2023年江苏省盐城市中考数学练-5三角形

2023年江苏省盐城市中考数学专题练一一5三角形

选择题（共8小题）

1.（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1,A,B两点都在小方格的顶点上，点

C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

一副三角板如图放置，则/I的度数为（）

B.60°C.65°D.75°

3.（2022•亭湖区校级一模）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则/a的大小为（）

4.（2022•东台市模拟）如图，点£、/在AC上，AD=BC,DF=BE,要使△AOP之△CBE,

还需要添加一个条件是（）

A.AD//BCB.DF//BEC.ZA=ZCD./D=NB

5.（2014•盐都区二模）如图，AABC,AB^AC,BD=CE,BE=CF,若NA=50°,则

/OEF的度数是（）

A

D

BRC

A.75°B.70°C.65°D.60°

6.（2021•东台市模拟）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中Na的度数是（）

△

A.105°B.75°C.110°D.120°

7.（2021•盐都区二模）如图，在直角△ABC中，ZCAB=90°,ZABC=70°,AD是/

C48的平分线，交边BC于点。，过点C作△AC。中A。边上的高线CE,则NEC。的

8.（2021•亭湖区一模）如图，已知△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,AC的垂直平分线

交AB于点。，垂足为E,连接C。，则的长为（）

二.填空题（共9小题）

9.（2022•盐城一模）如图，己知RtZXABC中，NABC=90°,AB=BC=4,过点A作A。

LAC交AB的平行线CO与点。，尸为AC上一动点，E为。F中点，连接BE,则BE的

最小值是

DC

10.（2022•东台市模拟）在“三角尺拼角”实验中，小聪同学把一副三角尺按如图所示的方

式放置，则Na=

11.（2022•射阳县一模）如图，点A,B,C,。在。。上，OA1BC,垂足为E.若NAZJC

12.（2022•盐城一模）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°，点。是43的中点，过点。

作。E_LBC,垂足为点E,连接CZ）,若CO=5,BE=4,贝！IAC=.

13.（2022•建湖县一模）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分线分别交

AB.BC于点D、E,若AC=5cm,BC=12cm,则△ACD的周长为cm.

c

14.（2022•建湖县一模）如图，AE//DF,AE=DF.添加下列条件中的一个：①AB=C£»；

②EC=BF；③NE=/F；©EC//BF.其中能证明△ACE0/XOBF的是.（只

填序号）

15.（2022•滨海县模拟）如图所示的网格是正方形网格，则/BAC+NCZ）E=（点A,

B,C,D,E是网格线交点）.

16.（2021•建湖县二模）若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则

该等腰三角形的腰长为cm.

17.（2021•建湖县一模）如图，△ABC中，8。平分/ABC,CDLBD,垂足为。，E为AC

中点.若AB=10,BC=6,则。E的长为.

18.（2022•建湖县二模）已知：如图，AB=DC,AC=DB,AC和8。相交于点。.点M是

的中点，连接0M.

(1)求证：AABC丝LDCB；

(2)求N3M。的度数.

19.(2022•建湖县二模)［问题情境］小春在数学活动课上借助几何画板按照下面的画法画出

了一个图形：

如图1,点C是线段上一点，分别以AC、AB为底边在线段A8的同侧作等腰三角形

ACP、等腰三角形AB。，PC、AQ相交于点D当尸、。、2在同一直线上时，他发现：

NB4Q=NCPB.请帮他解释其中的道理；

［问题探究］

如图2,在上述情境下中的条件下，过点C作CE〃A尸交尸8于点E,若PD=2CD,PA

=9,求CE的长.

［类比应用］

如图3,ZVIBC是某村的一个三角形鱼塘，点。、E分别在边43、8C上，AE,CD的交

点厂为鱼塘的钓鱼台，测量知道NCAO=NC/M=67.5°,NCEA=2NB,AD2^(40000

-20000V2)m2,且。B=2AO.直接写出C尸的长为m.

20.(2022•盐城一模)【问题背景】

在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣.

