2023-2024学年福建省莆田市涵江区锦江中学高三（上）第一次开学数学试卷（含解析）

2023.2024学年福建省莆田市涵江区锦江中学高三(上)第一次开学数

学试卷

一、单选题(本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={-3,—1,0,1,2,3,4},CRB={x|x<0或x>3},则ACB=()

A.0B.{-3,-1,0,4)C.{2,3}D.{0,1,2,3)

2.设a,b是实数,则“a>闻”是“历⑷+1)>ln(b2+1)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.下列求导运算正确的是()

xxz

A.(a+2)'=aB.=_x-3C.(伍2x)'=三D.(—cosx)=sinx

4.若曲线f(x)=:+kZnx(e是自然对数的底数)在点(e,k+l)处的切线与y轴垂直，则k=()

A.1B.—C.——D.—1

5.设x,yeR,向量益=(x,1,1),b=(l,y,1)-c=(2,-4,2),且&1冷b//c>则|,+山=.()

A.27~2B.C.3D.4

6.一袋中装有10个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲

盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为()

2137

-

--C

A.9B.3D.

1010

7.我国古代数学名著仇章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱

锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCC为阳马，平面ABCZ),且EC=2PE,若

DE=xAB+yAC+zAP>则x+y+z=()

A.1

B.2

8.已知函数y=/(x)对于任意的x6(*J)满足1(x)cosx+/(x)sinx>0(其中尸(x)是函数的导函数),

则下列不等式成立的是()

A./(O)>V-2/(5B.<2/(-5)>/(-=)

c.Cf⑨》&)D./(O)>2/(=)

9.如果a,b,c,dERf则正确的是()

2

A.若a>b,则工<7B.若Q>b,则Qc?>be

ab

C.若Q>b,c>d,则a+c>b+dD.若a>b,c>d,则ac>bd

二、多选题(本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求)

10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一

球放入乙罐，分别用事件4，4和4表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一

球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是()

A.P(B)*B・P(B|4)=卷

C.事件8与事件&相互独立D.A】，42,4是两两互斥的事件

11.已知关于％的不等式a/+"+cNO的解集为｛x|x43或不之4｝,则下列结论中，正确结论的序号是()

A.a>0

B.不等式b%+c<0的解集为｛%[%<—4｝

C.不等式c/一加:+Q<0的解集为｛%忱<一；或%>|)

D.a+b+c>0

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

12.已知若正数a、b满足a+b=l,则2+上的最小值为.

13.10件产品中有7件正品，3件次品，则在第一次抽到次品条件下，第二次抽到次品的概率.

14.已知随机变量f服从二项分布f〜则P(f=2)=.

15.某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品而要再增加可变成本

C(x)=200x+表/(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，则该厂生产件这种产品时，可获

得最大利润元.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题10.0分)

已知函数f(%)=x3—ax2.

(1)若((1)=3,求函数f(x)在区间［0,2］上的最大值；

(2)若函数f(x)在区间［1,2］上为增函数，求实数a的取值范围.

17.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P-4BCO的底面是矩形，PO_L底面ABC。，PD=DC=2,AD=2^,M为BC的中点.

(1)求直线BD与平面4PM所成角的正弦值;

(2)求。到平面4PM的距离.

18.(本小题12.0分)

甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛.设各局比赛的结

果相互独立，每局比赛甲赢的概率为|,乙赢的概率为全

(1)求甲获胜的概率；

(2)设X为结束比赛所需要的局数，求随机变量X的分布列及数学期望.

19.(本小题12.0分)

如图，在三棱台ABC-AiBiG中，若人14-L平面ABC,ABA.AC,AB=AC=AA1=2,=1,N为AB中

点，M为棱BC上一动点(不包含端点).

(1)若M为BC的中点，求证：&N//平面RAM；

(2)是否存在点M,使得平面GMA与平面4CG4所成角的余弦值为《？若存在，求出BM长度；若不存在，

6

请说明理由.

20.(本小题12.0分)

为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的2x2列联表:

已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为|.

(1)请将上面的2x2列联表补充完整(不用写计算过程)；

(2)试根据小概率值a=0.05的独立性检验，分析喜爱打篮球与性别的关系；

(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X,求X的分布列与均值.附：*2=

2

(a+b)流溜其中…2

a0.1000.0500.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

21.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=x—alnx.

