2023-2024学年山东省济宁市高一年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年山东省济宁市高一下册期中数学模拟试题

一、单选题

1.若sina=@,则cos2a的值为（）

2

A.yB.-yC.1D.73

【正确答案】B

【分析】由二倍角的正弦公式代入即可得出答案.

【详解】因为sina=立，所以cos2a=1-2sin2a=l-2x立=1-2x—=—.

2I2J42

故选：B.

2.cosa-tana<0,则角a的终边在（）

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限

【正确答案】C

【分析】根据三角函数在四个象限的符号即可求解.

【详解】因为cose-tana<0,所以cosa,tana在所在的象限一正一负，

所以角a的终边在第三、四象限.

故选：C.

3.已知向量£,与不共线，若羽=々+25，BC=-3a+7b<CD=4a-5b，贝U（）

A.A,B,C三点共线B.A,B,。三点共线

C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线

【正确答案】B

【分析】利用向量的线性运算、向量的共线的充要条件进行求解判断.

【详解】对于A,因为方=3+4，BC=-3a+lb^

若4,B,C三点共线，则存在实数2使得荏=2元，

[1=-32

则、「‘无解，所以4B,C三点不共线，故A错误；

[2=7z

对于B,"：AD=JB+BC+CD^a+2b-3a+1b+4a-3）^区+%一，

：.AD=2（a+2b）=2AB,又是公共点，：.A,B,。三点共线，

故B正确；

对于C,因为;^=£+29，RC=-3a+lb>所以配=-2)+/，

若4C,。三点共线，则存在实数力使得刀=4而，又丽=4£-5知

[-2=44

所以c一，无解，所以/,C,。三点不共线，故C错误：

[9=-jz

对于D,若B,C,。三点共线，则存在实数义使得及=彳丽，

________,[-3=42

又8c=-3a+7b，CD=4a-5b，所以J一，无解，

[7=-5/

所以8,C,。三点不共线，故D错误；

故选：B.

4.已知点4(7,2),B[2,y),向量方=(2,1),若万，G,则实数y的值为()

17

--C7D

A.2B.2

【正确答案】D

【分析】由垂直向量的坐标表示求接即可得出答案.

【详解】因为4(7,2)，8(2)),所以荏=(3,y-2),向量方=(2,l),

若而J.1,贝!|/8・d=3x2+y-2=0,

解得：y=-4

故选：D.

5.已知在中，力8=3,JC=4,BC=M，则万•赤=()

317C173

A.——B.——C.—D.-

4224

【正确答案】B

【分析】利用余弦定理求出cosC,再根据数量积的定义计算可得.

【详解】在中由余弦定理1=/+/一为bcosC,EP32=(VW)"+42-2xVTbx4cosC,

17

解得c°sC=丽'

所以=(兀一(7)=_阿|便卜08c=_*^0x-!^==--.

8,v102

故选：B

-----1—»——»5——►

6.如图，在中，NC=AAC^直线AM交BN于点、Q,若BQ”BN,

贝"=()

A

BMC

32「21

A.-B.-C.-D."

5533

【正确答案】A

UUUUUULUUL

【分析】由4/,。三点共线可得存在实数〃使得8。=〃8"+(1-〃)山，再由4MC三点

4UUITqUUIT3

共线可解得〃=方，利用向量的线性运算化简可得NC=：/C,即a=：

【详解】根据图示可知，4加，0三点共线，由共线定理可知，

ULUUUULUUL

存在实数〃使得BQ="BM+(1)84,

uuur1uuruur5uuurSuuiriuuruur

又BM=QBC,BQ=：BN,所以;BN=a〃BC+(l—4)B4,

又4MC三点共线，所以15=+1一”，解得〃;擀14，

uuur?uurquirzuuruuur、ozuuruuu\luir

即可得=+所以(8Z+ZN)=W(8/+ACy^BA,

__2___uuruuur?uuurtor3uuur

所以/N=g/C,^AC-NC=^AC,可得NC=1/C,

3

又NC="C，即可得八小

故选：A

7.在“8C中，a,b,c分别为43,C的对边，”后，c=3,且2absinC=7i(〃+。2-*，

则^ABC的面积为()

A.巫B.373C.6D.6也

2

【正确答案】B

【分析】根据正弦定理，余弦定理求出4,"利用三角形面积公式求解.

