2022-2023学年北京市东城区景山学校七年级（上）期中数学试卷

2022-2023学年北京市东城区景山学校七年级（上）期中数学试

卷

一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题2分，共16分）.

1.（2分）只有一条高在三角形内部的三角形是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形或钝角三角形

2.（2分）若点尸（x,y）的坐标满足孙=0,则点尸的位置是（）

A.在x轴上B.在），轴上

C.是坐标原点D.在x轴上或在y轴上

3.（2分）去年我市有5.6万学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000

名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（）

A.这种调查方式是抽样调查

B.5.6万学生是总体

C.2000是样本容量

D.2000名考生的数学成绩是总体的一个样本

4.（2分）如图A0平分NBAC,且NC=80°,则NO的度数是（）

B

CD

A.60°B.50°C.45°D.40°

5.（2分）点P（2-a,2a-1）在第四象限，且到y轴的距离为3,则。的值为（）

A.-1B.-2C.1D.2

6.（2分）内角和等于外角和2倍的多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

7.（2分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A处，折：痕

为DE.如果/4=a,NCEA'=0,ZBDA'=y,那么下列式子中正确的是（）

A.丫=2a+0B.Y=a+20C.y=a+pD.丫=180°-a-p

8.（2分）为了了解2018年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查

了1000人乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制了如下频数分布直方图，根据图中信

息，下面3个推断中，合理的是（）

①小明乘坐地铁的月均花费是75元，那么在所调查的1000人中至少有一半以上的人月

均花费超过小明；

②估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是60-120元；

③如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在20%

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题（每小题2分，共16分）.

9.（2分）为了解某市4万名学生平均每天读书的时间，请你运用所学的统计知识，将统计

的主要步骤进行排序：①从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书

的时间；②分析数据；③得出结论，提出建议；④利用统计图表将收集的数据整理和表

示.合理的排序是.（只填序号）

10.（2分）在△ABC中，/A=80°+/B+NC,则NA=

11.（2分）一个样本含有20个数据:68,69,70,66,68,64,65,65,69,62,67,66,

65,67,63,65,64,61,65,66,在列频数分布表时，64.5〜66.5这组的频数为

12.（2分）课间操时，小华、小军和小刚的位置如图所示，如果小华的位置用（0,0）表

示，小军的位置用（2,I）表示，那么小刚的位置可以表示为

13.（2分）如图，&4BC中40,BE分别是△A8C的高和角平分线，若NC=70°,NAEB

14.（2分）如图，线段4尺L4E,垂足为点A,线段GO分别交AF、AE于点C,B,连结

GF,ED.则NQ+NG+NAFG+/AEO的度数为.

15.（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线A8与），轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、

B两点，”在BA的延长线上，出平分NMA。，PB平分NABO,则NP=

16.（2分）在平面直角坐标系X。），中，对于点P（x,y）,我们把点P（-y+1,x+1）叫做

点尸的伴随点.如点Ai的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,

这样依次得到点41，A2,A3,•••,A”，….若点4的坐标为（3,1）,则点43的坐标

为;若点Al的坐标为（a,b）,对于任意的正整数〃，点4均在x轴上

方，则a,匕应满足的条件为.

三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分，第21-23题，每题6分，第24-25题，

每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明

过程）.

17.（5分）已知等腰三角形的周长为18c〃?，其中两边之差为3c〃?，求三角形的各边长.

18.（5分）如图，AE//BD,Nl=115°,/2=35°,求/C的度数.

19.（5分）如图，在RtZXABC中，NACB=90°,ZA=40°,△ABC的外角NCBO的平

分线BE交AC的延长线于点E.

（1）补全图形；

（2）求NC8E的度数；

（3）已知F为AC延长线上一点，连接。凡若NAFD=25°,请判断BE与QF的位置

关系为.

20.（5分）已知点A（3a-6,a+1）,试分别根据下列条件，求出点A的坐标，

（1）点A在x轴上；

（2）点A在过点尸（3,-2）,且与y轴平行的直线上.

