2022-2023学年上海市徐汇中学八年级上学期期中考数学试卷含详解

徐汇中学2022学年初二年级第一学期

期中考试数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分）

1.下列根式中，最简二次根式有（）个.

,3>/ab,yja2+b2,\ln2+2n+1>\la2-b2>V12,A/91

2.下列各式中是-氏方&有理化因式的是（）

B.byjx-ay[yC.a4x-by]y

3.下列二次三项式在实数范围内一定能因式分解的是（）

x2+2x+3B.x2—2x—mC.X2-2x-m3x2-4孙+5），

4.若=则a的取值范围为（

2

a>~B.0WaW—一切实数

22

5.已知48c为等腰三角形，已知它的两条边的长度分别是方程2d-7x+5=0的两个

根，那么该三角形的周长是（）

9

A.]或6

6.下列命题的逆命题是假命题的是（）

A.直角三角形的两个锐角互余

B.两直线平行，内错角相等

C.三条边对应相等的两个三角形是全等三角形

D.若》=九则/=/

二、填空题（本大题共12小题，每空2分，满分24分）

7.如果二次根式而斤有意义，那么实数。的取值范围是.

8.化简：y]50a2b5（a>0）=.

9.已知a=2-君则。的倒数为.

10.在实数范围内因式分解：2X2-X-5=.

11.不等式gx-5>2x的解集是.

12.如果关于x的一元二次方程f+3x-2〃?=0没有实数根，那么，〃的取值范围是—

13.命题“同旁内角相等，两直线平行”是（填“真”或“假”）命题.

14.如果最简二次根式，Y+7与2j4x+3是同类二次根式,则x的值是.

15.如图，在二ABC中，AB=AC,。_1,钻，点。为垂足，请写出NA与N8CZ）的

数量关系.

Br

16.如图在△ABC中，AB^AC,BF=CD,BD=CE,NFDE=70°,那么/A=

17.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在边AB上的点E处，点B落在点。

处，联结8。，如果ND4C=N£>BA,那么N8AC=_度.

18.设a为△+卡-亚的小数部分，方为J6+36-J6-30的小数部分，则>—

值为.

三、计算题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）

19.计算：6A/05-4H-A/48|

123’18

4

解方程:(2x7)2—(「2x)=0

2

23.解方程：3X2-2X-7=O

试卷第2页，共3页

24.已知》=号方，求代数式彳产的值.

四、解答题(本大题共4小题，25题8分，26题、27题6分，28题14分,

满分34分)

25.已知关于x的方程x2-(2机-2)x+/=o有两个实数根.

(1)求m的取值范围;

(2)当m取最大非零整数时，求方程的两个根.

26.将进货单价为100元的商品按120元售出时，能卖出500件.已知这种商品每涨I

元，其销售量就减少10件.如果希望能获得利润12000元，售价应定多少元？这时应

进货多少件？

27.如图，在二ABC中，C£>是/C的角平分线，NA=2N3,求证：BC=AC+AD.

28.如图，在，ABC中，点。是射线A3上的动点，满足CELCD且CE=a>.

(1)如果C4=CB,NACB=90°,

①当点。在线段A8上，如图1,线段席、之间的数量关系是,位置关

系是.

②当点。在线段A8上，如图2,如果线段OE与BC相交于点F,当BE=8尸时，求

/AC。的大小.

③当点O在线段4B的延长线上，如图3,①的结论是否成立，为什么？

(2)如果C4#CB,NACBW90。，当点。在线段A8上运动时，尝试探究：当NA5C的

度数是多少时，可得(点8与E重合除外)？请说明理由.

1.c

【分析】最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的

因数或因式，据此解答即可.

【详解】解：J^=>，"2+2〃+]=+=]〃+",V12=2>/3,

故3\/^,y/a2+b2>Ja2-b。,是最简二次根式，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键.

2.B

【分析】利用平方差公式，进行计算即可解答.

【详解】观察各选项，只有B选项中有一项与所给式子中一项的符号相同，另一项符号相

反，

-aG)

=-[b4x+a6)(b6-。万)

=-^b2x-a2y^

=-b2x+a2y

故选：B

【点睛】本题主要考查运用平方差公式对式子有理化，解题的关键是熟练运用平方差公式.