【详解】•­,2absinC=y/3(b2+c2-a2),

2absin。_小+犬一修

2bc2bc

c

由正弦定理可知，sin/=6cosN,

即tan/=6,所以4=?,

由余弦定理13=32+/-2x3bcos乙,

3

解得8=4（负值舍），

故三角形面积为sinA=—x4x3x—=36>

222

故选：B

8.已知函数〃x）=sin（ox+g）（o>0）是在区间信,当上的单调减函数，其图象关于直线

IIX36J

X=-七IT对称，且/（X）的一个零点是》=考7兀，则。的最小值为（）

A.2B.12C.4D.8

【正确答案】C

【分析】根据函数/（X）的对称轴得。=36。-18-36而，利用函数/（x）在（1,工）上单调

递减得12（2%-"）4346（2左-〃+1）,再结合函数/"）的零点求解即可.

【详解】因为函数/（x）=sin（g+*）的图象关于直线》=-刍对称,

36

〃⑶所以+畀小，

所以+。=—+〃兀，HGZ,

362

」E3兀57r口兀5(071啰兀5。兀

根据77<x<。，则<ox<,所以；^+e<0x+9<-^+s，

183618361836

兀5兀

因为/（X）=Sin（的+°）是在区间上的单调减函数.

(OTI、兀-,.〜

---F02—F2ZTT,kwZ

182

所以

5G)TI,3兀...〜

——F9«--F2左兀,k£Z

362

(OTI(1co、、兀7

——十—d----\-n兀>—+2阮，neZ,kGZ

181236J2

5am1CD

--------4-—+---1-77|兀+2kit,neZ,keZ

36236

CD(1CD1“z/7

---F—H----\-n>—+2Zr,nEZ,左eZ

181236---)2

即《

5刃Jlco3,_.",7

---F—ItHz7|W—+2左，nEZ,kwZ

361236)2

解得12(2%-〃)4046(2左一〃+1),«€Z,keZ,

因为<y>0,所以2%—〃=0或2左一〃=1,

当2/-〃=0时，0<(w<6,当2左一”=1时，12<G?<12；

由于=且/(x)的一t个零点兀，

18723672

771

所以0*五+夕=(2"1+1)兀，zneZ,

所以<vx+(万+^^+〃)兀=(2机+1)兀，meZ,neZ,

即@=8(2"L〃)+4,weZ,neZ.

根据0＜。46或1240412,可得。=4,或。=12,所以0的最小值为4.

故选：C.

二、多选题

9.已知函数/(x)=涧皿口》+夕)(其中力＞0,刃＞0,|同＜])的部分图像，则下列结论

A.函数〃x)的图像关于直线x=*对称

B.函数“X)的图像关于点(-5,0)对称

C.将函数/(x)图像上所有的点向右平移9个单位，得到函数g(x)，则g(x)为奇函数

6

D.函数“X)在区间-全TF五TT上单调递增

【正确答案】ACD

根据函数图象求得/(X)解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选

项.

【详解】由图象得函数最小值为-2,故”=2,

T1nn兀缶e2%c

—--—=—,故7=%，<»=—=2,

41234T

故函数/(x)=2sin(2x+(p),

又函数过点(普,-2),

777TT

M[2sin(2x—=-2,解得0=f+2br,keZ,

又刨<]，即3=2，

故/(x)=2sin(2x+y),

/(x)对称轴：2n———卜k7v,kwZ,解得;r=1---,keZ,当％=0时，x=—,故A

3212212

选项正确；

/(x)对称中心：+—=kTt,kGZ,解得工=一二+~^—,keZ,对称中心为

362

(-9+"，°)，4eZ,故B选项错误；

62

函数/(X)图像上所有的点向右平移5个单位，得到函数g(x)=2sin2x,为奇函数，故C

6

选项正确；

“X)的单调递增区间：2X+|G[-|+2^,|+2^],AGZ,解得

xe[———+k7r,—+k7r]ykGZ,y^[--,—]o：[-——+k7ry—+k7r],kGZ,故D选项正确；

故选：ACD.

10.在A/8C中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论错误的是()

A.若/+c2_/>o,则A/8C为锐角三角形

B.若4>8,贝!Jsin/>sin5

C.若sin2/=sin28,则AZBC为等腰三角形

TT

D.若6=3,。=4,8=:，则此三角形有2解

6

【正确答案】AC

【分析】对于A,用余弦定理可以判定；对于B,利用由正弦定理即可判定；对于C,由正

弦函数的性质结合三角形内角即可判定；对于D,利用正弦定理可得1<sinZ=2〈吏，即

232

可判定.

