浙教版初中数学教案八年级下第一章 二次根式

1.1二次根式

【教学目标】

1.经历二次根式的性质=<3(a>o),4a'=a

=o(tz>0)的发现过程，体验归纳，猜想的思想方法

<

-a{aY0)

2.了解二次根式的上述两个性质.

3.会运用上述两个性质进行有关的计算.

【教学重点、难点】

A重点：本节的重点是二次根式性质：Q/£)2=〃(aN0),

=

[-Y0)

a|=13。)

a难点：-

-a(aY0)

【教学过程】

一、引入新课

2的平方根是什么？什么数的平方是2?(+A/2)

1)提问:

得至U：（V2）2=2（-V2）2=2

2)提问：(V7y=?

选三个中下游的学生回答，教师鼓励学生大胆发言。

新课讲授

1、由上面的提问得到什么样的结论？(JZJ=。

2、那么对于上面的性质，a能小于0吗？(不能，a必须大于等于0)

3、提问：VF=?|2|=?J（-5y=?卜5|=?

V07=?|0|=?

请几个中游的学生回答。（2,2；5,5；0,0）

4、议一议：而与有什么关系？当a>0时，而=?当a<0时,

A/^=?

经学生讨论后，指定一名学生（程度中下）回答，再指定一名学生（程度较好）点评。

a（a

教师总结：4a"=\d\=\^-°）

[-Q（"0）

5、提问：J（—7）2=？匚»=?J（万一3）2=?

三、讲解例题

例1、计算

⑴7（-10）2-（715）2

（2）[72-7（-2）2]«72+272

按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学，问题设计：

1）应用哪一个性质？具体怎么算？

2）计算顺序应该怎样？

第一题选择中下游学生回答，第二题选择中上游学生回答。

教师总结：计算时应看清符合哪一个性质？a是大于0还是小于0?

练习：1）（-

2）（26）。_7（2^7+'（&_1）2

例2计算_2

对于此题，学生可能会先算括号里的，讲解时可以把两种方法作比较，以体现二次根式的性

质。；（3_2了=_3+2的优点。在这里应强调判断中a的符号。

由学生独立完成解题过程，指定一名中等水平的学生板演。老师点评板演结果。

完成课本裸内练习”

四、小结

师生共同完成：通过今天的学习，你有什么收获或困惑？

五、布置作业

课本作业本

1.2二次根式的性质

【教学目标】

i.探索二次根式的性质的由来，体验归纳、类推的思想方法.

2.会用二次根式的性质进行简单的计算和化简.

【教学重点、难点】

A重点：二次根式的积和商的性质.

A难点：例3中（4）及探究活动涉及的较复杂的化简过程与技巧.

【教学过程】

一、引入新课

动手做一做：填空（可用计算器计算）：

（1）血又®=_；

(2)___________44x5=__,V?x>/5=

9

(3)

16一一‘屈一

(4)

2万一

比较每一组左右两边的等式，结果相等吗？多试几组类似的计算，想一想能否推广

到一般形式？如果能，请用字母表示你发现的规律。

二、新课讲解

1、一般地，二次根式的积与商的性质：

积的性质：4ab=4a-y/b(a>0,b>0);

[a_4a

商的性质:(a>0,b>0)

2、性质深化：

练习：判断下列等式是否成立？若不成立，请说明理由并改正:

(1)J(~"4)x(19)-4xA/-9；

（2）、色=4=2（a为任意实数）

Va

解：（1）不成立。因为被开方数不能为负，口、"无意义。

改正：^（^）x（-9）=736=6.

