2023-2024学年广东省广州市高一年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年广东省广州市高一上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.若4={兄2*<4},fi={xeN|-l<x<3},则AB=（）

A.{A|-1<x<2}B.{0,1}C.{1}D.{A］-1<X<3}

【正确答案】B

【分析】解不等式求出集合A,列举法写岀集合B,由交集的定义求AcB即可.

【详解】由2*<4,得x<2,所以A={Mr<2},又8={0,1,2}

所以Ac3={0,1}

故选B.

2.命题“也>0/2一%40"的否定是（）

A.>0,x2-x<0B.lv>0,x2-x>0

C.Vx>0,x2-x>0D.Vx<0,x2-x>0

【正确答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.

【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以命题"”>0,12一%40”的否定为：“上>0,丁7>0”.

故选：B.

3.已知a=ln2,b=（丄）,c=ln-1>则（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>b>aD.b>a>c

【正确答案】D

【分析】由对数函数与指数函数的单调性求解即可

【详解】因为lnlvln2<lne,］丄）>［丄），lngvlnl,

所以a=ln2（丄）>l,c=ln^<0

所以。>“>c.

故选：D

4.基函数y=〃x)的图象过点(2,0),则函数y=x—4X)的值域是()

A.(F+OO)B.卜8,；)C.一；,+8)D.(-；,+8)

【正确答案】C

【分析】设/(x)=/,带点计算可得〃x)=/，得到y=x_/，令转化为二次函数

的值域求解即可.

【详解】设"x）=泳,

代入点（2,0）得2、及

1

a=—

29

2

.-.y（x）=x2

贝Ijy=x-/，令/=/，Z>0

函数y=x—/(x)的值域是-；,+8

故选：C.

5.已知函数y=f(x)的图象与函数y=2’的图象关于直线y=x对称，函数g(x)是奇函数,

且当x>0时，g(x)=/(x)+x,则g(-4)=()

A.-18B.-12C.-8D.-6

【正确答案】D

【分析】首先根据题意得到/(x)=log2X，再根据g(x)的奇偶性求解即可.

【详解】由题知：/(x)=log2x,所以当x>0时，g(x)=log2x+x,

又因为函数g(x)是奇函数，所以g(-4)=-g(4)=—(log24+4)=-6.

故选：D

,,/、f—x+2,X<1,

6-已知函数仆）=_-配工」在R上单调递减,则"的取值范围为（）

A.B.（—2,1）C.［—2,+oo）D.2）

【正确答案】A

【分析】由已知可得关于。的不等式组，求解得答案.

【详解】当工<1时，/（x）=—x+2单调递减，且/（同£（1,啓）

当工.1时,/（同=一^2+2依一3〃单调递减，则4,1,

,、|-x+2,x<1,

因为函数“加3+2『351在口上单调递减,

所以匕+2i,解得一2黜L故儀的取值范围为卜冽.

故选：A.

7.已知角。的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，将角8的终边按顺时针方

向旋转:后经过点M（3,l）,则sin?e+sin2e=（）

84-21

A.-B.-C.~D.—

5533

【正确答案】A

【分析】根据角的旋转与三角函数定义得lan紡-今=:，利用两角和的正切公式求得tan。,

43

然后待求式由二倍公式，“1”的代换，变成二次齐次式，转化为tan。的式子，再计算可得.

【详解】解：将角。的终边按顺时针方向旋冗转;后所得的角为71因为旋转后的终边过

44

点M（3,l）,所以tan］。-：）］,

「/、-1tan（8—兀］+tan兀丄+1

所以tan'=tan［=-----#一~-=2-

K4丿4」…"临兀

I4丿43

sin20+2sin^cos0tan26>+2tan6>22+2X2_8

所以sin?6+sin20=

sin2e+cos20tan2/9+l22+l-5,

故选：A.

8.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减（称为衰减率），。与

死亡年数r之间的函数关系式为P=g広（其中。为常数），大约每经过5730年衰减为原来的

一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物岀土时碳14的残余量约占原始含量的

75%,则可推断该文物属于（）

参考数据：log20.75«-0.4

参考时间轴：

-475-221-20202206189079601279公元2021年

H——I------1-I~I-------1——H-I------------------*

战国汉唐宋

A.宋B.唐C.汉D.战国

【正确答案】D

【分析】根据给定条件可得函数关系P=（丄产3。，取P=0.75即可计算得解.