教材原题：如图1,BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点.点、B、C、D、E是否在以

点M为圆心的同一个圆上？为什么？

小军在完成此题解答后提出：如图2,若BD、CE的交点为点O,则点A、。、。、E四

点也在同一个圆上.

(1)请对教材原题或小军提出的问题进行解答.(选择一个解答即可)

A

【直接应用】

当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三

角形的三条高所在直线交于同■点，可通过上面的结论加以解决.

（2）如图3,△ABC的两条高8。、CE相交于点0,连接A0并延长交于点尺

求证：AF为△A8C的边8c上的高.

【拓展延伸】

在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：

（3）在（2）的条件下连接DE、EF、FD（如图4）,设/。£/=a,则/A08的度数

为.（用含a的式子表示）

21.（2022•建湖县一模）如图，点。、E分别为△ABC的边AC、的中点，连接。E.

求证：

(1)DE//AB-,

1

(2)DE=^AB.

E

AB

22.(2022•建湖县一模)如图，等腰△ABC中，AB=AC,ZBAC^36°,以C为旋转中心,

顺时针旋转△ABC到位置,使点A落在BC边的延长线上的E处,连接和BD.

(1)求证：AADC2ABCD；

(2)请判断AABE的形状，并证明你的结论.

23.(2021•盐城二模)如图，A8是。。的直径，点。、E在。。上，连接AE、ED、DA,

连接BD并延长至点C,使得/DAC=ZAED.

(1)求证：AC是OO的切线；

(2)若点E是防的中点，AE与BC交于点R

①求证：CA=CF-,

②若O。的半径为3,BF=2,求AC的长.

24.(2021•滨海县一模)如图，在△ABC中，NB=NC,过BC的中点。作。E_L4B,DF

LAC,垂足分别为点E、F.

(1)求证：DE=DF-,

(2)若NBDE=55°,求NBAC的度数.

2023年江苏省盐城市中考数学专题练一一5三角形

参考答案与试题解析

选择题（共8小题）

1.（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1,A,8两点都在小方格的顶点上，点

C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：如图，C点与尸、。、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形,

，、

,、

，、

/、

;________目―--

，—1

、

1

1

L二—一1

1

11

\t

\»

\/

\/

\/

、、✓Z

-------

故选：C.

2.（2022•盐城一模）一副三角板如图放置,则N1的度数为（）

A.45°B.60°C.65°D.75°

【解答】解：・・•三角板是一副，

：.ZECD=45°,ZADC=60°.

・•・ZCFZ)=180°-ZECD-ZADC

=180°-45°-60°

=75°.

AZ1=75°.

故选：D.

3.（2022•亭湖区校级一模）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则Na的大小为（）

A.105°B.75°C.65°D.55°

【解答】解：由三角形的外角性质可知：Za=30°+45°=75°,

故选：B.

4.（2022•东台市模拟）如图，点E、歹在AC上，AD=BC,DF=二BE,要使△AO尸也△C3E,

还需要添加一个条件是（）

?

BC

A.AD//BCB.DF//BEC.NA=NCD.ZD=ZB

【角军答】解：/D=/B,

理由是：・・・在△A0b和△C3E中

AD=BC

Z-D=乙B,

、DF=BE

：.AADF^△CBE（SAS）,

即选项D正确;

具备选项A、选项5,选项C的条件都不能推出两三角形全等,

故选：D.

5.（2014•盐都区二模）如图，△ABC中，AB=AC,BD=CE,BE=CF,若NA=50°,则

跖的度数是（）

A.75°B.70°C.65°D.60°

【解答】解：・.・A3=AC,

AZB=ZC,

在△QBE和△£0月中，

BD=EC

Z-B—Z-C,

、EB=CF

:.ADBEmAECF(SAS),

J/EFC=/DEB,

VZA=50°,

AZC=(180°-50°)4-2=65°,

，/CFE+NFEC=180°-65°=115°,

：.ZDEB+ZFEC=n5°,

：.ZDEF=180°-115°=65°,

故选：C.

6.（2021•东台市模拟）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中Na的度数是（）

B.75°C.110°D.120°

【解答】解：由题意得Nl=90°-60°=30°,

60。

八45。0

VZa=45°+Z1,

・・・Na=450+30°=75°,

故选:B.