21.（6分）如图，已知aABC中，/ABC和乙4cB的平分线80、CE相交于点O,且乙4

0D

=60°,求NBOC的度数.R

22.(6分)对有序数对(《?,〃)定义运算"：f(m,ri')=(^m+a,-^-n+h),其中a,h

22

为常数，/运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一

点A(x,y)规定“F变换”；点A(x,y)在F的变换下的对应点即为坐标是/(x,y)

的点A.

(1)当a=0,6=0时，/(-2,4)=.

(2)若点P(2,-2)在尸变换下的对应点是它本身，求面的值.

23.(6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为(-5,4)、(-3,

0)、(0,2).

(1)画出三角形A8C,并求其面积；

(2)如图，B1C是由△ABC经过平移得到的.

(3)已知点P(a,b)为AABC内的一点，则点P在AA'B'C内的对应点尸'的坐

标是(,).

24.(5分)如图1所示，在△ABC中，AE是/BAC的平分线，ZB<ZC,尸为4E上一点，

且F£>J_BC于£).

(1)试推导NEFZ)与NB、/C的大小关系.

(2)如图2所示，当点尸在AE的延长线上时，其余条件不变，在(1)中推导的结论

还成立吗？请说明理由.

25.(5分)为庆祝中国共产党建党100周年，使学生进一步了解中国共产党的历史，某学

校组织了“党史百年天天读”活动，并进行了一次全校2000名学生都参加的书面测试，

阅卷后，教学处随机抽取了100份答卷进行分析统计，发现考试成绩x(分)的最低分为

50分，最高分为满分10()分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表：

分数段(X分)频数频率

50«6040.04

60«70a0.20

70«80300.30

80«9026b

90Wx<100150.15

100<x<11050.05

请根据统计图表提供的信息，解答下列问题:

(1)在频数分布表中，〃=；h=；

(2)请将频数分布直方图补充完整，并在图中标明相应数据；

(3)该校对成绩为90WxW100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一，二，三等

奖，各奖项的人数占比如扇形统计图所示.

①在扇形图中，二等奖所在扇形的圆心角度数为°;

②请你估算全校获得一等奖的学生人数约为人.

26.(6分)阅读与理解：

三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积,

即如图1,AD是△ABC中BC边上的中线,

即：等底同高的三角形面积相等.

操作与探索

在如图2至图4中，△ABC的面积为“.

（1）如图2,延长aABC的边8c到点。，使CD=BC,连接。A.若△AC。的面积为

51,则Si=（用含a的代数式表示）；

（2）如图3,延长ZVIBC的边BC到点£>,延长边CA到点E,使CC=BC,AE=CA,

连接OE.若△OEC的面积为S2,则S2=（用含“的代数式表示），并写出理

由；

（3）在图3的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到△£>£下（如图4）.若

拓展与应用

如图5,已知四边形ABCQ的面积是a,E、F、G、”分别是A3、BC、CD、D4的中点,

27.（7分）在△ABC中，ZACB=90°,ZABC=40°,尸是射线BC上一动点（与B,C

点不重合），连接AP.过点C作CDJ_AP于点。，交直线A8于点E,设NAPC=a.

（1）若点P在线段8C上，且a=60°,如图1,直接写出/朋B的大小；

（2）若点P在线段BC上运动，如图2,求NAED的大小（用含a的式子表示）；

（3）若点P在3c的延长线上运动，且a¥50°,直接写出/AE£>的大小（用含a的式

子表示).

28.(7分)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M(xi,yi),N(X2,”)，定义用xi

-回+(1-k)|JI-为点M和点N的阶距离"，其中OWAW1.例如：点M(1,3),

N(-2,4)的‘阶距离”为4|卜(-2)|3-13-4|=>1-已知点-(-1，2).