2

【详解】依题意，当，=5730时，P=p而尸与死亡年数f之间的函数关系式为尸=（；）：,

则有5=（1丁，解得a=5730,于是得P=；『3。丿>0，

当P=0.75时，（丄）两=0.75,于是得：=log,0.75=-log,0.75=0.4,解得

23/JUj

r=5730x0.4=2292,

由2021-2292=-271得，对应朝代为战国，

所以可推断该文物属于战国.

故选：D

二、多选题

9.下列选项中，正确的是（）

A.函数/（x）=a“J2（。>0且awl）的图象恒过定点（1,—2）

B.若不等式以2+旅+3>0的解集为{x|-l<x<3},则a+A=2

2

C.若〃2>2«,则「“TneN,n<2"

D.函数/（x）=lnx+x-2恰有1个零点.

【正确答案】CD

【分析】对A：根据指数函数的图象与性质即可求解；对B：根据一元二次不等式的解法即

可求解；对C：由特称命题的否定为全称命题即可求解；对D：由函数零点存在定理即可求

解.

【详解】解：对A：函数“0=戸-2(a>0且"1)的图象恒过定点(1,-D,故选项A

错误；

对B：若不等式ax?+bx+3>0的解集为{x|-l<x<3},则”<0,且-1和3是方程

ax1+/?x+3=0的两根，

h

—=—1+3

所以“，解得。=78=2,所以。+8=1,故选项B错误；

-=-1x3

.a

对C：若p：mneN,〃2>2",则n2<2",故选项C正确；

对D：易知函数/(x)=lnx+x-2在(0,+功上单调递增，又/⑴=lnl+l-2=-l<0,

/(2)=ln2+2-2=ln2>0,所以由函数零点存在定理可得存在唯一七e(l,2)，使/(%„)=0,

所以选项D正确.

故选：CD.

10.下列函数中，最小值为2的是

A.}>=x2+2%+3

B.y=e*+e-*

c12兀)

C.y=sinx+--,xe0,-

smxI2J

D.y=3x+2

【正确答案】AB

对A,根据二次函数的最值判定即可.

对B,利用基本不等式判定即可.

对C,利用基本不等式判定即可.

对D,根据指数函数的值域判定即可.

【详解】对A,y=/+2x+3=(x+iy+222,当且仅当％=-1时取等号.故A正确.

对B,y=5+e-22Je匚e-=2,当且仅当x=0时取等号.故B正确.

对C,y=sinx+—!—>2,/sinx-——=2.取等号时sinx=—,又0,三］故不可能成立.

sinxVsin尤sinxI2丿

故C错误.

对D,因为y=3*>0,故y=3*+2>2.故D错误.

故选：AB

本题主要考查了函数最值的运算,属于基础题.

11.设则下列不等式中正确的是()

A.a2>b~B.丄C.—I—>2D.IGI<-b

11

abah

【正确答案】AC

【分析】根据不等式的性质，结合基本不等式判断AC；举反例判断BD即可

【详解】对A,因为。<匕<0,故网，故。2>从,故A正确；

对B,取。=-21=-1,则一2<—1<0,但丄；>丄，故B错误；

-2-1

对C,因为a<b<0,故2,告>0故纟+匪=2,当且仅当a=b取等号，因为a<6<0,

abab\ab

故纟+f>2,故C正确；

ab

对D,取。=-2,6=-1,贝”《>一/7,故D错误：

故选：AC

12.设函数/(x)=」2集合M={x/(x)+2〃x)+k=0MeR},则下列命题正

确的是()

A.当％=0时，"={0,5,7}

B.当人>1时M=0

C.若〃={a,6,c},则&的取值范围为(-15,-3)

D.若A7={a,b,cM}(其中a<〃<cy"),则2"+2“+c+d=14

【正确答案】ABD

【分析】A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、

D画出/(x)的图象，令y=r(x)+2/(x)+A:根据二次函数的性质及所得/(x)的图象判断正

误即可.