7.（2021•盐都区二模）如图，在直角△ABC中，NCA8=90°,ZABC=70°,AD是N

C4B的平分线，交边BC于点。，过点C作△ACD中AZ）边上的高线CE,则NEC。的

【解答】解：・・・NCAB=90°,是NC48的角平分线，

1

：.ZCAD=ZBAD=^ZCAB=45°,

VCE±AZ）,

：.ZECA=ZCEA-ZCAE=45°,

9：ZBCA=ZCAB-ZB=20°,

：.ZECD=ZACE-ZBCA=25°,

故选：C.

8.（2021•亭湖区一模）如图，已知△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,AC的垂直平分线

交AB于点D,垂足为E,连接CD,则CD的长为（）

【解答】解：・.・A8=10,AC=8,BC=6,

:.BC1+AC2=AB2,

△ABC是直角三角形，

是AC的垂直平分线，

：.AE=EC=4,DE//BC,且线段DE是△ABC的中位线,

:.DE=3,

：.AD=DC^y/AE2+DE2=V32+42=5.

故选：D.

二.填空题（共9小题）

9.（2022•盐城一模）如图，已知Rt^ABC中，ZABC=9Q°,AB=BC=4,过点A作AD

，AC交AB的平行线CD与点。，尸为AC上一动点,E为。尸中点，连接8E,则BE的

最小值是_^V2_.

DC

AB

【解答】解：连接AE,如图，

DC

A6

VZABC=90°,AB=BC=4,

：.ZCAB=ZACB=45°,

9：CD//AB,

：.ZDCA=ZCAB=45°.

VDA±Z）C,E为DF中点,

1

：.AE=*DF=EF,

：.ZEAF=ZEFA9

丁厂为AC上一动点，

：.ZEFA^ZACDf

：.ZEFA^45°.

：.ZEAF^45°,

：.ZEAB=ZCAB+ZEAF^9Q0.

...当N£AB=90°时，BE取得最小值，

当/EAB=90°时，/与C重合，此时AE=BA=4,

：.BE=y/AE2+BA2=4V2.

故答案为：4V2.

10.（2022•东台市模拟）在“三角尺拼角”实验中，小聪同学把一副三角尺按如图所示的方

式放置，则/a=15。.

【解答】解：由三角形的外角的性质可知，Na=60°-45°=15°,

故答案为：15.

11.（2022•射阳县一模）如图，点A,B,C,。在OO上，OA_LBC,垂足为E.若NAOC

'：OA±BC,OA过圆心。，BC=4W，

：.ZOEC=90°,CE=BE=2-43,

VZADC=30°,

AZAOC=2ZADC=60°,

CP

・・・sinNAOC=浣，

・._2/3

・・sinoU—0Q,

解得：OC=4,

VZBCO=90°-60°=30°,

1

：.OE=^OC^2,

；.AE=4-2=2,

故答案为：2.

12.（2022•盐城一模）如图，在Rt/XABC中，ZACB=90°，点。是AB的中点，过点。

作。E_L8C,垂足为点E,连接C。，若CO=5,BE=4,贝I]AC=6.

【解答】解：'：ZACB=90°,DELBC,

J.DE//AC,

:点。是A8的中点，

是8C的中点，AB=2CD=10,

：.BC=2BE=S,

：.AC=yjAB2-BC2=6,

故答案为6.

13.（2022•建湖县一模）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分线分别交

AB.BC于点D、E,若AC=5c〃z,BC=12cm,则的周长为18cm.

【解答】解：在RtZXABC中，ZACB=90°,AC^5cm,BC=12cm,

.'.AB=yjAC2+BC2=V52+122=13(cm),

是8c的垂直平分线，

:.CD=BD,

.♦.△AC。的周长为：AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB=5+13=18(cm),

故答案为：18.