(1)求f(%)的单调区间;

a

(2)若y=f(x)有两个零点，记较小零点为%o，求证：(a-l)x0>-

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：,：CRB={x\x<0或%>3],B={x|0<x<3},

：.AnB={0,1,2,3},

故选：D.

先由CRB求出集合B,再利用集合的交集运算求解.

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解:若a>|b|,]H!)a2>b2,ln(a2+1)>ln(62+1),

Sln(a2+1)>ln(d2+1),则&2+1>炉+1,即|a|>|b|,当a<0时，推不出a>网,

所以“a>闻”是“ln(a2+1)>ln(h2+1)”的充分不必要条件.

故选:A.

根据对数函数的单调性以及充分不必要条件的定义可得答案.

本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解:对于4,(ax+2)z=axlna,故A错误；

对于B,(X-2)，=-2X-3,故B错误；

对于C,Si2x)'=；x2=]，故C错误；

vy2xx

对于(―cosx)z=sinx,故。正确.

故选：D.

根据导数的公式即可得到结论.

本题主要考查了导数的计算，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：由/(*)=5+依但得尸(%)=一.+[,

根据题意有f'(e)=—£+(=0,解得k=l.

故选：A.

根据导数的几何意义与直线垂直的关系求解即可.

本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解

能力，属于中档题.

利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出x,y,再由平面向量坐标运算法则求出,+3,由此能求

出m+/i.

【解答】

解：设X，yGR,向量2=(x,1,1),b=(l,y,1)>1=(2,-4,2),

Jia1c,b//c>

加(2xT—4+2=0,解得｛1i

.-.a+b=(1,1,1)+(1,-2,1)=(2,-l,2)>：.\a+b\=V4+1+4=3.

故选：C.

6.【答案】C

【解析】解：一袋中装有10个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后

任取一个盲盒，记事件4B分别表示甲、乙取到的是玩具盲盒，

则由题意得P(4)=白P(A)=P(B|A)=|,P(B|X)=|,

32713

X+_X

所以P(B)=P(AB)+P(AB)=PQ4)P(B|A)+P(A)P(B|A)=

101010

--

故选：C.93

根据全概率公式结合已知条件求解即可.

本题考查全概率公式相关知识，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：如图，四棱锥P—ABCO为阳马，

P41平面ABCC,且EC=2PE,DE=xAB+yAC+zAP>

因为EC=2PE,所以两=g同，

所以屁=AE-AD=AP+PE-AD

一］一一

=AP^^PC-AD

=而+可靠―丽一而

2一］一一

=+可4。一/0

2_,1_k_k

=g/P+可4c—（AC+CD）

2一2一一

=^AP-^AC-CD

=1AP-jAC+AB,

X=1

y=-3,贝H+y+z=1.

{z=|

故选：A.

根据空间向量线性运算法则计算可得.

本题考查空间向量线性运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

8.【答案】C

【解析】解：令g（x）=3,（—55）,

八/COSX22

因为对于任意的％e（一精）满足/'。）孙工+/'（%力出%＞0,

则自如串3如＞0,

八/cos"

所以g（x）在（一工）上单调递增，

。（。）〈9（〉即缁〈学，

4

所以/（0）＜/句（力，A错误；

9（冶）＜9（-/即磊＜孰，

所以，句（冶）＜/（一》B错误,

g©）＞g©），即裳〉岁，

34COSoCOS-r

34

所以CG）＞W）,c正确；

仪。）＜婿），即缁（普

所以/（0）＜2/©）,。错误.

故选：c.

结合已知选项可考虑构造函数g(x)=嫖，结合导数可判断函数单调性，进而可比较函数值

大小.

本题主要考查了利用导数判断函数单调性，比较函数值大小，解题的关键是函数的构造，属于中档题.

9.【答案】C

【解析】解：对于4,令a=l,b=-l,满足a>b,但工>：,故A错误，

ab

对于B,当c=0时，ac2=be2,故B错误，

对于C,a>b,c>d,

由不等式的可加性可得，a+c>b+d,故C正确，

对于。，令a=1,b=—1,c=1,d=—1,满足a>b,c>d,但ac=bd,故O错误.

故选：C.

