湖南省长沙外国语学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

保密★启用前长沙外国语学校2024年上学期高二年级3月月考数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P=，，则PQ=()A． B．C． D．★2．若向量a＝(2,2,3)，b＝(－1,2,1)，c＝(0,1,1)，则a·(b＋c)＝()A．5B．8C．10D．12★3．设点P是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a＞2)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若|F1F2|＝4eq\r(3)，则|PF1|＋|PF2|＝()A．4B．8C．4eq\r(2)D．4eq\r(7)4．4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为()A．48B．96C．120D．2405．某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲选手答对第一道题”，事件B表示“甲选手答对第二道题”，则＝()A．B．C．D．6．如图，一个装有水的密封瓶子，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，圆柱和圆锥的底面半径均为3，圆柱的高为6，圆锥的高为3，已知液面高度为7，则瓶子中水的体积为()A．B．C． D．7．年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为()（素数即质数，，计算结果取整数）A． B． C． D．8．现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是()A．180 B．150 C．120 D．210二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是()A． B．在复平面上对应点在第二象限C． D．的虚部为10．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则()A． B．只有第4项的二项式系数最大C．各项系数之和为1 D．的系数为560★11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是()A．B．1225既是三角形数，又是正方形数C．D．，总存在，使得成立三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.★12．若函数f(x)＝ax－lnx在x＝eq\f(\r(2),2)处取得极值，则实数a的值为________．★13．已知抛物线：y2＝2px(p＞0)，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，则直线AB的斜率为________．14．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则；.四、解答题:本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为.已知.(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长.★16．（本小题满分15分）已知数列的前项和为，点在直线上．（1）求数列的前项和，以及数列通项公式；（2）若数列满足：，设数列的前项和为，求的最小值．★17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．求证：平面；若直线与底面所成的角的正切值为，求二面角的正切值．18．（本小题满分17分）已知函数，当时，有极大值.(1)求实数的值；(2)当时，证明：.19．（本小题满分17分）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在