【详解】A：k=0时，知=口"(刈=0或/(力=-2},结合解x)解析式:〃x)=0时有兀=0或

x=5,/(x)=-2时有x=7,所以M={0,5,7},正确；

B：%>1时，方程/2(x)+2/(x)+Ar=0无解，则M=0,正确；

令y=f2(x)+2f(x)+左，开口向上且对称轴为/(x)=-l,

若知={。力,可，贝必=4一软>0,即％<1,有以下情况：

1、/(x)=w(l<m<3),/(x)=n(n<0)：

此时，令8。)=/+21+&,则g(x)在xe[l,3)上有一个零点,

g⑴g(3)=(k+15)(A+3)40

../g(3)w0,可得一15<24-3,

k<\

2、/(x)=0,f{x}=-2,由A知.％=0

综上：^G(-15-3]U{0},故C错误；

若河={a力,c,d},由函数y的性质及/(x)图象知：必有/(工)=机(()<"?<1),

f(x)=n(-2<n<-3).

止匕时，2ll-l=-(2h-l),/(c)+/(d)=—c+5+(—"+5)=—2,

所以2"+2%=2，c+”=12,所以2"+2"+c+d=14,故D正确.

故选：ABD

关键点点睛：C、D选项中，画出Ax)大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合M对应

的/(x)的可能取值，再结合图象判断正误.

三、填空题

:吆/),2,则制止

13.函数〃x）=

【正确答案】3

首先求出/(l)=l+log33=2,再将2代入对应的解析式即可求解.

貝吃一小＜2,所以〃])="电3=2,

【详解】由,f(x)=

所以/[7,⑴]=/（2）=3"=3,

故3

本题考查了求分段函数的函数值，属于基础题.

1,则sina的值为.

14.已知siv4

【正确答案】由二2二

6

【分析】根据两角和的正弦公式即可求解.

15/32x/21V3+2V2

=—X-----F------X—=------------

32326

故答案为.百十2竝

6

4

15.已知扇形的半径为2,面积为万，则扇形的圆心角的弧度数为

2

【正确答案】-7T

【分析】根据扇形的面积公式，即可求解.

【详解】设扇形的圆心角的弧度数为a

1c42

S扇形=5々-2一=§]，解得＜7=§乃

故答案为:2乃

3

本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题.

16.已知关于x的方程sinx+8sx+2sinx-cosx-1+。=0在］。尚有解，则〃的取值范围是

【正确答案】［-3,0］

【分析】^rlM^^^J-6z=sinx+cosx+2sinx-cosx-l,然后研究函数

f(x)=sinx+8sx+2sinx.8s1在陷上的值域即可

【详解】解：由sinx+cosx+2sinx-cosx—1+。=0,得一a=sinx+cosx+2sinx-cosx-I,

令/(x)=sinx+cosx+2sinxcosx-l,

令£=sinx+cosx=&sin(x+?),

因为xe(0,],所以x+?e](,子,所以竝sin(x+.)e[l,0],BPZe[l,V2],

因为2sinxcosx=(sinx+cosx)2-1=*-1,

所以函数/(x)可化为y=r+r-2,f,

该函数在［1,应］上单调递增，所以04y4夜,

所以04-a4亚，所以-竝4a40，

所以。的取值范围是［-应,0］,

故［-嫗,0］

四、解答题

17.计算：

2

⑴頃)116"+K°-Vi25；

⑵21g4+1g。+log25-log.,4+e3ln2,

o

【正确答案】⑴

4

⑵11

【分析】(1)利用指数的运算性质计算可得所求代数式的值;

（2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值.

_2

34

【详解】（1）解：原式=-（2）5+1-5=1-2-4=-^.

（2）解：原式=恒（4隈）普.含+（e叫=1+2+8=11.

I8丿In21n5'7

,2

18.已知函数〃回=后.

⑴证明函数f（x）在（-1,一）上是减函数；

（2）求xe［0,3］,“X）的值域.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）g，2

【分析】（1）利用单调性的定义，采用作差法进行证明；

（2）利用函数的单调性求其值域.

【详解】（1）任取X|、％2«-1,+00）,且玉<X?,

则〃为）-〃々）=工^目=2（；7占）

X+1X）+1（尤］+1）+1）

因为-1<%<马，所以占+1>0,x2+1>0,x2-xt>0,

所以湍為即/㈤"㈤，

所以函数/（X）在（-l,y）上是减函数.

（2）由（1）的证明知，函数/（x）在（T,e）上是减函数.

因为［0,3仁（T”），

所以函数/（x）在［0,3］上是减函数.

所以函数“X）在［0,3］上的最大值是"0）=2,最小值是〃3）=g,

所以函数/（x）在［0,3］上的值域是^,2.

