计算可得.

(3+i)(l+2i)3+6i+i+2i?17.

【详解】因为z（l—2i）=3+i'所以z=匚五(l-2i)(l+2i)-5-5+51

故选：A

2.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的

投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可

能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，列出所有可能，结合古典概率，即可求解.

【详解】甲、乙、丙3人投中与否的所有情况为：（中，中，中），（中，中，不中），（中，不中，中）,

（中，不中，不中），（不中，中，中），（不中，中，不中），（不中，不中，中），

41

（不中，不中，不中），共8种，其中至多有1人投中的有4种，故所求概率为三二彳.

o2

故选：C

7

3.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为一，SA与圆锥底面所成角为45。，若ASAB的面

8

积为5厉，则该圆锥的侧面积为（）

A.80缶B.40C.400万D.40小兀

【答案】C

【解析】

【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面

积.

7

【详解】圆锥的顶点为S,母线SA,S3所成角的余弦值为w，

可得sinNASB=—11J=半，又钻的面积为5厉，

可得』&42豆114458=5厉，即JsKxX叵=5/，可得SA=4后，

228

SA与圆锥底面所成角为45，可得圆锥的底面半径为：也x46=2厢，

2

则该圆锥的侧面积：万x2ji6x4后=40丘万，

故选：C

4.若a,人为正实数，直线2x+（2a-3）y+2=0与直线"+2>-1=0互相垂直，则ab的最大值为

（）

A3R9930

2844

【答案】B

【解析】

【分析】由两直线垂直求出2a+匕=3,再利用基本不等式求出的最大值.

【详解】解：由直线2x+（2a—3）y+2=O与直线版+2y—1=0互相垂直

所以2b+2（2a-3）=0

即2a+6=3

又a、b为正实数，所以+

即2而W（生电]=2，当且仅当〃=3,6=9时取"=”；

I2J442

9

所以仍的最大值为

8

故选：B

【点睛】本题主要考查了由直线垂直求参数，基本不等式求最值的应用，属于中档题.

5.已知sin则cos（2a+/）=（

）

11475475

A.--B.一rn

9999

【答案】A

【解析】

【分析】将以）$（2。+1）化为<：05[2（0-三）+兀],

利用诱导公式以及二倍角的余弦公式，化简求值，可

得答案.

【详解】因sin^«-^j=.|,

'兀、7171Vle.2（兀）1811

所以cos2a+—=cos[2（a——）+K]=-cosf2（（Z--）]=2sinl6z--1—1=——1=-—,

<3/3

故选：A.

6.过点A（l,l）的直线/与圆光2+y2=3交于M,N两点，则弦长|MN的最小值为（）

A.币B.2A/7C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆的性质，得到当0A垂直/时，|MV|最小，结合弦长公式，即可求解.

【详解】由圆方程V+y2=3,可知圆心0（0,0）,半径「=也,

当。4垂直/时，|M7V|最小，此时。到直线/的距离d=|Q4|=J5,

所以|MN|的最小值为IMNL,=2,尸—屋=2百=2=2.

故选：D.

7.若直线/：。=。+匕与曲线。=J-f有两个交点,则实数匕的取值范围是()

A.(-72,5/2)B.(1,72)

C.[1,V2)D.口,技

【答案】C

【解析】

【分析】由题可知曲线表示一个半圆，然后利用数形结合即得.

【详解】由曲线y=Jl—x2得x2+y2=](yN0),表示以原点为圆心，半径为1的上半圆,

,-----阳，厂L

当直线6与半圆y=Jl-x2相切时,正=1，则万=J5,此时直线为y=X+J5,

当直线y=x+。过点(0,1)时，b=l,此时直线为y=x+i,

要使直线/：y=x+6与曲线y=JiZ?有两个交点，则6的取值范围是[1,0).

故选：c.