(1)若点B(0,4),求点4和点B的“工阶距离”；

4

(2)若点B在x轴上，且点A和点B的“上阶距离”为4,求点2的坐标；

3

(3)若点B(a,b),且点A和点8的“工阶距离”为1,直接写出a+b的取值范围.

2

2022-2023学年北京市东城区景山学校七年级（上）期中数学试

卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题2分，共16分）.

1.（2分）只有一条高在三角形内部的三角形是（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形或钝角三角形

【分析】根据三角形高线的性质来解答即可.

【解答】解：A、锐角三角形的三条高都在三角形的内部，错误；

8、直角三角形直角边上的高分别与另一直角边重合，还有一条高在三角形内部，正确；

C、钝角三角形中，夹钝角两边上的高在三角形的外部，另一条高在三角形的内部，正确;

D、是B、C的综合观点，正确；

故选：D.

【点评】①锐角三角形的三条高都在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上；

②直角三角形直角边上的高分别与另一直角边重合，还有一条高在三角形内部，垂足在

直角的顶点或斜边上；

③钝角三角形中，夹钝角两边上的高在三角形的外部，另一条高在三角形的内部，垂足

在相应顶点对边的延长线上或在钝角的对边上.

2.（2分）若点尸（x,y）的坐标满足町=0,则点尸的位置是（）

A.在x轴上B.在y轴上

C.是坐标原点D.在x轴上或在），轴上

【分析】根据坐标轴上的点的坐标特点解答即可.

【解答】解：因为个=。，所以小y中至少有一个是0；

当x=0时，点在y轴上；

当y=0时,，点在x轴上.

当x=0,y=0时是坐标原点.

所以点P的位置是在X轴上或在y轴上.

故选：D.

【点评】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特点，即点在x轴上点的坐标为纵坐标等于0：

点在y轴上点的坐标为横坐标等于0.

3.（2分）去年我市有5.6万学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000

名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（）

A.这种调查方式是抽样调查

B.5.6万学生是总体

C.2000是样本容量

D.2000名考生的数学成绩是总体的一个样本

【分析】总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体

中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、

样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考察的对象.从而找出总体、个体.

【解答】解：A、为了了解这5.6万名考生的数学成绩，从中抽取了2000名考生的数学

成绩进行统计分析，这种调查采用了抽样调查的方式，故说法正确：

B、5.6万名考生的数学成绩是总体，故说法错误；

C、2000是样本容量，故说法正确；

。、2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故说法正确；

故选：B.

【点评】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与

样本，关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范

围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位.

4.（2分）如图平分NBAC,且NC=80°,则NO的度数是（）

A.60°B.50°C.45°D.40°

【分析】根据角平分线的定义得到。，根据平行线的性质得到

即可得到再根据三角形的内角和求解即可.

【解答】解：平分N8AC,

：.ZBAD^ZCAD,

'CAB//CD,

:.NBAD=ND,

：.ZCAD=ZD,

在中，ZC+ZD+ZCAD=180°,ZC=80",

.•.80°+ZD+ZCAD=180°,

即2/0=100°,

：.ZD=50°.

故选：B.

【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键.

5.（2分）点P（2-a,2a-1）在第四象限，且到y轴的距离为3,则a的值为（）

A.-1B.-2C.1D.2

【分析】首先根据点尸（x,＞）在第四象限，且到y轴的距离为3,可得点P的横坐标是

3,可得2-a=3,据此可得。的值.

【解答】解：；点P（2-a,2a-1）在第四象限，且到），轴的距离为3,

...点P的横坐标是3；

，2-a=3,

解答a—~1.

故选：A.

【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离=纵坐标的绝对值，到y

轴的距离=横坐标的绝对值.

6.（2分）内角和等于外角和2倍的多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

【分析】本题应先设这个多边形的边数为〃，则依题意可列出方程（"-2）X180°=360°

X2,从而解出〃=6,即这个多边形的边数为6.

【解答】解：设这个多边形的边数为〃，则依题意可得：

（«-2）X1800=360°X2,

解得n=6,

•••这个多边形的边数为6.