14.(2022•建湖县一模)如图，AE//DF,AE=DF.添加下列条件中的一个：①AB=CD；

②EC=BF；③/E=/F；®EC//BF.其中能证明△ACE四△OB尸的是①③④.(只

填序号)

ZA=ZD,

：.AB+BC^DC+BC,

即AC=DB,

AE=DF,NA=NDAC=。8符合全等三角形的判定定理SAS,能推出

故①正确；

②根据AE=£）RNA=/£＞和£C=8厂不能推出△ACE0△DBF,故②错误；

®ZA=ZD,AE=DF,/E=/F,符合全等三角形的判定定理ASA,能推出△ACEg

△DBF,故③正确；

@'：EC//BF,

:./ECA=NFBD,

ZECA=ZFBD,ZA=ZD,AE=DF,符合全等三角形的判定定理A4S,能推出AACE

乌△DBF,故④正确；

即正确的有①③④，

故答案为：①③④.

15.（2022•滨海县模拟）如图所示的网格是正方形网格，贝i]NBAC+/CZ）E=45°（点

A,B,C,D,E是网格线交点）.

【解答】解：设小正方形的边长是1,连接A。,

"."AD=V32+I2=V10,CD=Vl2+32=V10,AC=V42+22=V20,

：.AD=CD,AD2+CD2^AC2,

：.ZA£)C=90°,

即△AOC是等腰直角三角形,

：.ZDAC=ZDCA=45°,

,:AB〃DE,

：.ZBAC+Z£>AC+ZCZ）£=180°,

AZBAC+ZCDE=45°,

故答案为：45°.

16.（2021•建湖县二模）若一条长为32c根的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则

该等腰三角形的腰长为12cm.

【解答】解：若腰长为8。小，则此三角形的另一边长为32-8-8=16（cm）,

而8+8=16,无法构成三角形，

此情形舍去；

若底边为8c»i,则腰长为（32-8）+2=12（cm）,

此时12+12>8,12+8>8,可以构成三角形.

故答案为：12.

17.（2021•建湖县一模）如图，ZkABC中，80平分/ABC,CD±BD,垂足为。，E为AC

中点.若AB=10,BC=6,则。E的长为2

D

B----------------C

【解答】解：延长CD交A3于凡

在ABDC和△50尸中，

'NDBC=NDBF

BD=BD，

/BDC=乙BDF=90°

:ABDC名ABDF(ASA),

：.BF=BC=6,CD=DF,

：.AF=AB-BF=4,

♦；CD=DF,CE=EA,

1

：.DE=5A尸=2,

18.（2022•建湖县二模）已知：如图，AB=DC,AC=DB,AC和相交于点。点M是

的中点，连接OM.

（1）求证：△A8C也△QC&

【解答】（1）证明：在△A8C和△0C3中,

AB=DC

AC=DB,

CB=BC

:.LABC丝ADCBCSSS).

(2)解：由(1)得：NOBC=NOCB,

...△BOC是等腰三角形.

:点M是8C的中点，

J.OMLBC,

：.ZBMO^90°.

19.(2022•建湖县二模)［问题情境］小春在数学活动课上借助几何画板按照下面的画法画出

了一个图形：

如图1,点C是线段上•点，分别以AC、43为底边在线段AB的同侧作等腰三角形

ACP.等腰三角形AB。，PC、AQ相交于点D当P、。、2在同一直线上时，他发现:

NB4Q=NCP艮请帮他解释其中的道理；

［问题探究］

如图2,在上述情境下中的条件下，过点C作CE//AP交PB于点E,若PD=2CD,PA

=9,求CE的长.

［类比应用］

如图3,AABC是某村的一个三角形鱼塘，点。、E分别在边AB、BC上，AE,CD的交

点尸为鱼塘的钓鱼台，测量知道NCAO=NC/M=67.5°,NCEA=2/B,AD2=(40000

一,200A/2

-20000V2)机2,且。B=2AD直接写出CF的长为m.