3.B

【分析】转化一元二次方程根的判别式计算判断即可.

【详解】A.•.•丁+2》+3=0中，△=22-4xlx3<0，

，£+2*+3=0无实数根，

故V+2x+3在实数范围内不能因式分解，不符合题意；

B.,.、2_2》_加2=0中，△=(-2)。-4x1x(->)=4+4>>0,

一―2》-机2=。有两个不相等的实数根，

故d-2x-加在实数范围内能因式分解，符合题意；

X?-2x-m=0中，A=(-2)2-4x1xm=4+4m,无法确定属性，

x2-2》一m=0不一定有实数根,

答案第1页，共15页

故X2-2X—〃?在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意;

D.；3x2-4xy+5y2=0中，A=(^y)2-4x3x5y2=-44y2<0,

3/-4肛+5/=0无实数根，

故3丁-4个+5y,在实数范围内不能因式分解，不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键.

4.A

【分析】直接利用二次根式的性质得出。的符号，进而得出答案.

【详解】解：若JOJ="；，

pllJa-->0,

2

解得:a2；.

故选：A

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出二次根式化简结果的符号是解题

的关键.

5.D

【分析】先求得2d-7x+5=0的两个根占=1,々=|，根据等腰三角形分类计算即可.

【详解】；2/-7x+5=0，

解得％=l,x2,

...ABC为等腰三角形三边长为或M，U(不存在，舍去)，

222

二ABC为等腰三角形周长为二+3+1=6,

22

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形的存在性，熟练掌握

解方程，等腰三角形的分类是解题的关键.

6.D

【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可.

答案第2页，共15页

【详解】解：A、逆命题为两角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；

B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；

C、逆命题为全等三角形的三条边对应相等，正确，是真命题，不符合题意；

D、逆命题为若x2=V，则x=y,•.•若/=/,贝”=士),,错误，是假命题，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难

度不大.

7.a>-\

【分析】根据二次根式有意义的条件，得出a+lNO,进而即可求解.

【详解】根据题意知a+120,

解得,

故答案为：a>-\.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.

8.5ab2\[2b

【分析】根据二次根式有意义的条件，结合。>0,得到b>0,化筒即可.

【详解】：而而是二次根式，且。>0,

h>0,

二yj50a2b5=^52x2.a2-(b2fb

=5ab242b,

故答案为：5ab2y/2b.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是

解题的关键.

9.-2-45

【分析】根据分母有理化，倒数的定义即乘积为1的两个数互为倒数，计算即可.

【详解】•:a=2-亚,

的倒数为」==纪5

答案第3页，共15页

=-2-75,

故答案为：-2-石.

【点睛】本题考查了倒数，分母有理化，熟练掌握定义，灵活进行分母有理化是解题的关键.

10.2x

【分析】先在实数范围内提公因式得：,然后利用配方法以及平方差公式将

括号里的进行因式分解变形得出答案

【详解】2X2-X-5=2^2-1A-1

3

【点睛】本题主要考查了因式分解的基本方法，熟练掌握相关方法是解题关键.

11.x<-5V3-l()

【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可得.

【详解】解：y/3x-5>2x,

移项得：-2x>5，

合并得：（百—2）x>5,

解得：x<-5^-10>

答案第4页，共15页

故答案为：x<-5V3-10.

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键,

尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

9

12.m<——

8

【分析】根据关于X的一元二次方程W+3X-2加=0没有实数根，得出A=9-4x(-2根)<0,

从而求出的取值范围.

【详解】解：•・•一元二次方程V+3X-2机=0没有实数根，

/.A=9-4x(-2m)<0,

.9

.・tn<—,

8

9

故答案为：m<-^.

O

【点睛】本题考查了一元二次方程公2+笈+。=0(。工0)的根的判别式，关键是掌握

△=6_4收：当△>(),方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；

当△<(),方程没有实数根.

13.假

【分析】利用平行线的判定对命题进行判断即可确定答案.

【详解】同旁内角互补，两直线平行是真命题.