【详解】对于A,由余弦定理可得COS5="+L-”>0,即

但无法判定/'C的范围，故A错误；

对于B,若A>B,则a>b,由正弦定理，

得2Rsin」>2Rsin8（尺为“5C外接圆的半径）,

所以sin力>sin3,故B正确；

对于C,若sin24=sin2B,由正弦函数的性质，

得24=25+2版或24+23=兀+2而，

又45e（O,7i）,故/=3或2+8=5,故C错误；

对于D,由正弦定理可得三=3,得sin/=fsin8=],

sin4sin8b3

由立，W—<sin,X0<<n:,

23222

所以有2个Z的值，即三角形有2个解，故D正确.

故选：AC.

11.下列说法正确的是（）

A.若〃〃5,则存在唯一实数4使得2=4^

B.两个非零向量£,b,若|”同=同+FI，则£与B共线且反向

C.已知：=（1,2）,6=（1,1）,且Z与的夹角为锐角，则实数2的取值范围是（-永+8）

D.点。在“8c所在的平面内，若前=；就+；而，S-S“Bc分别表示春OC，“BC

的面积，则S&AOC:S^ABC=1:2

【正确答案】BD

【分析】根据平面向量共线定理判断A,根据平面向量减法的定义判断B,根据数量积大于

零且向量不共线求出参数的取值范围，即可判断C,根据向量的线性关系确定。的位置，

由此求三角形的面积关系，即可判断D；

【详解】对于A：当5=6,1x6时，al/b，但是不存在实数2使得）=篇，故A错误；

对于B：由归_可=同+同可得归_闸2=(同+口『，整理可得_2li=2同回，

所以cosG»=兀，则£与5共线且反向，故B正确；

对于C：因为：=(1,2),6=(1,1),则3+"=(1,2)+处1,1)=(1+九2+4，

又Z与""的夹角为锐角，所以小(2+耐=1+/+2(2+/1)>0,解得

又当lx(2+/l)=2x(l+/l),即2=0时£与万+/同向，故%>一且几片0,即C错误;

对于D：因为而=,就+,而，取/C的中点。，贝IJ

42

而，化初+L万」而+藤，阳画,

2U)2222'>

所以。为5。的中点，连接OC,因为。是/C的中点，所以S“加=S,B℃=gs“Bc，

。是8£>的中点，所以S“0O=S“BO=/S"8D，S»CDO=SaCBO=3S.CBD,

所以S“oc=SMDO+S«CDO=3S*ABD+耳S.cm=5s.Me，故D正确；

故选：BD

12.已知点尸在“8C所在的平面内，则下列命题正确的是()

A.若P为A/BC的垂心，AB.AC=2^则万.赤=2

B.若A/8C为边长为2的正三角形，则⑸•(而+1)的最小值为-1

C.若ABC为锐角三角形且外心为P,万=且x+2y=l,则/8=8C

(>r

D.若后=7=^——+-AB+]X-AC

则动点P的轨迹经过^ABC的外心

卜回cosB2JpC|cosC2

7

【正确答案】ACD

【分析】A利用三角形相似及数量积的几何意义判断：B构建直角坐标系，由向量数量积的

坐标表示列式求最值；C由己知得丽=y（沅+而），进而可知与/C中点共线，结合外

心的性质有8。垂直平分/C即可判断；D将等式两侧同时点乘就并化简得

2APBC=（AB+AC）RC,即可判断.

【详解】A：如下图，BELAC,ADLBC,则P为垂心，易知：Rt/EP~Rt"OC,

所以一=—,则=

ADAC

根据向量数量积的几何意义知：JB-'AC=AExAC=2＞同理".方=/Px/D，

所以N•方=2，正确；

B：构建以中点O为原点的直角坐标系，则40,6），若尸（X/）,

所以尸/=（-招行-四，PO=（-x,-y）,

由方+1=2A1=（-2x,-2y）,则⑸•（而+斤）=2/+2/2-2耳=匕2+2。,-：

当x=0,y=4时苏.（而+定）的最小值为-错误；

C:由题设"=（l-2y）恭+y就，则"_万=吊刀_2画，

所以加=），（沅+0），若。为/C中点，则前+拓=2茄，

故而=2y而，故8,P,。共线，又PDLAC,即8。垂直平分/C,

所以=正确;

D

ABAC17-r

D：由题设，“尸=百~+严+"),

/BcosBL4CcosC，

----而.旅~AC^BC1——-----------1—————

nillAPBC=V=,—J+T~~——(AB+AC)---------AB+AQBC

卜4cos8|^4C|cosC22

所以2万.册=(万+就).万，若。为8c中点，则方+就=2亚，

故万•前^而•前，所以P的轨迹经过“8c的外心，正确.