（2）不成立。因为a作为分母不能为零，所以a不能为任意实数，即a的取

值范围是不等于零的任何实数。

3、讲解例题:

5

例3化简：(1)7121x225；(2)"x7；(3)

解：(1)7121x225=7121x7225=11x15=165；

(2)x7=x币=4yjl；

\9=>=T

注：①一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一

个自然数，且自然数的因数中，不含有除1以外的自然数的平方数。

②被开方数为带分数时，还要先化为假分数再利用性质化简

练习：

1>化简：6025x4；(2)70.01x0.49；⑶律1

例4先化简，再求出下面算式的近似值(精确到0.01)

(1),(-18)x(—24)；(2)(3)70.001x0.5

解：(1)J(—18)x(—24)=72x9x3x8=<展x乎=亚x疗=12退=20.78；

(3)

=71O-3xlO-1x5=710^x5='(10-2)2X75=10-2X6=0.01有«

0.02

总结：

化简的结果要求：①根号内不再含有可以开方的因式；②根号内不再含有分母

练习：先化简，再求出下面算式的近似值:

|（结果保留4个有效数字）;

(1)5

31

⑵----(精确到0.01).

53

三、探究活动：

化简下列两组式子:

你发现了什么规律？请用字母表示你所发现的规律，并与同伴交流。

请再任意先几个数验正你发现的规律。

四、小结：

师生共同完成：通过今天的学习，你有那些收获或困惑？

五、布置作业

见作业本

1.3二次根式的运算（1）

【教学目标】

i.了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的.

2.会进行简单的二次根式的乘除运算.

【教学重点、难点】

A重点：本节教学的重点是二次根式的运算法则.

A难点：例1第（3）题和例2的计算过程中涉及多种运算和运算法则,

是本节教学的难点。

【教学过程】

设计学生

教师活动教学内容

意图活动

［、二(八)=〃，(<7>0)进一自由

次根步梳口答

Va2二|a|

式有理和默写

哪些4ab=4a-4b,(a>0,Z?>0)巩固

性4a-4b=4ab^(tz>0,/?>0)已生

质。成的

知

识。

2、怎化简下列二次根式：体验自愿

样化性质上来

瓦，3A，，V48

简二与公板演，

次根式的其他

回

式。准确自己

顾

运做。

用。

3、怎体验自愿

Va9xVio,

样计分别上来

算？化简

Taos板演

是否的复其他

F

有简杂。自己

便方观察做

法？是否

有简

便方

法。

教师书写二次根式的运算1（乘除运算）

课题

设计学生

教师活动教学内容

意图活动

4、引

导、

启发

把二

次根

式的体验

Jax4b=4ab(a>Q.b>0);

乘除二次

性质根式

公式的乘

观察

左右除运

与思

交换VO9xV10=V0.9xl0=3算法

考

则的

下。W3发现

7厚=W.oi=o.i

概括过

新V31

二次程。

课

根式

讲

的乘

解

除运

算法

则。

例1计算

⑴0X后⑵舄⑶/产厂

(1),(2)

V3V10V1.3xl09

规范题两

5、出

(2)中被开方数是带分数要先化成假分，运算结果书写位学

示例

3后不能写成后或1.5"知道生板

1

22运算演。领

解：(3)程序悟与

练习

原式=J5.2xlQ7_pT_2_1

1.3xl09-VW7-10-5

会正学生

6、学

迁先做，

课生完

移，后挑

堂成解

课本12页课内练习第1、2题领悟选部

练题后

方法分屏

习出示

与步幕展

答案

骤示

对具

7、乘体的自由

除运计算回答

(1)运用法则，化归为根号内的实数运算；

算的题会问题，

(2)完成根号内相乘、相除(约分)等运算；

一般先设观察

(3)化简二次根式

步计计与总

骤。算程结

序

8、屏(1)作则

幕显BD=CD=-BC=-x272=72

示例22

计算

2,帮(2)由勾股定理算出AD

正三

助学讨论，

ADAC2-CD2=7(2A/2)2-(V2)2=J8—2=后角形

生审自由

的面

题。回答

积得

(3)路标的面积问题。

先算

S=-XBCXA£>=-X2V2XV6=712=2A/3(平方单位)高。

22

说明计算结果能化简的，则应化简。没有精确度要求，结果用

化简的二次根式表示。

课9、学课本12页，课内练习3o形成自由

内生完整体至U黑

练成解题板上

习后，思解题。

出示路。其他

答案自己

做。

课10、①二次根式的乘除运算法则。帮助自由

堂问：4ax4b=4ab{a>0,b>0);学生回答。

小这一梳理

鲁佛…b>0)

结节课知识

学习理解

了什②被开方数是带分数要先化成假分。数学

么③规范书写。如3板不能写成1工友或1.5匹的应

22用价

④二次根式的简单应用——三角形面积算法。值

布置作业完成课本作业第13页(做在A本上)和作业本(1)

1.3二次根式的运算（2）

【教学目标】

i.会进行简单的二次根式的四则混合运算.