8.在中，ABAC=9>sin3=cosAsinC,SABC=6,P为线段A3上的动点，且

21

则一+一的最小值为()

|CA|■\CB\

A・鸿1111

B.—D.—

612

【答案】C

【解析】

xy21

【分析】由己知条件求得解得b,c,cosA,再求得画,可得到一+2=1,用基本不等式求一+一的最

34xy

小值.

becosA=9

【详解】设|A8|=c,|AC|=b,根据题意得〈b-ccosA

—£>csinA=6

12

43

解得b=3,c=5,sinA=—,cosA=-

55

CBAB-ACj=VC2+*2-2Z?CCOSA=^52+32-2X5X3X|=4

•岛+，,品

又A、P、3二点共线，—F—=1,

34

21

—+—

xy123

6x

x-------------

当且仅当〈,、时，等号成立.

%_y4x2V6

3y2xy

5

故选：c

【点睛】关键点睛:解题的关键是由己知条件求出仇c后，再由A,P,8三点共线，得2+2=1,所以

34

21(21}

—I—=化简后结合基本不等式可求出其最小值,

xy(%y)

二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法错误的是（）

A.过点A（—2,-3）且在两坐标轴上的截距相等的直线/的方程为x+y=-5

B直线2（旭+1）工+（加一3）丁+7-5加=0必过定点（1,3）

C.经过点尸（1,1）,倾斜角为8的直线方程为＞-l=tan6（x-l）

D.过（％,x）,12,%）两点的所有直线的方程为（马一玉）（>一y）=（必一y）（工一%）

【答案】AC

【解析】

7T

【分析】根据直线过原点时，满足题意，可判定A错误；根据直线系方程过定点，可判定B正确；根据。=一

2

时，此时直线的斜率不存在，可判定C错误；根据直线的方程，分类讨论，可判定D正确.

【详解】对于A中：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，

可设直线方程为^=依，又直线过点4（-2,—3）,则—3=-23即yj

3

此时直线方程为y=5"，满足题意，所以A错误；

对于B中：直线2（加+l）x+（加一3）y+7-5/%=0可化为（2x+y-5）m+2x-3y+7=0,由方程组

2x+y-5=0

12x-3y+7=0解得x=1,y=3,

即直线2（/〃+l）x+（m-3））+7-5/〃=0必过定点（1,3）,所以B正确；

TT

对于C中，当倾斜角。=一时，此时直线的斜率不存在，tan，无意义，所以C错误;

2

对于D中，由两点（3,乂）,。2，%）,

当工尸々时，此时过a，y）,（x,,%）两点的所有直线的方程为二互（々一西），即

X—xl

（x2-xl）（y-yl）=（y2-yl）（x-xl）,

当王=々时,，此时过（为。|）,*2，>2）两点的所有直线的方程为尤=芯或X=》2，适合上式，

所以过（3,％）,。2，%）两点的所有直线的方程为伍一3）（3->1）=（%一乂）（左一3）所以D正确.

故选：AC.

10.下列选项中，正确的有（）

]_ab

A.设a,。都是非零向量，贝〃=5。”是"同=M”成立的充分不必要条件

2

B.若角a的终边过点P（3,-m）且sina=--尸，则加=±2

5/13

C.在—ABC中，A<B<=>siM<sinB

D.在一ABC中，若AB=20,8=45°,4c=3,则满足条件的三角形有且只有一个

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据共线向量的概念，结合充分、必要条件的判定，可判定A正确；根据三角函数的定义，列出

方程，可判定B错误；根据三角形的性质，结合正弦定理和余弦函数的单调性，可判定C正确；结合余弦

定理列出方程，可判定D正确.

【详解】选项A中，由。=,方，可知。所以

=2b,所以充分性成立;

22同丽调,

ab

若彳部则,因为万为大于。的实数，不一定%,所以必要性不成立,

Iab

所以〃=二8是同=忖成立的充分不必要条件，所以A正确;

2

2

选项B中，若角a的终边过点P（3,T〃），且sina=

-m2

则『=：=一-^,解得m=2,所以B错误；

7m“+9713

选项C中，因为在工A3C中，A<B<^a<b,

由正弦定理可知。vbosinA<sin3,所以Av3<=>sinAvsinB,所以C正确；

选项D中，由cos8=.+叱-4J牛一]:也,可得8。2一48。—1=0,

2ABBC4cBe2

解得8C=2+不或8C=2—石（舍去），满足条件的三角形有一个，所以D正确；

故选：ACD.

