2022-2023学年高二年级下册数学人教A版含参数单调性一讲义

含参数单调性(一)

知识精讲

导数"一次型"

1.基本特征

导函数"一次型”的基本特征是，导函数中能够影响原函数单调性的部分是"一次型"函数

例如：①尸(%)=◎+匕;®f'(x)^a\nx+b；@f\x)=(ax+b)ex;

✓7Y+b

⑤/'(x)=—T(x>0)等，其中。力至少有一个为参数.

2.求解步骤

对"一次型”导函数进行分类讨论，求解原函数单调区间的步骤如下：

第一步：求定义域

第二步：求导，例如/(耳="+匕

⑴。=0一/("=匕，则转化为恒成立问题

⑵a>0,此时令尸(x)=0，解得x=x()

①若玉在定义域内，

则定义域内x>x。的部分，/(x)单调递增；定义域内无的部分，/(“单调递减

②若与不在定义域内，则转化为恒成立问题

(3)«<0,此时令尸(x)=0,解得X=X。

①若「在定义域内，

则定义域内X>x0的部分，/(X)单调递减；定义域内X<x°的部分，/(X)单调递增

②若与不在定义域内，则转化为恒成立问题

归纳口诀：/(x)=o,

一解分三样(a=0,a>0,a<0),两解比大小(％=々,玉>x2,x,<x2),

3.典例精炼

1.已知函数/(力=/一2办(。彳0).讨论“X)的单调性;

2.已知函数/(x)=lnx-gaf2.讨论/(x)的单凋性;

3.已知函数/(x)=2x3—以2+2,讨论/(力的单调性.

4.已知函数"x)=ax-l—lnx(aeR)，讨论函数/(x)的单调性.

5.已知函数/(同=(2。-1)1111一^—2依(aeR).当awO时，讨论函数/(x)的单

调区间.

6.已知函数/(》)=以2一(a+2)x+lnx+2.讨论函数/(%)的单调性.

答案和解析

1.【答案】解:/'(X)=3x2-2a(a*0),

当a<0时，/(£)>0恒成立，故f(x)在R上单调递增；

当a>0时，由/'。)>0得，x<—萼，或x>手，

由/'。)<0得，一萼<x<竽，

故此时f(x)的单调递增区间为(-8,-乎)，(子,+8),单调递减区间为(—萼，背马:

综上，当a<0时，/(x)在R上单调递增；当a>0时，/(乃的单调递增区间为

(_8,_手)，(等,+8),单调递减区间为(一手，子).

2.【答案】解：(1)因为函数/0)=111%-3b2,

所以f(x)的定义域为(0,+8),

所以1(%)=：-ax=

①当aW0时,f(%)>0,所以函数f(%)在(0,+8)上单调递增;

,f(x)>0,当xe[/,+8]时，fix')<0,

②当a>0时，当时

3.【答案】解：由题可得:/'(%)=6%2—2ax=2x(3x—a)

当aV0时，

在(-8谭),(0,+8)上,f(x)>0,

即f(X)在(一8,今,(0,+8)上单调递增；

在©,0)上，f(x)<0,

即/(x)在G，0)上单调递减；

当Q=0时,

在(-8,+8)上，f(X)>0,

即在R上单调递增;

当a>0时，

在(-8,0),©,+8)上，f(x)>0,

即/㈤在(-8,0),(1,+8)上单调递增;

在(0,今上，f(x)<0,

即/(%)在(0谭)上单调递减.

4.【答案】解：••・函数/(%)的定义域为(0,+8),/Q)=a-；=『，

当a40时，ax-1<0,从而/'(x)VO,故函数/(%)在(0,+8)上单调递减;

当a>0时，若0cx<：,贝Uax-l<0,从而/'(x)<0；

若x>：,贝iJax-l>0,从而/''(X)>0,

故函数在(0,；)上单调递减，在G，+8)上单调递增，

综上所述，当a40时，函数八x)在(0,+8)上单调递减；

当a>0时，函数/(x)在(0,，)上单调递减，在+8)上单调递增.

2

5.【答案】解：f'(x)=2^1+-1-2a=-2ax+(2a-l)x+l

_一(2ax+l)(x-l)、n

XL

①当a20时，2ax+l>0,

令［(x)>0,得0cx<1；令f'(x)<0,得x>1.

所以/(x)的增区间为(0,1),减区间为(L+8)；

②当a<0时，/'(X)=々就计钞x-1).x>o,

1。若白=-1,则a=-p八乃=与f>0恒成立，

所以的增区间为(0,+oo),无减区间；

2°若0<―；<1>则a<—：,

2a2

令/(x)>0>得。<xV—■或x>1；令f'(x)<0,得—;<X<1；

2a2a

所以f(x)的增区间为(0,-》(L+8),减区间为(_,1)；

1-1

3°若一:5->1,则一5<a<0,

2a2

令((%)>0,得0<X<1或%>一9令/(工)<0,得1<X<—

所以/(%)的增区间为(0,1),(—/，+8)，减区间为(1,一2).

6.【答案】解：由题知f(x)=ax2一(a+2)x+Inx+2,(%>0)

所以,(%)=2a、2(Q+2)X+I=(ax-l)(2x-l)=2虫—；)卜一》.

①当aWO时，若xe(0,g)，则/'(x)>0；若xeG，+8),则/(x)<0

所以f(x)在(0,打上单调递增，在a+8)上单调递减；

②当0<a<2时,，>义,若xe(吗)，则［(x)>0；若x€&!),则/'(©<0；若x6&+8),

则(Q)>0,

所以f(x)在(0,号上单调递增，在0,上单调递减，在+8)上单调递增；

③当a=2时，f(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增；

④当a>2时,；<若xe(*)，则/'(%)>0；若％6(另)则f'(x)<0；若无6&+8)，

则广>0,

所以/。)在(0,£)上单调递增；在上单调递减；在(；,+8)上单调递增.

综上，当aW0时，/(x)在(03)上单调递