根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：依题意得「(4)=卷=今P(&)=^=",P(4)=卷，

则P(B|4)=V，故B正确；

P(B|4)=奈4,P(B&)=强4

所以P(B)=P(Ai)P(B|4)+P(A2)P(B\A2)+P(&)P(B|A3)

.—r^々，

=21Xl5T+51Xi4l+l30Xl4T=292,故从不正-p-7确；

因为P(B4)=急1T=£,P(4)P(B)=打盘=卷,P(84)"P(4)P(B),

所以事件8与事件&不相互独立，故C不正确；

根据互斥事件的定义可知乙，A2,4是两两互斥的事件，故力正确.

故选：BD.

根据条件概率公式计算可知3正确;根据全概率公式计算可知4不正确;根据计算可知P(B&)丰P(&)P(B),

故C不正确；根据互斥事件的定义可知。正确.

本题主要考查条件概率公式，属于基础题.

11.【答案】AD

【解析】解：不等式a/4-Z?x+c>0的解集为｛%［%<3或%>4｝,

所以Q>0,且3和4是方程a/+力％+。=。的两根，选项A正确；

［3+4=--

由根与系数的关系知，《c%所以b=-7a,c=12a,

（3x4=a

所以不等式bx+c<0可化为一7x+12<0,解集为｛巾>券｝,选项B错误；

不等式c/一^久+a<0可化为12/+7x+1<0,解集为｛x［x<或x>—上｝,选项C错误；

因为不等式a/+匕％+c20的解集为｛x|xW3或x24｝,所以x=1满足不等式，即a+b+c>0,选项£）

正确.

故选：AD.

根据不等式ax?+bx+c20的解集得出a>0,且3和4是方程a/+bx+c=0的两根，由根与系数的关系

得出b、c与a的关系，再判断选项中的命题是否正确.

本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是基础题.

12.【答案】/

【解析】解：因为正实数a、b满足a+b=l,

所以ab4（竽）2=；,当且仅当。=6=；时，等号成立；

又为+b^2=l（2+高）陵。+2）+他+2）］="（2+震+鬻）>1•（2+器.骸=击

当且仅当窸=喀，即a=b=J时，等号成立.

b+2a+22

故答案为：

根据题中条件，由与+与=:（2+与）Ka+2）+（b+2）］,展开后，利用基本不等式，即可求出结果.

a+2b+25、Q+2b+2yLVyvZJ

本题考查了基本不等式的应用，难点在于将原式子变化成：（』+士）［（a+2）+（6+2）］,属于中档题.

13.【答案】I

【解析】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；

则第二次抽到次品的概率为余

故答案为|.

根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案.

本题考查概率的计算，解题时注意题干“在第一次抽到次品条件下”的限制.

14.【答案】捺

【解析】解：•・•§〜B(43)表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为，

・•・P(f=2)=废x©2x(|)2=捺.

故答案为：亲

根据二项分布的概率公直接求解即可.

本题考查二项分布相关知识，属于基础题.

15.【答案】609500

【解析】解：设该厂生产“件这种产品的利润为〃久)元，

由题意可得生产x件的收入为500%元，总成本为25000+C(x)=2500+200x+2炉元，

DO

则"%)=500%-2500-C(x)=300%一白炉-2500,x€N”,

DO

则Z/(x)=300-今—令//(X)=0,得x=60,

当0<x<60时,L'(x)>0,L(x)单调递增；

当欠>60时，L\x)<0,L(x)单调递减，

可得％=60是函数〃%)的极大值点，也是最大值点，

则当x=60时,利润最大为"60)=300x60-表x603-2500=9500元.

故答案为:60；9500.

设该厂生产x件这种产品的利润为L(x)元，由利润等于收入减去成本，可得LQ)的解析式，运用导数可得L(x)

的最大值和对应的x的值.

本题考查函数在实际问题中的应用，以及导数的运用，考查运算能力，属于中档题.

16.【答案】解：(l)/'(x)=3刀2一2以，因为f'(l)=3,所以3-2a=3,所以a=0,

f'(x)=3x2>0,在［0,2］上恒成立，所以函数/(x)在区间［0,2］上单调递增，

所以/(X)max=/(2)=8;

(2)因为函数/(x)在区间［1,2］上为增函数，

所以1(%)=3x2-2ax>0在［1,2］上恒成立，

所以a<|x在［1,2］上恒成立，所以a<|.