11.已知实数x，y满足曲线C的方程/+丁2-2%一2=0,则下列选项正确的是（）

A.最大值是G+]

B.2里的最大值是2+Jd

x+1

C.|x-y+3|的最小值是

D.过点（0,我）作曲线C的切线，则切线方程为x—JIy+2=0

【答案】BD

【解析】

【分析】由f+y2表示圆C上的点到定点。（0,（））的距离的平方，可判定人错误；由言表示圆上的点与

点p（—1,-1）的斜率设2担=女，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由|x-y+3|

尢+1

表示圆上任意一点到直线x-y+3=0的距离的血倍，进而可判定C错误；根据点仅，血）在圆C上，结

合圆的切线的性质，可判定D正确.

【详解】由圆。：/+：/一2%-2=0可化为（x—l『+y2=3,可得圆心（1,0）,半径为r=百，

对于A中，由f+‘2表示圆c上的点到定点0（0,0）的距离的平方，

所以它的最大值为Q（l—0）2+。2+6]2=4+26,所以A错误；

对于B中，巴•表示圆上的点与点P（—1,-1）的斜率上,设2担=3即y+l=A（x+l）,

x+1x+1

由圆心（1,0）到直线y+l=z（x+l）的距离〃=易/46,解得2-#4442+太，

所以2担的最大值为2+灰，所以B正确；

x+1

对于C中，由卜-y+3|表示圆上任意一点到直线x-y+3=0距离的④倍，

圆心到直线的距离4=美=2血，所以其最小值为血（2夜-6）=4-指，所以C错误；

对于D中，因为点（0，亚卜茜足圆C的方程，即点（0,J5）在圆C上，

则点C与圆心连线的斜率为4=一五，

根据圆的性质，可得过点（0,J5）作圆C的切线的斜率为％=-，=手，

所以切线方程为丫一挺=母（无一0）,即x-也y+2=（）,所以D正确.

故选：BD.

12.已知正方体488—4569的棱长为4，点P是44的中点，点M是侧面内的动点，且

满足。下列选项正确的是（）

A.动点M轨迹的长度是2不

32

B.三角形ARM在正方体内运动形成几何体的体积是二

3

C.直线AM与BC所成的角为a,则tana的最小值是逆

5

D.存在某个位置〃，使得直线8。与平面所成的角为四

4

【答案】ABC

【解析】

【分析】建立坐标系，由可得出动点动点M轨迹为线段MN,然后结合勾股定理，异面直线

所成角，线面角，体积公式等逐一判断即可

【详解】以。为原点，D4为x轴，。。为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

则M（4,y,z）,0（O,O,4）,P（4,O,2）,C（O,4,O），A（4,O,4）,3（4,4,O）,

D、M=（4,y,z-4）,CP=（4,T2）,

•:D、M±CP,

：.D}MCP=Q，即2y-z=4,

取AB得中点N,则动点M轨迹为线段4N,

对于A：动点M轨迹为线段B|N,且B[N=《BN?+BB：=2亚,故A正确；

对于B：三角形AQ用在正方体内运动形成几何体为三棱锥Q-ANA,

1]「1/1132

且V0rA叫=§S人叫x44=§x-(2+4)x4--x2x4x4=—,故B正确;

对于C：•.•BC//4A，

，直线与BC所成的角为a=?4AM,

4，48A/58出r-

又4〃,加=37二=以，则tana的最小值是4"疝“_5_2^5,故C正确；

20554r

对于D：易知M与男重合时，直线8乌与平面ARM所成的角最大，

且为tan?BD,B,-^=-4==—<1=tan-,

''B.D,4^24

71

\?BD.B.一，

114

所以不存在某个位置M，使得直线8。与平面ARM所成的角为;，

故D错误；

故选：ABC

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.数据3,4.5,6,a,10,11的平均数是8,则这组数据的60百分位数为

【答案】10

【解析】

【分析】先根据平均数求出。，然后对这组数据从小到大排列，利用百分位数的定义求解即可

【详解】解：因为数据3,4,5,6,4,10,11的平均数是8,

则3+4+5+6+4+10+11=8x7,解得。=17,

这组数从小到大排列：3,4，5,6,10,11,17,

因为7x60%=4.2,

所以第5个数据为这组数据的第6()百分位数，即为10,

故答案为：10.

