正弦型函数的性质与图象第1课时课件高一下学期数学人教B版

正弦型函数的性质与图象第1课时问题情境情境1

如图所示，将一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在水平放置的光滑杆上，不计小球与杆之间的摩擦，称小球静止时的位置为平衡位置．将小球拉离平衡位置之后释放，则小球将左右运动．从某一时刻开始，如果记ts后小球的位移为xcm，则由物理学知识可知x与t的关系可以写成x＝Asin（ωt＋φ）的形式，其中A，ω，φ都是常数．问题情境情境2

日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成i＝Imsin（ωt＋φ），其中Im，ω，φ都是常数．新知探究问题1

上述x＝Asin（ωt＋φ）与i＝Imsin（ωt＋φ）都是t的函数．那么，这种类型的函数具有什么性质呢？怎样研究这种类型的函数的性质？正弦型函数一般地，形如y＝Asin（ωx＋φ）的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这种类型的函数称为正弦型函数，其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0．新知探究新知探究问题2可否由函数y＝sinx的性质得到y＝Asinx（A≠0）的性质？函数y＝Asinx的图象与函数y＝sinx的图象有什么关系？y＝Asinx（A≠0）型函数的性质函数y＝Asinx（A≠0）的定义域为R，值域为[－|A|，|A|]，周期是2π．y＝Asinx的图象可由y＝sinx的图象上的点，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍得到．新知探究问题3可否由函数y＝sinx的性质得到y＝sin（x＋φ）的性质？函数y＝sin（x＋φ）与函数y＝sinx的图象有什么关系？新知探究问题3可否由函数y＝sinx的性质得到y＝sin（x＋φ）的性质？函数y＝sin（x＋φ）与函数y＝sinx的图象有什么关系？y＝sin（x＋φ）型函数的性质函数y＝sin（x＋φ）的定义域为R，值域为[－1，1]，周期是2π．y＝sin（x＋φ）的图象可由y＝sinx的图象向左（或右）平移得到．新知探究问题4可否由函数y＝sinx的性质得到y＝sinωx（ω≠0）的性质？函数y＝sinωx的图象与函数y＝sinx的图象有什么关系？新知探究问题4可否由函数y＝sinx的性质得到y＝sinωx（ω≠0）的性质？函数y＝sinωx的图象与函数y＝sinx的图象有什么关系？y＝sinωx（ω≠0）型函数的性质函数y＝sinωx（ω≠0）的定义域为R，值域为[－1，1]，周期是y＝sinωx的图象可由y＝sinx图象上的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的

得到．新知探究问题5正弦型函数中的常数A，ω，φ有什么实际意义吗？新知探究问题5正弦型函数中的常数A，ω，φ有什么实际意义吗？y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω≠0）型函数的性质x＝Asin（ωt＋φ）中（1）|A|表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；（2）φ在决定t＝0时小球的位置（即Asinφ）中起到关键作用，称为初相；（小球的位置和速度首次都得到重复时完成了一次运动）．（3）周期T＝

表示小球完成一次运动所需要的时间．新知探究问题6正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω≠0）的性质是什么？y＝Asin（ωx＋φ）的图象可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到．A，ω，φ的实际意义：正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω≠0）的定义域为R，值域为[－|A|，|A|]，周期是|A|表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；φ在决定t＝0时小球的位置中起关键作用，称为初相；周期T＝

表示小球完成一次运动所需要的时间，表示1s内能完成的运动次数，称为频率．初步应用例1

探究函数y＝2sinx的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象．解答：函数y＝2sinx的定义域为R．又因为sinx＝1时，y＝2sinx＝2；sinx＝－1时，y＝2sinx＝－2，所以y＝2sinx的值域为[－2，2]．函数y＝2sinx的周期函数，周期是2π．初步应用例1