故选：ACD

关键点点睛：A根据垂心性质，三角形相似关系、数量积的几何意义得到

ABAC=AExAC=AP-AB=APxAD<B构建直角坐标系，应用数量积的坐标表示列式判

断；C、D根据外心的性质，应用数形结合化简题设向量的线性关系式判断.

三、填空题

13.已知向量。=(1,2),5=(2,-2),c=(l,2).若御仙+5),贝口=

【正确答案】y

【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可.

【详解】由题可得21+3=(4,2)

•••c//(2a+S),c=(I,A)

4九-2=0,即A.=g

故答案为3

本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.

仔+q+2可»的值为

14.已知cos^-0贝ljcos1

【正确答案】-1

【分析】由诱导公式计算.

【详解】原式

=COS[TT--0)]+2sin(—+(--0)]=-cos2cos'^-0

626

故-1.

15.已知向量2=(1,2),5=(-1,3),则Z在5方向上的投影向量是,

【正确答案】_L2

252

【分析】£在各方向上的投影向量是:回背2],先求出cosG，B),代入即可.

__a_h___5_亚

【详解】因为cosd,b=

同苗757102，

则Z在B方向上的投影向量是:巴里也5

3

\b\2?2

]_3

故答案为.

292

16.已知直角梯形中，ADUBC,ZADC=90°,AD=2,BC=\,尸是腰。C上的动

点，则|苏+3词的最小值为

【正确答案】5

【分析】以D4,。。为x，夕轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小

值.

【详解】

由题：以。4。。为xj轴的正方向建立直角坐标系，如图所示:

设C（0,a）,P（0,6）,8（lM）,/（2,0）,04b4a,

则强+3而=（2,-b）+3（l,a_b）=（5,3〃_4b）

国+3万卜j25+（3a-46『N5,当6=日取得最小值.

故5

此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化

利于解题.

四、解答题

17.设向量获满足向=|力|=1,且归-2小近.

（1）求G与5的夹角：

（2）求恢+3可的大小.

【正确答案】（1）半2兀

⑵0

【分析】（1）设5与彼的夹角为。，利用归-2可=J@-2盯即可求出答案;

（2）利用恤+3可="2a+3日『即可求出答案

【详解】（1）设万与彼的夹角为。（04。4兀），

忖_2,=,伍_2,=4%-41石+4必+,[='>

将优|=，卜1代入得l-4cos0+4=7,

八1八2兀

cos0——,'.u——.

23

（2）恢+3可=J（2N+3@=，4企+123%+9'=^4岑+1抑f斥。9+〃

将问=啊=1代入得忸+3+j4+12x1_g）+9=V7,

.•.忸+3@=近.

18.如图，甲船/处，乙船在4处的南偏东45。方向，距/有9海里并以20海里/时的速度

沿南偏西15。方向航行，若甲船以28海里/时的速度航行.

(1)求甲船用多少小时能尽快追上乙船；

(2)设甲船航行的方向为南偏东。，求。的正弦值.

3

【正确答案】(1):

4

1172-576

28

【分析】(1)设用，小时，甲船能追上乙船，设乙48C=a,ABAC=P，求出a,在

中，利用余弦定理即可得出答案；

(2)利用正弦定理求得sin/7,再根据sine=sin(45-0结合两角差的正弦公式即可得出答

案.

【详解】(1)解：设用「小时，甲船能追上乙船，且在C处相遇，

在A48c中，AC=29,t,BC=20/,AB=9,

设N/8C=a,NBAC=0,

Aa=180°-45°-15°=120°,

(28f)2=81+(20z)*2-342x9x20rx(-1),

128/-60f-27=0,gp(4/-3)(32/+9)=0,

•t_3

••L—f

4

3

即甲船用4小时能尽快追上乙船；

4

33

(2)解：由(1)得：4C=28x：=21海里，8C=20x—=15海里，

44

根据正弦定理，得sin夕=冬迪里=上叵，/.cos^=^,

AC1414

..•小。A、V211573V2116-5娓

..sinay=sin(45-p)--x-------x—=----------.