故选：B.

【点评】本题主要考查多边形的外角和定理和多边形的内角和定理.解题的关键是熟练

掌握三角形的内角和定理即（〃-2）X180°.注意：任意多边形的外角和都是360°.

7.（2分）如图，将一张三角形纸片A8C的一角折叠，使点A落在△ABC外的4处，折痕

为DE.如果NA=a,ACEA'=0,ZBDA,=y,那么下列式子中正确的是（）

A.y=2a+BB.y=a+20C.y=a+(3D.y=180°-a-P

【分析】根据三角形的外角得：ZBDA'^ZA+ZAFD,ZAFD^ZA'+ZCEA',代入已知

可得结论.

【解答】解：由折叠得：ZA=ZA',

NBDA'=ZA+ZAFD,4AFD=ZA'+ZCEA',

；/4=a,ACEA'=0,ZBDA'=y,

，/8£>A=Y=a+a+B=2a+B，

故选:A.

【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个

内角的和是关键.

8.（2分）为了了解2018年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查

了1000人乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制了如下频数分布直方图，根据图中信

息，下面3个推断中，合理的是（）

①小明乘坐地铁的月均花费是75元，那么在所调查的1000人中至少有一半以上的人月

均花费超过小明；

②估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是60-120元;

③如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在20%

120140160220240月均花费元

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【分析】①根据图中信息月均花费超过80元的有500人，于是得到结论；

②根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在60〜120之间，据此可得平均每

人乘坐地铁的月均花费的范围；

③该市1000人中，20%左右的人有200人，根据图形可得乘坐地铁的月均花费达到120

元的人有200人可以享受折扣.

【解答】解：①200+100+80+50+25+25+15+5=500A,

...所调查的1000人中一定有一半或超过一半的人月均花费超过小明，此结论正确；

②根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在60〜120之间，估计平均每人乘

坐地铁的月均花费的范围是60〜120；所以估计平均每人乘坐地铁月均花费不低于60元,

此结论正确；

③VI000X20%=200,而80+50+25+25+15+5=200,

•••乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣，

乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣，此结论正确；

综上，正确的结论为①②③，故选：D.

【点评】本题主要考查了频数分布直方图，抽样调查以及用样本估计总体，一般来说，

用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确.抽

样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估

计的准确程度.

二、填空题（每小题2分，共16分）.

9.（2分）为了解某市4万名学生平均每天读书的时间，请你运用所学的统计知识，将统计

的主要步骤进行排序：①从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书

的时间；②分析数据；③得出结论，提出建议；④利用统计图表将收集的数据整理和表

示.合理的排序是①④②③.（只填序号）

【分析】直接利用调查收集数据的过程与方法分析排序即可.

【解答】解：统计的主要步骤依次为：

①从4万名学生中随机抽取400名学生，调查他们平均每天读书的时间；

④利用统计图表将收集的数据整理和表示；

②分析数据；

③得出结论；

故答案为：①④②③.

【点评】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握调查的过程是解题关键.

10.（2分）在△ABC中，ZA=80°+NB+NC,则N4=130°.

【分析】根据三角形内角和定理解答即可.

【解答】解：VZA=80°+ZB+ZC,N4+NB+NC=180°,

.•.80°+ZB+ZC+ZB+ZC=180°,

2（ZB+ZC）=180°-80°,

；.NB+NC=50°,

AZA=80°+50°=130°.

故答案为：130°.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键.

II.（2分）一个样本含有20个数据：68,69,70,66,68,64,65,65,69,62,67,66,

65,67,63,65,64,61,65,66,在列频数分布表时，64.5〜66.5这组的频数为8.

【分析】根据数据，找出64.5〜66.5这组的数字即可.

【解答】解：根据题意得，

在列频数分布表时，64.5〜66.5这组的数据有66,65,65,66,65,65,65,66,

所以频数为8.