实数a的取值范围为(-8,|］.

【解析】(1)先对函数求导，根据((1)=3求出a=0,根据函数f(x)的单调性即可得；

(2)根据题意知f'(x)>0,分离参数即可得.

本题考查利用导数研究函数单调性求最值，属于基础题.

17.【答案】解：(1)以。为坐标原点，DA,DB,DP所在直线分别为％轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

如图，

则£)(0,0,0),B(2S,2,0)P(0,0,2),4(2<7,0,0),M(<7,2,0),

：.DB=(2S,2,0)，设平面4PM的法向量为记=(x,y,z),

PA=(2<^,0,-2).MA=(<7,-2,0)，

贝倬寝楼二取丫=匕得"(EZ，

/福一\-而灰_______2<7xn+2xl+0x2_________

'宿J(2>T2)2+22+02XJ(AT2)2+12+22

•••直线BD与平面APM所成角的正弦值为手；

(2)由(1)可知平面4PM的法向量为日=(，々1,2),DP=(0,0,2)，

d=|^p|=今「，D到平面4PM的距离为

【解析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；

(2)利用空间点到直线距离公式进行求解即可.

本题考查线面角、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

18.【答案】解：(1)由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为匕=(|)3=捺,

比赛四局且甲获胜的概率为P2=鬣(|)2x(1-1)x|=捺，

比赛五局且甲获胜的概率为P3=废(|)2X(1-|)2X|=g,

所以甲获胜的概率为P=Pl+P2+P3=44+霁=翳.

(2)随机变量X的取值为3,4,5,

则p(x=3)=(|)3+(j)3=l，

P(X=4)=谶(|)2X；X|+C^)2X|X*3+'=3

P(X=5)=底(|)2x©)2=A,

所以随机变量X的分布列为：

X345

1108

P(X)

32727

则随机变量X的数学期望为E(X)=3xg+4x染+5x，=当.

【解析】(1)由题意分别求得三局、四局、五局比赛甲获胜的概率，然后相加可得甲获胜的概率；

(2)由题意可知X的取值为3,4,5,计算相应的概率值可得分布列，进一步计算数学期望即可.

本题主要考查事件的独立性，离散型随机变量及其分布列，分布列的均值的计算等知识，属于基础题.

19.【答案】解：(1)证明：分别取4B中点N,连接MN,

则MN为AaBC的中位线，

MN//AC,MN=\AC=1,

又4G=1,4C〃&6，

MN〃&G，MN=&G，

四边形MM41cl为平行四边形，

:.A\N"C\M,乂4NC平面GMA,GMu平面GM4

•••AN〃平面GM4.

(2)以4为坐标原点，荏，而，标正方向为x,y,z轴，建系如图,

•••=(0,1,2)，BC=(-2,2,0)，AB=(2,0,0)，

设的=4近(0<4<1)，则丽=(一2尢2尢0)，

：.AM=AB+BM=(2-2X,2X,0)，

令平面GM4的法向量为元=(x,y,z),

则回7-n=y+2z=0,

IXn=(2A,2A-2,1-2)；

(AM-n=(2-2A)x+2Ay=o'

又易知平面ACGa的一个法向量记=(1,0,0),

.•.[85(记,元)]=黯=|2A|£6

J4A2+4(A-1)2+(1-A)2了,

解得2=3或；1=一1(舍),

A^M=|BC,A|^M|=1|BC|=^,

•3□□

即BM的长为亨.

【解/斤［(1)取AB中点N,易证得四边形MN&Ci为平行四边形，得到&N〃GM,由线面平行的判定可证得

结论；

(2)以4为坐标原点建立空间直角坐标系，设的=2元(OCA<1),根据面面角的向量求法可构造方程求

得;I的值，由此可得结果.

本题考查线面平行的证明，向量法求解面面角问题，化归转化思想，方程思想，属中档题.

20.【答案】解：(1)由题意得，喜爱打篮球的人有48x|=32人，则喜爱打篮球的男生32—10=22人，男

生共22+6=28人，

则女生48-28=20人，不喜爱打篮球的女生20-10=10人,

可得如下2x2列联表：

喜爱打篮球不喜爱打篮球合计

男生22628

女生101020

合计32