2.通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用，体验迁移、化归等数学思想.

【教学重点、难点】

A重点：本节教学的重点是二次根式的四则混合运算.

A难点：例3的计算思路的形成比较困难是本节的难点.

【教学过程】

一、课题引入

19

计算2a-----a------a

33

并回答问题：

1.你是应用什么知识解决上面的计算？（学生回答后，教师板书解题过程

c12小12、

2a—〃—u—（2---------—d

3333

2V2--V2--V2=（2----）V2=V2

2.上题中的a若用12替代，即：3333你

认为运算是否正确？（答案是肯定的）

K教师归纳》我们发现整式中的合并同类项法则在二次根式的运算中也适用.

猜想：那么整式中的其它运算法则或运算律或运算次序是否也适用于二次根式的运算呢？

（教师作肯定回答后）导出课题：二次根式的四则运算.

二、进行新课

1.复习回忆：整式中的有关法则、运算律、运算次序.（通过复习对例3的计算思路的

形成有所帮助，一定程度上降低了例3的教学难度）

2.举例分析：

例1.先化简，再求出近似值（精确到0.01）

启发提问：⑴这是一题二次根式的什么运算？能否适用合并同类项的方法进行合

并？（学生会做出否定回答）

⑵上面的二次根式是否还可以化简？请同学们试一下.然后再回答提问

（1）（最后教师板书解题过程）

归纳：⑴二次根式加减之前,应先化简二次根式;再把所含二次根式完全相同的

合并成一项.

⑵在二次根式加减（或其它运算）时，把根号前的乘数看作它的系数.

如中2新的2就看作、同的系数

牛刀小试：先化简，再求出近似值（精确到0.01）

_，^^一'|厄).

例2.计算：

(1)727-376x272

(J3V§)•V6

⑵V8

(3)(V48-V27)-V3

启发提问：⑴第⑴题有哪些运算?次序怎样?系数-3和2如何处理?(可以仿照整式中的单

项式相乘法则，处理系数)

⑵第⑵、⑶题可否用运算律？

⑶第⑴、⑵题能否先做括号内的？(教师板书解题过程)

学以致用：计算：

-724-273x72

(1)2.

V3(1--J15)—3J—

⑵V5.

例3.计算：

(1)(2V2-3V3)(3V3+2V2).

(2)(2-72)(3+272).

提问：⑴这两题的计算与整式中的什么运算相近？

⑵第⑴题又有什么特征？(教师板书解题过程)

巩固练习：计算：

⑴(l+V2)(2-72)_

⑵(3舁5回2.

三、课堂小结

1.整式中的各运算法则、运算律各运算次序在二次根式运算中

也能适用.

2.二次根的加减运算时，应先化简二次根式;然后合并二次根式完全相同的.

3.含有二次根式的代数相乘，可以把它看作多项式相乘，运用多项式乘法法则和乘法

公式.

4.适当运用运算律简便计算.

四、加深印象

1.计算下列各题：

(3727-6心-(8JO.125-6拈)

⑴

⑵

⑶(V3-1)2-(2A/3)2

2.P14课内练习第4题(选用)

五、布置作业

见作业本1“3・2节；回家作业课本中作业题1、2、3、6.

1.3二次根式的运算（3）

【教学目标】

i.会应用二次根式解决简单的实际问题，掌握坡比的意义.

2.进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.

【教学重点、难点】

A重点：本节教学的重点是二次根式及其运算的实际应用.

A难点：课本上的例7涉及多方面的知识和综合运用，思路比较复杂,是本节教学的难点.

【教学过程】

一、导言

二次根式的知识在实际生活中有广泛的用途.

如图，我们规定斜坡的铅直高h与水平长度