故答案为：8.

【点评】本题考查的是频数分布表，掌握组距、分组数的确定方法：组距=（最大值-

最小值）+组数，以及频率的计算方法是解题的关键.

12.（2分）课间操时，小华、小军和小刚的位置如图所示，如果小华的位置用（0,0）表

示，小军的位置用（2,1）表示，那么小刚的位置可以表示为（4,3）.

【分析】直接利用原点位置建立平面直角坐标系，进而得出点的坐标.

【解答】解：如图所示：小刚的位置可以表示为（4,3）.

【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键.

13.（2分）如图，△ABC中A。，BE分别是△ABC的高和角平分线，若NC=70。，NAEB

=95°,则NBAD=40°.

【分析】由平角的定义可求解NBEC的度数，根据三角形的内角和定理可求解NCBE的

度数，结合角平分线的定义求得/A8C的度数，再根据高线的定义可得/A£>B=90°,

然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解.

【解答】解：；N4EB=95°,

.,.ZB£C=180°-95°=85°,

ZBEC+ZCBE+ZBCE=1800,ZC=70°,

AZCBE=180°-70°-85°=25°,

是NABC平分线，

:.NABC=2NCBE=50°,

是高线，

；.NADB=90°,

.•.284。=180°-90°-50°=40°,

故答案为：40.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与

定理并准确识图是解题的关键.

14.（2分）如图，线段AF_LAE,垂足为点A,线段GO分别交AF、AE于点C,B,连结

GF,ED.则NO+NG+N4fG+/4E£>的度数为270°.

【分析】根据三角形的内角和定理及对顶角的性质可求得NGCF+/OBE=90°,再利用

三角形的内角和定理可得NG+NF+/GCF+N£>+N8+/O8E=360°,进而可求解NO+

ZG+ZAFG+ZAED的度数.

【解答】解：'：ZA+ZACB+ZABC=\S0Q,ZA=90°,

NAC3+NA8C=90°,

NGCF=ZACB,NDBE=ZABC,

:.NGCF+NDBE=90°,

VZG+ZF+ZGCF=ZD+ZB+Z£>BE=180°,

ZG+ZF+ZGCF+ZD+ZB+ZDBE^36QO,

/.ZD+ZG+ZAFG+ZAED=270°,

故答案为：270°.

【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.

15.（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与），轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、

B两点，M在R4的延长线上，以平分ZM4O,PB平分NABO,则NP=45°.

【分析】由。A_L08即可得出NQ4B+NABO=90°、NAOB=90°,再根据角平分线的

定义以及三角形内角和定理即可求出NP的度数.

【解答】解：

.•.NOAB+NABO=90°,ZAOB=90C.

:以平分/M40,

AZPAO=^ZOAM=1.(180°-ZOAB).

22

平分/ABO,

ZABP=^ZABO,

2

尸=180°-ZPAO-AOAB-ZABP=180°-A(1800-ZOAB)-ZOAB-

22

A8O=90°--1(ZOAB+ZABO)=45°.

2

【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出NP=90°-1(ZOAB+Z

2

AB。).本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解

决问题是关键.

16.(2分)在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y),我们把点尸(-y+1,x+1)叫做

点P的伴随点.知点Ai的伴随点为42,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为4,…，

这样依次得到点Ai,Ai,Ai,•••,An,若点Ai的坐标为(3,1),则点A3的坐标为

(-3,1)；若点Ai的坐标为(a,b),对于任意的正整数〃，点须均在x轴上方，

则a,b应满足的条件为-W1,0<6<2.

【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次

循环，用2014除以4,根据商和余数的情况确定点A2014的坐标即可；再写出点4(a,

h)的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可.