19.已知函数/（x）=2应cosxsin［x+f.

⑴求了图的值及"X)的单调递增区间：

TT

⑵求在区间0,-上的最大值和最小值，以及取最值时X的值.

【正确答案】(1)1,“^~+上］、鼻+卜兀,kwZ

_oo

(2)x=J时，f(x)有最大值0；x=J时，/(x)有最小值T.

o2

【分析】(1)将/(x)化简为/(x)=>/5sin(2xH—),解不等式---F2ATZ啜©xH——卜2k兀，

4242

keZ,即可得函数的单调递增区间；

(2)由xe[0,g],得2x+Je[J，¥],从而根据正弦型函数的图象与性质，即可求解函数的

2444

最值.

【详解】(1)解：因为/(2)=2应cos工sin工一1=2垃x也xl-l=l,

4422

f(x)=2&cosxsin(x+^)-1=272cosx•sinx+孝cosx)-1

=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=V2sin(2x+—),

4

令一工+22超2x+工—4-2k7r,keZ,得一网+Z超/—+k7rfkwZ,

24288

所以f(x)的单调递增区间为1-寿+氏《+女/,丘Z；

oo

(2)解：因为阖r所以f融x+f学，

2444

所以-也無in(2x+为1,

24

所以-掇jy^sin(2x+&)5/2,

4

当2x+E=J,即x=?时，f(x)有最大值夜，

42X

当2x+1=苧，即x=g时，/(x)有最小值T.

442

2sinf--+3cosfx-—1

20.已知(2丿(2丿，且f(cx)=——(0<a<冗).

T(X)=5

4sin(2022»+x)-cos(2023^+x)

⑴求。；

1IF

(2)若sin/?=§,Q</3<-,求cos(2a+2.)的值.

【正确答案】（l）a=；TT

【分析】（1）根据三角函数相关公式化简求解;

（2）根据三角恒等变换化简求解.

【详解】（1）解:

4sin(2022^-+x)—cos(2023万+x)

2cosx—3sinx2-3tanx

4sinx+cosx4tanx+1

,”、1小、/口2—3tancc1,

由/(a)=一=(。<a<%),得^--------=-->解得tana

兀

又0<a<乃，所以a二一.

（2）解：若sin〃=；,0</?<p则cos/?=Jl—=竿，

因为tana=1,又0<av/r,所以sina=cosa,

2

fifrl'l/Jn-n&2竝A/214-

m以cos（a+/?）=cosacosp-smasinp=—x--------------x-=----------，

23236

所以cos（2a+2月）=Zcosla+夕）-1=2x-———]-1=-

（6丿9

21.为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电

动观光车的费用是每日120元.根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动

观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出的电动观光车就增加2辆.为了

便于结算，每辆电动观光车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收

入必须髙于这一日的管理费用，用y（元）表示出租电动观光车的日净收入（即一日出租电

动观光车的总收入减去管理费用后的所得）.

⑴求函数y=f（x）；

（2）试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

60x720,34x45,xeN

【正确答案】（i）y=

-2f+70x-120,5<x433,xeN*

（2）当每辆电动观光车的日租金定在17或18元时，才能使一日的净收入最多.

【分析】（1）一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得即为净收入，根据题意建

立函数关系即可.

（2）根据函数解析式，利用一次函数、二次函数、分段函数，求出最值.

【详解】（1）当xW5时，y=60x-120,令60x—120>0,解得x>2,

xeN",/.x>3,34x45,xeN*，

当x>5时，y=［60-2（x-5）］x-120=-2x2+70x-120,

令-2/+70犬-120>0,其整数解为：24x433,xwN",

所以5<x433,xeN'>

,［60x-120,3<x<5,xeN"

所以y二〈

［~2x2+70x-120,5<xW33”N"

（2）对于y=60x-120,34x45,xeN*,显然当x=5时，珀”=180元，

对于y=-2x2+70x-120,5<x<33,xeN",

因为>=-2（x-17.5）2+492.5,

所以当x=17或18il寸，%叱=492元，492>180,

.•・当每辆电动观光车的日租金定在17或18元时，才能使一日的净收入最多.

22.对于在区间［"［,〃］上有意义的函数，（x）,若满足对任意的巧，x2&［m,n］,有

-八W）|41恒成立，则称fM在［m,网上是“友好”的，否则就称fix）在的,n］上是“不

友好”的.现有函