探究函数y＝2sinx的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象．下面我们用五点法作出y＝2sinx在[0，2π]上的图象，取点列表如下．由图象可以看出，y＝2sinx的图象可由y＝sinx的图象上的点，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的两倍得到．x0π2πy＝sinx010－10y＝2sinx020－20xyOπ2π12－1y＝2sinx，x∈[0，2π]y＝sinx，x∈[0，2π]－2描点作图：初步应用例2

探究函数y＝的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象．当u∈[0，2π]时，即0≤u≤2π时，解答：令y＝x＋

，则y＝可以化成y＝sinu，由y＝sinu的周期为2π可知，y＝的周期也为2π，我们有0≤x＋

≤2π，即初步应用x0π2π010－10描点作图：例2

探究函数y＝的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象．所以下面我们用五点法作出y＝在

上的图象，取点列表如下，由图可以看出，y＝的图象可由y＝sinx的图象向左平移

个单位得到．初步应用例3

探究函数y＝sin2x的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象．解答：令u＝2x，则y＝sin2x可以化成y＝sinu．由y＝sinu的周期为2π可知，对任意u，当它增加到且至少要增加到u＋2π时，对应的函数值才重复出现，因为u＋2π＝2x＋2π＝2（x＋π），这说明对任意x，当它增加到且至少要增加到x＋π时，y＝sin2x的函数值才重复出现，这就说明y＝sin2x的周期为π．当u∈[0，2π]时，即0≤u≤2π时，我们有：0≤2x≤2π，即0≤x≤π，初步应用x0πu＝2x0π2πy＝sinu＝sin2x010－10描点作图：由图可以看出，y＝sin2x的图象可由y＝sinx的图象上的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的

得到．所以下面我们用五点法作出y＝sin2x在[0，π]的图象，取点列表如下：例3

探究函数y＝sin2x的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象．初步应用例4

探究函数y＝的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象．由y＝3sinu的定义域为R，值域为[－3，3]，由y＝3sinu的周期为2π可知，对任意u，当它增加到且至少要增加到u＋2π时，对应的函数值才会重复出现，解答：令u＝2x＋

，则y＝可以化成y＝3sinu．可以看出y＝的定义域为R，值域为[－3，3]．初步应用例4

探究函数y＝的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象．这说明对任意x，当它增加到且至少要增加到x＋π时，当u∈[0，2π]时，即0≤u≤2π时，因为u＋2π＝2x＋

＋2π＝2（x＋π）＋y＝的函数值才会重复出现，y＝的周期为π．我们有0≤2x＋

≤2π，即初步应用描点作图：例4

探究函数y＝的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象．所以下面我们用五点法作出y＝在

上的图象，取点列表如下：x0π2πy＝sinu010－10030－30初步应用例4

探究函数y＝的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象．如图所示，我们还作出了y＝sinx，y＝sin2x，y＝3sin2x的部分图象，把函数y＝sinx图象上的所有点，纵坐标不变，把它们与函数y＝的图象进行比较，就可以看出这些图象之间的关系；把y＝sin2x图象上的所有点，横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，就可得到y＝3sin2x的图象；横坐标变为原来的

，就可以得到y＝sin2x的图象；初步应用例4

探究函数y＝的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图象．如图所示，我们还作出了y＝sinx，y＝sin2x，y＝3sin2x的部分图象，把它们与函数y＝的图象进行比较，就可以看出这些图象之间的关系；把y＝3sin2x图象上所有的点，向左平移

个单位，就可得到y＝的图象．初步应用把函数y＝sinx图象上的所有点，向左平移

个单位，就可得到的图象；把y＝的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的

，就可得到y＝的图象；把y＝

图象上的所有点，横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，就可得到y＝的图象．初步应用由函数y＝sinx的图象经过一系列变换得到函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象，通常的变换顺序为y＝sin→y＝sin（x＋φ）→y＝sin（ωx＋φ）→y＝Asin（ωx＋φ）．练习练习：教科书练习A：1，3，4．归纳小结“五点法”