偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE省公开课一等奖全国示范课微课

偏微分方程

PARTIALDIFFIERENTIALEQUATION

(P.D.E)4/13/202411第1页分离变量法许多物理现象都含有叠加性：由几个不一样原因同时出现时所产生效果，等于各个原因单独出现时所产生效果叠加，这就是物理学中叠加原理。在处理数学中线性问题时，可应用物理学中叠加原理。分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为驻波法。它是处理数学物理方程定解问题中一中基本方法，这个方法建立在叠加原理基础上，其基本出发点是物理学中机械振动和电磁振动（总可分解为一些简谐振动叠加）4/13/20242第2页波动方程有界弦自由振动热传导方程椭圆方程一维情形高维情形有界弦强迫振动齐次方程非齐次方程周期性条件自然边界条件一维情形高维情形4/13/20243第3页1.有界弦自由振动(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)首先设法找到全部含有变量分离形式满足方程（1.1）和边界条件（1.2）非零特解。这些非零特解线性叠加仍满足方程和边界条件。所谓函数u(x,t)含有变量分离形式，即它可表示为(1.5)(I)4/13/20244第4页将（1.5）代入方程（1.1）和边界条件（1.2）得到即以及(1.6)(1.7)(1.6)式中，左端是t函数，右端是x函数，由此可得只能是常数，记为。从而有(1.8)(1.9)(1.10)4/13/20245第5页(II)本征值问题(1.9)(1.10)情形（A）情形（B）其通解为由(1.10)，可推出只有零解。其通解为由(1.10)，可推出只有零解。4/13/20246第6页情形（C）方程通解为由边界条件X(0)=0推出再由知道为了使必须于是有这么就找到了一族非零解本征值本征函数(1.11)(1.12)4/13/20247第7页由此，就得到方程（1.1）满足边界条件（1.2）变量分离非零特解代入(1.8)可得(1.13)其通解为4/13/20248第8页(III)特解叠加为了求出原定解问题解，还需满足初始条件（1.3）。普通来讲，前面求出特解不一定满足初始条件。为此，我们把全部特解叠加起来，并使之满足初始条件，即取使得(1.14)(1.15)(1.16)4/13/20249第9页所以，应分别是在[0,L]区间上正弦展开Fourier级数系数，即(1.17)(1.18)这么，我们就给出了混合问题（1.1）-（1.4）形式解（1.14），其中系数由公式（1.17）和（1.18）给出。4/13/202410第10页是[0,L]上正交函数列是[0,L]上正交函数列4/13/202411第11页分离变量法解题步骤第一步第二步第三步令适合方程和边界条件，从而定出所适合常微分方程齐次边值问题，以及适合常微分方程。本征值问题求解该常微分方程齐次边值问题，求出全部本征值和本征函数，并求出对应表示式。将全部变量分离形式特解叠加起来，并利用初始条件定出全部待定系数。4/13/202412第12页物理意义其中对任意时刻这说明，任一时刻弦形状都是正弦波，其振幅随不一样时间而不一样。4/13/202413第13页对任意一点这表示在任意一点处都作简谐振动。节点固有频率4/13/202414第14页例令是齐次方程和齐次边界条件非零解则有4/13/202415第15页故有其中4/13/202416第16页4/13/202417第17页2.有界弦强迫振动(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)方法一方法二齐次化原理分离变量法4/13/202418第18页齐次化原理:若混合问题解，则(2.6)(2.5)就是混合问题（2.1）-（2.4）解。4/13/202419第19页令混合问题（2.5）就化为(2.7)因为方程和边界条件都是齐次，由此依据上一小节结论即得其中(2.8)(2.9)4/13/202420第20页依据齐次化原理，(2.10)其中4/13/202421第21页分离变量法:令是混合问题解。显见上述函数满足（2.2）。(2.11)(2.1)(2.3)(2.4)(2.12)(2.13)(2.14)4/13/202422第22页(2.12)，(2.13)，(2.14)4/13/202423第23页非齐次边界条件定解问题我们注意到齐次边界条件是分离变量法所必需，为此作函数变换边界齐次化4/13/202424第24页齐次边界条件另一类定解问题4/13/202425第25页3.有界细杆热传导方程4/13/202426第26页首先找到全部含有变量分离形式满足齐次方程和齐次边界条件非零特解。令(I)3.1齐次方程情形代入方程和边界条件得到即以及4/13/202427第27页(II)本征值问题本征值本征函数4/13/202428第28页(III)特解叠加使得其中4/13/202429第29页3.2非齐次方程情形方法一方法二齐次化原理分离变量法4/13/202430第30页4.矩形薄板热传导方程利用分离变量法（4.1）（4.2）（4.3）4/13/202431第31页（4.6）（4.5）（4.4）再设（4.7）（4.8）（4.9）4/13/202432第32页由边界条件4/13/202433第33页从而有且代入（4.4）可得4/13/202434第34页于是特解叠加4/13/202435第35页系数确实定（二重Fourier级数展开式）若则4/13/202436第36页5.椭圆方程以前定解问题所在区域都是区间或矩形域，均采取直角坐标系。但假如定解区域为圆形、圆柱形或者球形是，采取直角坐标系难以适用，而采取极坐标系、柱坐标系或者球面坐标系。（5.1）4/13/202437第37页作自变量变换4/13/202438第38页演算过程4/13/202439第39页4/13/202440第40页原定解问题转化为（5.2）下面采取分离变量法来求解。为此，令代入，即得分离变量（5.3）4/13/202441第41页（5.4）（5.5）（5.6）（5.7）周期性条件自然边界条件4/13/202442第42页现在求解本征值问题（5.4）-（5.5）其通解为这不是周期函数其通解为这不是周期函数是周期函数其通解为为了满足（5.5），必须4/13/202443第43页本征值为本征函数为代入（5.6）欧拉方程4/13/202444第44页特解叠加系数确定正交列4/13/202445第45页4/13/202446第46页解为圆Poisson积分4/13/202447第47页6.柱域上分离变量法和Bessel函数柱坐标系4/13/202448第48页令改记Bessel方程4/13/202449第49页7.球域中分离变量法、

Legendre多项式球坐标系4/13/202450第50页在第二式中令改记伴随Legendre方程当Legendre方程4/13/202451第51页8.本征值理论利用分离变量法求解定解问题必定造成本征值问题，即在一定齐次边界条件下，求一个含参数齐次常微分方程非零解问题。另外，在分离变量过程中，主要包括关于本征