21414228

19.如图所示，在边长为2的等边△Z8C中，点M,N分别在边/C,48上，且M为边力C

的中点，设方=万，AC^b-

(1)^AN=—NB,用3,6表不MN；

(2)求丽•砺的取值范围.

【正确答案［(1)痂=！3_23

32

⑵［一方23.1

【分析】(1)利用丽=丽-万7即可求出：

(2)设丽=2刀=痛(04241),可得所以丽.函=4义2-3；1+2,即可求出.

【详解】(1)因为M为4c中点，所以=

22

因为丽=1而且,所以前=1方=1',

233

所以痂=丽-屈=匕」「；

32

(2)iS：AN=AAB=25(0<2<1),

__________1_

^CN=AN-AC=Aa-b>MN=A,a--b,

因为G疥=2,\a\=2,\b\=2,

所以砺.丽=(苏一句”力)

=A2a2-Aa-b--a-b+-b2=4A2-U+2,

22

所以当a=1时，丽.丽取得最大值3,

故当丸=3/寸，丽.西取得最小值2孑3；

o16

故而•西的取值范围为77,3

16_

20.己知函数/(x)=2sii?(0x+：1-®os(2(yx)-l(o>O),/(x)的最小正期为兀.

⑴求/,(X)的对称中心：

⑵方程/(x)-2〃+l=0在0,会77T上有且只有一个解，求实数”的取值范围.

【正确答案】(l)("+g0),A:eZ

26

(2)„e［^,l)U{1}

【分析】(1)利用二倍角余弦公式、诱导公式及辅助角公式化简得/(x)=2sin(加x-1),根

据最小正周期求参数，整体法求对称中心即可；

(2)令f=2x4,画出歹=2sinf的图象，数形结合求/口)=2〃-1在0,患上有且只有一

个解对应〃的取值范围.

【详解】(1)由/(x)=-cos(20x+^)-6cos(2(ax)=sin(2(yx)-百cos(2<ax)=2sin(24yx-g),

7yr

因为/(X)的最小正期为n,即7=e=兀，故0=1,

2co

TT

所以/(x)=2sin(2x-y),

令2x-&=E,AeZ,贝！|x=侬+工/eZ,故函数对称中心为(如+工,0),&eZ.

32626

(2)令£=2工-3,当XE0需时fw［-3考］，

3L12」36

所以y=2sin£在£学］的图象如下，

36

由图知：/(x)=2〃-l在［0,丘］上有且只有一个解，则-百42〃-1<1或2〃—1=2,

所以上立《“〈I或〃4，故"G［匕&i)U{|).

21.在“8c中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,己知疯>$历(8+。)+“8S5=心

(1)求角力的大小；

(2)若"8C为锐角三角形，且b=6,求>5C面积的取值范围.

TT

【正确答案】(1)二

⑵(竺,6拘.

2

【分析】(1)利用余弦定理及sin(8+C)=sin/代入已知条件进行化简得百sin/=cosZ,

再根据46(0,万)，从而求出角N的大小；

(2)由正弦定理得c,然后由公式，杵=；税5亩/,转化为关于tan8得函数进行求解.

【详解】(1)E^9>/3/>sin(B+C)+acosB=c,

所以百bsin/+a・"———=c,

2ac

则2Hbesin4+/+/一/^=2<?,

即a2=b2+c2-2百besinA.

又a?=b2+c2-2bccos4

所以JJsinA=cosA,即ta"=g

又“€(0,万)，所以4=72T

6

b

(2)因为

sinCsinB

6sinC

所以c=

sin5

TT

9sin(5+-)

9sinC

口“=­bcsinA=

8c2sinBsinB

因为“BC为锐角三角形,

TT

0<S<-,

2

所以

TC

0<--S<

62

解得？<8<;则tan8>6.

故殛<地+3<6折

222tan8

即“8C面积的取值范围为(苧,6行).

22.已知函数/(xbA/JsinWx+E+Zsin。一1(0>0,0<><兀)为奇函数，且/(x)图

2

TT

象的相邻两对称轴间的距离为于

(1)求〃(x)=/(x)+sinx+cosx的最大值.

(2)将函数/(x)的图象向右平移?个单位长度，再把横坐标缩小为原来的;(纵坐标不变),

6，

得到函数v=g(x)的图象，记方程g(x)=g在XC兀4兀

上的根从小到依次为为，巧