【解答】解：的坐标为(3,1),

(0,4),A3(-3,1),A4(0,-2),A;(3,1),

依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，

720174-4=504^1,

...点A2017的坐标与4的坐标相同,为(3,1)；

:点Ai的坐标为(a,b),

.'.Al(-b+\,a+1),A3(-a,-6+2),A4Cb-1,-a+1),As(a,b),

依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，

•••对于任意的正整数〃，点A”均在x轴上方，

.\+1>0f-b+2>0

…-a+l>0,1b>0'

解得0<b<2.

：.-l<a<l且40,Q<b<2,

故答案为：(-3,1),-0<b<2.

【点评】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出

每4个点为一个循环组依次循环是解题的关健，也是本题的难点.

三、解答题(本题共68分，第17-2()题每题5分，第21-23题，每题6分，第24-25题，

每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明

过程).

17.(5分)已知等腰三角形的周长为18cm,其中两边之差为3cm,求三角形的各边长.

【分析】已知等腰三角形的周长为18c/n,两边之差为6cm,但没有明确指明底边与腰谁

大，因此要分两种情况，分类讨论.

【解答】解：设三角形的腰为x,底为》

根据题意得俨于18或(2x+y=18

(x-y=3(y-x=3

解得(x=7或fx=5,

Iy=4Iy=8

所以等腰三角形的腰与底边的长分别为：7cm,4cnz或5c，〃，8C/M；

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系：已知没有明确腰和底边的

题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解

答，这点非常重要，也是解题的关键.

18.（5分）如图，AE//BD,Zl=115°,Z2=35°,求NC的度数.

【分析】由AE〃BD,可求得NCE4的度数，再利用三角形ACE的内角和等于180°,

即可求得答案.

【解答】解：/2=35°,

...NCEA=N2=35°,

又；N1=I15°,

AZC=1800-ZCEA-Zl=180°-115°-35°=30°.

【点评】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的运用.解题的关键是注意数形

结合思想的应用.

19.（5分）如图，在RtZ\ABC中，/AC8=90°,/A=40°,/XABC的外角的平

分线BE交AC的延长线于点E.

（1）补全图形；

（2）求/C8E的度数；

（3）己知F1为AC延长线上一点，连接。F,若NAFD=25：请判断BE与。尸的位置

关系为BE〃DF.

【分析】（1）根据题意作图：

（2）先求外角，再利用角平分线定义求解:

（3）利用平行线的判定求解.

【解答】解：（1）补全图形如下：

(2)VZCBD^ZACB+ZA=130°,

ZCBD的平分线是BE,

；.NCBE=L/CBD=65°；

2

(3)VZCBE=65°,

：.ZCEB=90°-NCBE=25°,

VZAFD=25",

：.ZCEB=ZAFD,

.'.BE//DF.

故答案为：BE//DF.

【点评】本题考查了三角形的内角和平行线的性质和判定，角平分线的定义也是解题的

关键.

20.(5分)已知点A(3a-6,a+1),试分别根据下列条件，求出点A的坐标，

(1)点A在x轴上；

(2)点A在过点P(3,-2),且与y轴平行的直线上.

【分析】(1)根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出“的值，再求解即可；

(2))根据平行于y轴的直线上的点的纵坐标相同列方程求出a的值，再求解即可.

【解答】解：(1)•.•点A(3a-6,a+1)在x轴上，

。+1=0,

解得。=-1,

：.3a-6=-3-6=-9,

・••点A的坐标为(-9,0)；

(2)・・,点A在过点P(3,-2),且与)，轴平行的直线上，

.•.3。-6=3,

解得。=3,

，。+1=3+1=4,

.•.点A的坐标为(3,4).

【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及平行于坐标轴的直

线上的点的坐标特征是解题的关键.

21.(6分)如图，已知△ABC中，NA8C和/ACB的平分线BQ、CE相交于点0,且NA

=60°,求NBOC的度数.R

【分析】利用角平分线的性质求出N2+N4的度数，再由三角形的内角和定理便可求出

ZBOC.

【解答】解：和/ACB的平分线30、CE相交于点0,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

.,.Z2+Z4=A(180°-ZA)=A(180°-60°)=60°,

22

故N8OC=180°-(Z2+Z4)=180°-60°=120°.