故答案为：假.

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度比较小.

14.2

【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解.

【详解】解：由题意，得：d+7=4x+3，

解得：x=2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查同类二次根式及一元二次方程的解法，熟练掌握同类二次根式的概念

是解题的关键.

15.ZA=2NBCD

【分析】根据等边对等角，结合三角形内角和定理，直角三角形的特征，计算即可.

答案第5页，共15页

【详解】ABC中，AB^AC,CDLAB,

二ZB=AACB/BCD=90°-Zfi,

ZA=180°-NB—ZACB=180°-2ZB=2(90°-NB),

：.ZA=24BCD,

故答案为：ZA=2NBCD.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，熟练掌握

等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键.

16.40°

【分析】先证明△BOBgaCEC,得到NBFD=NCDE,根据三角形的内角和与平角的定义

推出NFDE与相等，再利用三角内角和定理整理即可得出结论.

【详解】解：-：AB=AC,

：.ZB=ZC,

BF=CD

在ABOF和ACEQ中，，/B=/C,

BD=CE

：ABDFWdCED(SAS),

NBFD^NCDE,

：.ZFDE=180°-ZCDE-ZBDF=180°-ZBFD-ZBDF=ZB,

NFDE=70°,

/.ZB=70°,

/8+/C+N4=180。，

ZA=40°.

故答案为：40°.

【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定.解题的关键是通过三角形全等利用角的等量

代换得到NFDE=N8.

答案第6页，共15页

17.36

【分析】设NAAOx,依据旋转的性质，可得ND4E=N8ACr,ZADB=ZABD=2x9再根

据三角形内角和定理即可得出X.

【详解】解：设NAACr,由旋转的性质，可得

ZDAE=ZBAC=x,

：.ZDAC=ZDBA=2X9

又TAB=A。，

・・・ZADB=ZABD=2x,

△AB。中，ZBAD+ZABD+ZADB=180°,

/.x+2x+2x=180°,

/.x=36°,

即N84C=36。，

故答案为：36.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：旋转前、后的图

形全等.

18.y/h—V2+1

【分析】运用完全平方公式化简，后估算法确定整数部分和小数部分，最后分母有理化计算

即可.

【详解】：53+6-53-石

答案第7页，共15页

y/5+1>/5—1

V2

=*=3，且1〈夜V2，。为+6-/3-石的小数部分,

••a=>/2—1;

:j6+3g-，6-3g

/12+6V3/12-65/3

-V-2V-2-

国拜

6+33-6

F---B

=竿=#，且2<遥<3,b为戈+36-显-36的小数部分,

72

•*-b=娓—2；

y-•-=—7=^----7=="+2-亚-1

baV6-2V2-1

=A/6—5/2+1,

故答案为：#-0+1.

【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化，二次根

式的加减运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化是解

题的关键.

19.272+—>/3

3

【分析】根据二次根式的性质化简，后运用二次根式的加减运算计算即可.

【详解】解：原式=3a-当-（四-46）

=3^---72+473

3

=2&+Wg.

3

【点睛】本题考查了次根式的性质，二次根式的加减运算，熟练掌握性质，灵活加强运算是

答案第8页，共15页

解题的关键.

20,恒

y

【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可.

⑻3Ixy18

3仔获后才

二诋

y

【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键.

21.玉=2,9=—

【分析】利用因式分解法求解即可.

【详解】解：-+-=%,

32

—2+3x—6x,

2X2-3X-2=0,

(2x+l)(x-2)=0

解得4=2,9=-；.

所以方程的解是芭=2,&

【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解的技巧是解题的关键.

答案第9页，共15页

22.%(2(毛二

【分析】运用因式分解法求解即可.

【详解】解：(2X-1)2-1(1-2X)=0,

2

(2X-1)2+-(2X-1)=0,

2

(2x-l)(2x-l+；)=0,

21=0或2x」=0,

2

所以方程的解是为=：，%

【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键.

1+7221->/22

23.3二^-'

【分析】明确方程中未知数的二次项、一次项系数及常数项，运用求根公式求解.

