线性代数-线性方程组解的结构省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第四章线性方程组解结构§4.4线性方程组在几何中应用§4.3非齐次线性方程组解结构§4.2齐次线性方程组解结构§4.1线性方程组解存在性定理1第1页§4.1线性方程组解存在性定理在前面章节学习中，我们已经研究关于线性方程组求和存在性问题，本章将在整理前面知识点同时，深入研究解性质和解结构。2第2页(4-1)(矩阵形式)(向量形式)(原始形式)3第3页非齐次方程组解存在性定理定理4.1.1对于非齐次方程组(4-1)向量可由A列向量组线性表示。4第4页定理4.1.2设线性方程组系数行列式Cramer法则则方程组有唯一解,且解为:(4-2)5第5页齐次方程组解存在性定理(4-3)(矩阵形式)(向量形式)(原始形式)6第6页定理4.1.3对于齐次方程组(1)A列向量组线性无关(2)A列向量组线性相关推论1当方程个数m小于未知量个数n，则(4-3)必有非零解。7第7页定理4.1.4设线性方程组有非零解(4-4)学习书P135例28第8页第四章线性方程组解结构§4.4线性方程组在几何中应用§4.3非齐次线性方程组解结构§4.2齐次线性方程组解结构§4.1线性方程组解存在性定理9第9页§4.2齐次线性方程组解结构(2)解集秩是多少?(3)解集最大无关组(又称为基础解系)怎样求?齐次方程组(假设有没有穷多解)(1)解集特点?称：10第10页性质1：若是(4-3)解，解空间:全部解向量集合S，对加法和数乘都封闭，所以组成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组解空间。性质2：注：假如(4-3)只有零解，解空间是零空间。假如(4-3)有非零解，解空间是非零空间。性质推论1而在解空间中，基概念我们在这里称为基础解系。首先回答下列问题(1)11第11页设是解，满足线性无关；任一解都能够由线性是一个基础解系。基础解系表示,则称下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题，同时也是定理4.2.1例证。(取任意实数)从而也是(4-3)解。12第12页经过下面例子,针对普通方程组例1回答所提问题.第一步:对系数矩阵A初等行变换化行最简形B从行最简形能得到什么？13第13页第二步：写出同解方程组(保留第一个未知数在方程左边,其余都移到右边.右边又叫自由变量)自由变量个数=?第三步:令自由变量为任意实数写出通解，再改写成向量形式14第14页是解吗?线性无关吗?任一解都可由表示吗?是基础解系吗?基础解系所含向量个数=?第四步:写出基础解系再来分析一下基础解系由来:第二步同解方程组为第三步通解为15第15页就是取代入同解方程组(1)中求得然后再拼成解向量.类似……这就启发我们,因为基础解系所含解向量个数恰好等于自由变量个数(这里3个).只要令为三个线性无关向量.代入同解方程组(1)中求得然后再拼成解向量.必定是线性无关,从而也是基础解系.由此得到解法2.16第16页第一步:同前第二步:同前第三步:令代入(1)求再拼基础解系:第四步:写出通解17第17页设是矩阵，假如则齐次线性方程组基础解系存在，且每个基础解系中含有个解向量。定理4.2.1推论2设是矩阵，假如则齐次线性方程组任意个线性无关解向量均可组成基础解系。18第18页例2设,是两个不一样解向量,k取任意实数,则Ax=0通解是19第19页设,证实证记则由说明都是解所以移项主要结论推论320第20页且线性无关，则_______是AX=O基础解系。(2),(3)则_______可为AX=O基础解系。(4)练习(1)(2)21第21页例3证实设,首先证实利用这一结论证主要结论22第22页例4求一个齐次方程组,使它基础解系为记之为AB=O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知

A放在右边,转置,只需解然后再把这些解拼成列(A行)即可.

解得基础解系设所求齐次方程组为,则取即可.解23第23页第四章线性方程组解结构§4.4线性方程组在几何中应用§4.3非齐次线性方程组解结构§4.2齐次线性方程组解结构§4.1线性方程组解存在性定理24第24页§4.3非齐次线性方程组解结构以下总假设有解,而其对应齐次方程组基础解系为这里25第25页性质(1)设都是(1)解,则是(2)解.(2)设是(1)解,是(2)解,则仍是(1)解.设是(1)一个解(固定),则对(1)任一解x是(2)解,从而存在使得又形如(3)向量(任取)都是(1)解.由此得:(3)注：非齐次方程组解集不是空间。26第26页定理4.3.1设是(1)任一解,则(1)通解为例5解27第27页在对应齐次方程中取得齐次方程组基础解系于是全部通解即得方程组一个解28第28页设是非齐次方程组Ax=b解,则是Ax=0解是Ax=b解例6※※29第29页例7设四元非齐次线性方程组系数矩阵秩为3,已知