【点评】本题考查的是角平分线的性质及三角形内角和定理，属较简单题目.

22.(6分)对有序数对(加，n)定义"/运算"：f(,m,n)=(La+a,L?+〃)，其中“，b

为常数，/运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一

点A(x,y)规定“尸变换”；点A(x,y)在尸的变换下的对应点即为坐标是/(x,y)

的点A'.

(1)当a=0,/>=0时，/(-2,4)=(-1,2).

(2)若点P(2,-2)在尸变换下的对应点是它本身，求时的值.

【分析】(1)根据新定义运算法则解得；

(2)根据新定义运算法则得到关于。、。的方程，通过解方程求得它们的值即可.

【解答】解：(1)依题意得：/(-2,4)=(JLX(-2)+0,AX4-0)=(-1,2).

故答案是：(-1,2)；

(2)依题意得：f(2,-2)=(Ax2+a,工义(-2)-6)=(2,-2).

22

所以上X2+a=2,Ax(-2)+/?=-2,

22

所以a=\,/>=-1.

；.ab=-1.

【点评】本题考查了坐标与图形性质.关键是掌握对有序数对(加，")定义"/运算”法

则.

23.(6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，4、B、C三点的坐标分别为(-5,4)、(-3,

0)、(0,2).

(1)画出三角形A8C,并求其面积；

(2)如图，△4，B'C是由△ABC经过Z\ABC向右平移4个单位，再向下平移3

个单位得到AA'8'C',平移得到的.

(3)己知点P(“，b)为△ABC内的一点，则点P在B'C内的对应点P'的坐

标是(a+4,b-3)■

【分析】(1)根据点的位置作出图形，利用分割法求出三角形的面积即可；

(2)结合图象，利用平移变换的性质解决问题；

(3)利用平移变换的规律解决问题.

【解答】解：(1)如图，XABC即为所求，SMBC=4X5-JLX2X4-JLX2X5-JLX3

222

X2=8；

(2)ZSABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到△?!'B'C,

故答案为：△A8C向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到△/1'B'C',

(3)P'(。+4,/?-3),

故答案为：a+4,b-3.

【点评】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是理解题意，正确作出图形.

24.(5分)如图1所示，在△ABC中，AE是/BAC的平分线，NBVNC,尸为AE上一点,

且FDLBC于D.

(1)试推导NEFD与NB、/C的大小关系.

(2)如图2所示，当点尸在AE的延长线上时，其余条件不变，在(1)中推导的结论

还成立吗？请说明理由.

【分析】(1)根据三角形的内角和定理和角平分线的定义表示出/BAE,再根据三角形

的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出NAEC,然后根据直角三角形两锐角

互余列式计算即可得解；

(2)与(1)的求解过程完全相同.

【解答】解：(1)ZEFD=1(ZC-NB).

2

理由如下：是/2AC的平分线，

AZBAE=^ZBAC=1.(180°-ZB-ZC),

22

在aABE中，NAEC=NBAE+NB=2(180°-ZB-ZC)+ZB=90°+Azfi-AzC,

222

VFD±BC,

；.NEFD=9G°-(90°+Azfi-AzO(ZC-ZB)；

222

（2）仍然成立.

又（1）知N£>EF=NAEC=90°+AZB-AzC,

22

；.NEFD=L（ZC-ZB）.

2

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与

它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

25.（5分）为庆祝中国共产党建党100周年，使学生进一步了解中国共产党的历史，某学

校组织了“党史百年天天读”活动，并进行了一次全校2000名学生都参加的书面测试，

阅卷后，教学处随机抽取了100份答卷进行分析统计，发现考试成绩x（分）的最低分为

50分，最高分为满分100分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表：

分数段（X分）频数频率

50«6040.04

60Wx<70a0.20

70Wx<80300.30

80WxV9026h

90Wx<100150.15

IOOWXCIIO50.05

请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：

(1)在频数分布表中，a=20；b—0.26；

(2)请将频数分布直方图补充完整，并在图中标明相应数据；

(3)该校对成绩为90WxW100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一，二，三等

奖，各奖项的人数占比如扇形统计图所示.