【详解】解：A=(-2)2-4X3X(-7)=88,

.-(-2)±y/881±V22

••x=----------------=----------,

2x33

二方程的解为士=瞥红，》2=匕普.

【点睛】本题考查一元二次方程的求解，注意根据方程具体情况选用适当的方法求解是解题

的关键.

24.五

4

【分析】先将x进行化简，然后再代入求值即可.

【详解】解：x函=3+20,

3+2正『6(3+2夜)+2

原式=

3+272-3

_9+12血+8-18-12a+2

242

I

4

答案第10页，共15页

【点睛】本题考查二次根式的化简与计算，掌握化筒方法及运算法则是解题关键.

25.(1)m<y；(2)xi=-2-5/3,X2=-2+6

【分析】(D根据方程有两个实数根，结合根的判别式可得AX),即可得出关于，〃的一元

一次不等式，解之即可得出m的取值范围：

(2)由(1)的结论可得出〃，可取的最大非零整数为-1,将其代入原方程中，再利用公式

法解一元二次方程，即可求出此时方程的两个根.

【详解】解：(1);•关于x的方程/-(2小-2)x+m2=0有两个实数根，

C.A—b2-4ac=[-(2/n-2)]2-4xlx/„2=4-8nz>0,

解得：m<^,

•-m的取值范围为.

(2):尾，

，当机取最大非零整数时，，〃=-l.

当m=-1时，原方程为x2+4x+1=0,

2

解得：%/=-4-V4-4xlx£=2x2=-4+”「4x型=2+6.

2x12x1

...当，〃取最大非零整数时，方程的两个根分别为x/=-2-73.%2=-2+V3.

【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握“利用一元二

次方程根的判别式求解参数的范围”是解本题的关键.

26.售价应定130元，这时应进货400个，或售价应定140元，这时应进货300个.

【分析】总利润=销售量x每个利润.设涨价x元能赚得12000元的利润，即售价定为每个

(x+120)元，应进货(500-10x)个，根据为了赚得12000元的利润，可列方程求解.

【详解】解：设涨价x元能赚得12000元的利润，即售价定为每个(x+120)元，应进货

(500-10x)个,依题意得:

(120-100+x)(500-10x)=12000,

解得西=10,々=20,

当x=10时，x+120=130,500-10x=400；

当x=20时，x+120=140,500-10x=3(X).

答：售价应定130元，这时应进货400个，或售价应定140元，这时应进货300个.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到涨价和销售量的关系，然后以利润做为等

答案第II页，共15页

量关系列方程求解.

27.详见解析

【分析】在BC上取一点E使得CE=AC,易证■ACDgECD,可得NDEC=ZA=2ZB,

再根据三角形的外角可得N3+N8Q£=N£>EC=2N8,所以NB=NBDE,可得DE=BE,

通过等量代换可得出BC=AC+4).

【详解】解：如图，在8C上找到E点，使得CE=AC,

ACD^ECD(SAS).

：-DE=AD.

,?ZA=2NB,NB+NBDE=ZDEC=ZA,

，NB=NBDE.

：.DE=BE.

'：BC=BE+CE,

：.BC=DE+AC=AD+AC

【点睛】本题考查利用截长补短的辅助线结合全等解题；本题的解题关键是看到三条线段之

间和或者差的关系，要利用截长方法在较长线段上截取与其中一条较短线段相等的线段，构

造全等三角形，或者利用补短的方法，将其中一条较短线段延长，构造全等三角形.

28.(1)@BE=AD,BEA.AD-,②22.5°；③成立，理由见解析

(2)45。，理由见解析

【分析】(1)①运用SAS证明一。1£给：。踮即可.

②运用SAS证明,CAD^CBE即可.

③运用SAS证明,C4Q丝即可.

(2)过点C作BCJLCG交A8于点G,运用SAS证明aCG£^,CBE即可.

【详解】(1)①如图1,线段BE、之间的关系为：BE=AD,BEA.AD.理由如下:

答案第12页，共15页

•:CE上CD且CE=CD,CA=CB,ZACB=90°,

・・.ZACD=/BCE=90°-/BCD,

CA=CB

・.・〈ZACD=ZBCE,

CD=CE

：.ACAD