14.直线4：31-丁-3=0关于直线/2：N+丁-1=0的对称直线方程为

【答案】x-3y-l=0

【解析】

【分析】两直线方程联立可求得交点在所求对称直线上；在直线4上取一点A(0,-3),求得其关于直线4对

称的点的坐标4(4,1),该点也在对称直线上；由直线两点式可整理得到结果.

【详解】设直线4关于直线4对称的直线为‘3,

3元一,-3=0X=1/、

由,得：\y_0,则点(l,o)在直线4上;

x+y—1=0

在直线4上取一点A(0,-3),设其关于直线12对称的点为A'(m,〃),

〃+3_।

m—4./、

则a，解得：',,即4(4,6

m+0n-3,„n=i

-------+---------1=0

22

v—1x—4

直线4的方程为：2一=——，即x—3y—l=0.

0-11-4

故答案为：x-3y-l=0.

15.在平面直角坐标系"少中，点A(l,0),8(4,0),若在曲线。：/一2依+丁2-4做+5a2一9=0上存在点

「使得|PB|=2|尸A],则实数。的取值范围为

【答案】-后-乎卜愕君

【解析】

【分析】根据题意，设P(x，y),分析可得若|P5|=2|B4|,则有(x-4)2+)2=4(x-1)2+4/,变形可得

炉+炉=4,进而可得P的轨迹为以。为圆心,半径为2的圆;将曲线C的方程变形为(x-a)2+(y-2a)2=9,

可得以(a,2a)为圆心，半径为3的圆；据此分析可得若曲线C上存在点P使得|PB|=2|巩则圆C与圆

始+9=4有公共点，由圆与圆的位置关系可得3-2«，用+4可42+3,解可得a的取值范围，即可得答案.

【详解】根据题意，设P(x，y),

22

若|PB|=2|B4|,即|PB|2=4幽2,则有(x-4)+/=4(x-1)My,

变形可得：/+V=4,

即P的轨迹为以。为圆心，半径为2的圆，

曲线Cx2-2ax+y2-4@+542-9=0,即(x-tz)2+(y-2a)2=9,则曲线C是以(a,2a)为圆心，半径

为3的圆；

若曲线C上存在点P使得|P8|=2|%|,则圆C与圆/+产=4有公共点，

则有3-2<7a2+4«2<2+3>即1W石同4，

解可得：-V5<«<--<«<V5-

55

即a的取值范围为：［—石，一旦U匹,V51；

故答案为［一石，一半］口［李，亚］.

【点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法

(D几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系.

(2)切线法：根据公切线条数确定.

16.在矩形ABC。中，AB=5BC=l,现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体O-A8C,则该四面体

7171

外接球的体积为;设二面角。一4C—8的平面角为仇当9在内变化时，8。的取值范围

为.

小4兀„Tv7阿

【答案】①.一②.—

3\_22

【解析】

【分析】分别过点8，。作BbLAC,DELAC,计算得到AO=OC=08=8=1,得到半径和体

，2「75'

积，根据DB=Q£：+EE+产B，计算。8e,得到答案.

【详解】如图1，分别过点B,。作3尸，AC,DEI.AC，垂足分别为F,E,

则在四面体ABC。中也满足_LAC,DELAC.

因为AB=G，BC=\,所以AC=2,DE=BF==昱,

22

则AE=C/=L,EF=L

2

在四面体ABC。中，三角形ABC和三角形。AC均为直角三角形，

设点。为AC的中点，如图2,连接OB,0D,则AO=OC=OB=OD=1,

即点。为四面体ABCD外接球的球心，则外接球的半径R=l，

44

所以外接球的体积V=—=—兀.