图1图2图3

【解答】解：（1）-：AP=PC,AQ=BQ,

：.ZPAC=ZPCA,ZB=ZQAB,

■:NPCA=/B+/CPB,ZPAC=APAQ+AQAB,

：.ZPAQ=ZCPB；

（2）由（1）可知，ZB\Q=ZCPB,

：.ZFAD=ZCPEf

•：PD=2CD,PC=9,

2

AB4=PC=9,PD=$C=6,

9：CE//PA,

：.NAPD=/PCE,

在△B4。和△门£1中，

fZPAD=NCPE

'AP=PC，

^APD=(PCE

：.APAD^/\CPE(ASA),

：.CE=PD=6；

(3)过点。作OHLAC于点H,

ZCAD=ZCDA=61.5°,

：.AC=CD,ZACD=180°-ZCAD=ZCDA=45°,

在RtACDH中,sinZACD=罂=孝=5，

/.CD=42DH,

设DH=k,则AC=CZ)=V^t,CH=k,AH=AC-CH=(V2-1)k,

在Rt^AQ”中，AD1=AH2+DH2,

/.40000-20000V2=(V2-l)2fc2,

解得,左=100,

/.AC=100V2(m),

过点D作QG〃AC交3C于G,

图3

••.△DGBs^ACB,

.DGDB2

"AC~AB~

.DG2

e，100V2-3’

.八一200-（、

・•D（J—（机），

由［问题探究］可知△必。丝△“£1,

...b=OG=孚企（机），

20.（2022•盐城一模）【问题背景】

在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣.

教材原题：如图1,BD、CE是AABC的高，M是8C的中点.点8、C、D、E是否在以

点M为圆心的同一个圆上？为什么？

小军在完成此题解答后提出：如图2,若BD、CE的交点为点O,则点A、。、。、E四

点也在同一个圆上.

（1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答.（选择一个解答即可）

当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三

角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决.

（2）如图3,AABC的两条高8。、CE相交于点O,连接AO并延长交8C于点E

求证：AF为△A8C的边8C上的高.

B

图3图4

【拓展延伸】

在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：

（3）在（2）的条件下连接。E、EF、FD（如图4）,设/。EF=a,则乙4。8的度数为90°

1

+万a.（用含a的式子表示）

【解答】解：（1）选择教材原题，

点8、C、。、E是否在以点〃为圆心的同一个圆上.

如图，连接ME、MD,

,:BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，

：.ME=MB=MC=MD,

...点8、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上.

（2）如图，连接DE,由点8、C、。、E四点共圆得

由点A、D、0、E四点共圆得

:.NECB=NBAF,

,：ZBEC=9Q°,

：.ZECB+ZABF^9Q°,

：.ZBAF+ZABF^9Q°,

：.ZBFA^90°,

：.AF为LABC的边8C上的高.

（3）如图，•；NBEO=/BFO=90°,

...点8、F、0、E在以点N为圆心的同一个圆上，

：.ZFBO=ZFEO,

:由（1）证得点3、C、D、E在同一个圆上，

：.ZFBO=ZCED,

：.ZFEO=ZCED,

同理可证：/EFO=/AFD,/EDO=/FDO,

.•.点。是△DEF的内心.

1

/.ZAOB=9Q°+ja.

21.（2022•建湖县一模）如图，点。、E分别为△ABC的边AC、8c的中点，连接。E.

求证：

⑴DE//AB-,

【解答】证明：（1）延长DE至点凡使EF=DE,连接8R

B

•・•点石为的中点，

CE=BE,

•；/CED=NBEF,

:•△CDEWXBFE(SAS),

:・CD=FB,ZC=ZFBC,

：.BF//AC,

丁点。为AC的中点，

JCD=ADf

：.AD=BF,

・•・四边形ABFD是平行四边形,

：.DE//AB；

（2）由（1）知：四边形45尸。是平行四边形,

：.DF=AB.

■:DE=EF,

1

：.DE=^DF,

1

：.DE="B.

22.（2022•建湖县一模）如图，等腰△ABC中，4B=AC,ZBAC=36°,以C为旋转中心,

顺时针旋转AABC到△OCE位置,使点A落在BC边的延长线上的E处，连接AD和BD.

（1）求证：△AOC注△BCD；

（2）请判断△ABE的形状，并证明你的结论.

【解答】解：（1）证明：：等腰△ABC中，AB=AC,N2AC=36°,

A