141曲边梯形的面积与定积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

曲边梯形面积与定积分第1页微积分在几何上有两个基本问题1.怎样确定曲线上一点处切线斜率；2.怎样求曲线下方“曲边梯形”面积。xy0xy0xyo直线几条线段连成折线曲线？第2页曲边梯形的面积第3页曲边梯形面积直线x

0、x

1、y

0及曲线yx2所围成图形（曲边三角形）面积S是多少？xyO1为了计算曲边三角形面积S，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲)演示第4页当分点非常多（n非常大）时，能够认为f(x)在小区间上几乎没有改变（或改变非常小），从而能够取小区间内任意一点xi对应函数值f(xi)作为小矩形一边长，于是f(xi)△x来近似表示小曲边梯形面积表示了曲边梯形面积近似值演示第5页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第6页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第7页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第8页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第9页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第10页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第11页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第12页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第13页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第14页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第15页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第16页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第17页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第18页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第19页观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积关系。第20页分割越细，面积近似值就越准确。当分割无限变细时，这个近似值就无限迫近所求曲边梯形面积S。下面方案“以直代曲”详细操作过程第21页（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：过各区间端点作x轴垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们面积分别记作第22页（2）近似代替（3）求和第23页（4）取极限分割近似代替求和取极限第24页

y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)

xi在[a,b]中任意插入n-1个分点．得n个小区间：[xi

1,xi

](i=1,2,···,n)．把曲边梯形分成n个窄曲边梯形．任取xi

[xi

1，xi

]，以f(x

i)Dxi近似代替第i个窄曲边梯形面积．区间[xi

1,xi

]长度Dxi

xi

xi

1．曲边梯形面积近似为：A

第25页分割近似代换求和取极限（类似方法求变力做功）曲边梯形面积近似为：第26页弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作功。解：将物体用常力F沿力方向移动距离x,则所做功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力变力，是移动距离x函数，F(x)=kx，将[0，b]n等分，记△x=，分点依次为x0=0，x1=，x2=,……，xn－1=，xn=b，第27页当n很大时，在分段[xi，xi+1]所用力约为kxi，所做功△W≈kxi·△x=则从0到b所做总功W近似地等于当n→+∞时，上式右端趋近于第28页于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做功为以上两个实际问题，一个是求曲边梯形面积，一个是求变力所做功，即使实际意义不一样，但处理问题方法和步骤是完全相同，都归结为求一个函数在某一闭区间上和式极限问题.第29页1.曲边三角形或梯形面积S=2.克服弹簧拉力变力所做功

W=类似地问题还很多，它们都能够归结为求这种和式极限，牛顿等数学家经过苦心研究，得到了处理这类问题普通方法。求函数定积分。第30页定积分的概念第31页普通函数定积分定义设f(x)是定义在区间[a，b]上一个函数，在闭区间[a，b]上任取n－1个分点把[a，b]分成n个小闭区间，其长度依次为△x=xi+1－xi，i=0，1，2，…，n－1，记λ为这些小区间长度最大者，当λ趋近于0时，全部小区间长度都趋近于0，在每个小区间内各取一点，第32页其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，[a，b]称为积分区间，a,b分别称为积分上限和下限，f(x)dx叫做被积式，此时称f(x)在区间[a，b]上可积。作和式In=当λ→0时，假如和式极限存在，我们把和式In极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上定积分，记作第33页于是例1结果能够写作例2中克服弹簧拉力变力所做功假如函数y=f(x)在区间[a，b]上是一条连续曲线，它与直线y