33

在四面体ABC。中，DB=DE+EF+FB，

因为二面角。—AC—8的平面角为仇且BE_LAC,DEIAC,

所以■和FB的夹角为兀-，，

所以I|2二(/DE+EF+FB\)2=DE2+EF2+FB2+2DEFB

\2

回(兀-6)=1•一geos6

+1+旦旦cos

,272722

因为y,所以DBe—,贝川。4£

47r一币而

故答案为：—

3

四.解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知ABC的三个顶点是A(-1,4),8(-2,-1),。(2,3)

(1)求边的高所在直线方程；

(2)_ABC的面积S

【答案】(1)x+y-3=0；(2)8.

【解析】

【分析】(1)根据两点求斜率可得原c=l，进而得出高的斜率匕=-1，由点斜式即可求解.

(2)求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出点A(-L4)到3c的距离，再利用两点间的距离

公式求出|8C|,利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】(1)设8C边的高所在直线为/,

3-(-1)-1

由题知kKC=——-=1则k,=—=-\,

，一(一2)KBC

又点A(—1,4)在直线/上所以直线I的方程为y-4=-lx(x+l)

即y-3=0

(2)8c所在直线方程为：y+l=lx(x+2)即x-y+l=O

1-1-4+11r

点A(-l,4)到BC的距离d=1+(二犷=2.2

又18ch2-2-+(—1—3)2=472

则SMC=L|BCR/」X4收x2收=8

22

18.如图，在平面四边形ABC0中，/。=|»，CD=屈,AACD的面积为等.

⑴求AC的长；

n

(2)若A5_LAD,4B=—,求3C的长.

4

【答案】(1)AC=3A/2(2)BC=3y[i

【解析】

【分析】(1)由三角形的面积公式求得4。=遥，再由余弦定理即可得到AC的长;

(2)由(1)可得NBAC=q,在AA3C中，利用正弦定理即可得8c的长.

【详解】(1)：/。=|〃，CD=瓜,A4CD的面积为孚

S..rn=-ADCD-sinD=-xADx46x—=^-

MCD2222

A£)=>/6

...由余弦定理得AC?=A。？+C02—2AO-C。.cos。=6+6—2x6x(—1)=18

2

/.AC=3^2

2

⑵由(1)知△ACD中AQ=后，CD=®ND=j

：.?DAC2

6

AB1AD,：.ZBAC=^

又=f，AC=3五

4

AC

.•.在AA3C中，由正弦定理得———

sinABACsinB

BC_3y[2

即逅=诋，,8c=3百

VT

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基

础题.

19.甲、乙两同学组成“星队”参加“庆祝中国共产党成立101周年”知识竞赛.现有A、8两类问题，竞

赛规则如下：

①竞赛开始时，甲、乙两同学各自先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；

答对的同学再从8类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束.

②若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于3个，则“星队”可进入下一轮.已知甲同学能

433

答对A类中问题的概率为一，能答对8类中问题的概率为一.乙同学能答对A类中问题的概率为一，答对

544

2

8类中问题的概率为;.

（I）设“甲答对o个，1个，2个问题”分别记为事件4、4、4,求事件4、4、4的概率；

（2）求“星队”能进入下一轮的概率.

113

【答案】（1）P（4）=,P（A）=g，P（4）=《

⑵*

【解析】

【分析】(1)利用对立事件的概率公式可求得P(4)的值，利用独立事件的概率公式可求得P(4)、)

的值：

(2)设“乙同学答对1个、2个问题”别记为事件用、计算出尸(耳)、(男)的值，利用独立事件

B2,P

和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【小问1详解】

43

解：甲同学能答对A类中问题的概率为一，能答对B类中问题的概率为一，

54

414

・•.P(4)=I-K，m)=-xp=x

DDJr^)?rr

【小问2详解】

解：设“乙同学答对1个、2个问题”别记为事件与、B2,

乙同学能答对A类中问题的概率为二3，答对8类中问题的概率为2;.

43

4P3)=泊［

设事件。表示““星队”能进入下一轮”，

p(c)=p(”2)+©)+p(4耳)=3)+A?)尸(即+p(&)

P(P(A)PP(P(B2)

11313111

=——X1X1X—=,

52545220

故“星队”能进入下一轮的概率为1.

20

20.已知点P(2,2),圆。：/+/一8)，=0,过点P的动直线/与圆C交于A,3两点，线段