①在扇形图中，二等奖所在扇形的圆心角度数为108°；

②请你估算全校获得一等奖的学生人数约为40人.

【分析】(1)先计算出样本容量，再根据频率=频数+样本容量求解即可；

(2)根据以上所求结果即可补全图形；

(3)①用360。乘以对应的百分比即可；②用总人数乘以90-W100的学生人数所占比

例，再乘以一等奖对应的百分比即可.

【解答】解：⑴•.•样本容量为4+0.04=100,

.,.4=100X0.2=20,匕=26+100=0.26,

故答案为：20、0.26；

(2)补充频数分布直方图如下：

（3）①在扇形图中，二等奖所在扇形的圆心角度数为360°X30%=108°；

②估计全校获得一等奖的学生人数约为2000义至也X10%=40（人）.

100

故答案为：108、40.

【点评】本题考查的是频数分布直方图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解

决问题的关键.直方图能清楚地表示出每个项目的数据，也考查了利用样本估计总体的

思想.

26.（6分）阅读与理解：

三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积,

即如图1,是△ABC中BC边上的中线，

即：等底同高的三角形面积相等.

操作与探索

在如图2至图4中，AABC的面积为a.

（1）如图2,延长aABC的边BC到点。，使CD=BC,连接DA.若△ACD的面积为

Si,则Si=a（用含a的代数式表示）:

（2）如图3,延长ZVIBC的边BC到点。，延长边CA到点E,使CQ=BC,AE=CA,

连接力£若△£＞口；的面积为S2,则S2=2a（用含a的代数式表示）,并写出理由；

⑶在图3的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到如图4）.若

阴影部分的面积为S3,则S3=6a（用含〃的代数式表示）.

拓展与应用

如图5,已知四边形ABCD的面积是a,E、F、G、77分别是A8、BC、CD、D4的中点,

【分析】（1）根据等底同高的三角形面积相等，可知道△48的面积和△48C的面积相

等.

（2）根据等底同高的三角形面积相等，可知道SMBC=S&ACD="AED=a,从而可求出

结果.

（3）阴影部分的面积为三个三角形，这三个三角形面积相等，从（2）可知都为2a.可

求出阴影部分的面积.

（4）连接：AO,BO,CO,DO,根据等底同高的三角形面积相等，可求出结果.

【解答】解：（1）“；

(2)2a；

连接A£>,S^ABC—Si,ACD—S^AED=a,:•S&DCE=2a

(3)6a

拓展与应用：

连接：AO,BO,CO,DO,5AAOE=S/^BOE=—SMOB>

2

同理：SABOF=^ACOF^^ACOB'2ACOG=ADOG^2^ACOD

SAD0H=SAA0H得SAAOD

阴影部分面积"'S的D

【点评】本题考查三角形的面积，关键知道等底同高的面积相等，从而可求出解.

27.（7分）在△4BC中，/ACB=90°,ZABC=40°,尸是射线BC上一动点（与B,C

点不重合），连接AP.过点C作CCAP于点。，交直线AB于点E,设NAPC=a.

（1）若点尸在线段BC上，且a=60°,如图1,直接写出/南8的大小；

（2）若点P在线段BC上运动，如图2,求NAED的大小（用含a的式子表示）；

（3）若点P在BC的延长线上运动，且a#50°,直接写出NAED的大小（用含a的式

子表示）.

（2）根据三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余可得结论；

（3）分情况讨论：a>50°或a<50°根据三角形内角和可得结论.

【解答】解：（1）如图1,当a=60°时，ZAPC=60°,

△APB中，ZPAB^ZAPC-ZB=60°-40°=20°,

(2)如图2,同(1)