2022-2023学年河北省唐山市古冶区九年级（上）期中数学试卷（附答案详解）

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2022-2023学年河北省唐山市古冶区九年级(上)期中数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题)

一、选择题(本大题共16小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

2.已知一兀二次方程—2x+a=0有一个根为x=l,则a=()

A.-1B.0C.1D.2

3.抛物线y=(x+1)2的顶点坐标是()

A.(-1,0)B,(1,0)C.(0,1)D.(0,-1)

4.下列说法中，正确的是()

A.弦是直径B.相等的弦所对的弧相等

C.圆内接四边形的对角互补D.三个点确定一个圆

5.用配方法解方程/一4%+1=0配方后的方程是()

A.(x+2)2=3B.(%-2尸=3C.(x—2)2=5D.(x+2)2=5

6.设方程/-2%-3=0的两根分别是X］、x2＞则XI+A：2=()

A.—3B.2C.-2D.3

7.如图，在。。中，AB=AC，^AEC=25°,则=()

A.25°

B.45°

C.50°

D.100°

8.把长为27n的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积.设

较长一段的长为xm,依题意，可列方程为()

A.x2=2(2—x)B.x2=2(2+x)C.(2—x)2=2xD.x2=2—x

9.如图，△COD是△力OB绕点。顺时针旋转40。后得到的图形，若点C恰

好落在4B上且=90°,则NCOB=()

A.10°

B.20°

C.40°

D.60°

10.如图，P4、P8分别与。0相切于A、B两点，点C为。0上一点，连接AC、8C,若NP=50°,

则44cB的度数为()

A.60°

B.75°

C.70°

D.65°

11.点P(2,3)绕着原点逆时针方向旋转90。与点P'重合，则P'的坐标为()

A.(3,2)B.(-2,-3)C.(-2,3)D.(-3,2)

12.如图，半圆。的直径=10,将半圆。绕点8顺时针旋转45。得A'

到半圆。'，与4B交于点P,那么力P=()/\

I\pr

A.2.5\\

O

AB

B.5P

C.10-5AT2

D.10/7-5

13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点4B均在抛物线上，且4B与x轴

平行，其中点4的坐标为（0,3）,则点B的坐标为（）

C.(3,3)D.(4,3)

14.关于x的方程7n/+%—7n+1=0,有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实

数解；②当mKO时，方程有两个不相等的实数解；③无论小取何值，方程都有一个负数解,

其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

15.将抛物线y=3/+1绕原点。旋转180。，则旋转后的抛物线的解析式为（）

A.y=—|x2+1B.y=—-1C.y=—3x2-1D.y=-3x2+1

16.如图，对于二次函数y=ax?+bx+c（a片0）的图象，得出，y

了下面五条信息：①c>0：②b=6a：③/—4ac>0；④4a—\

2b+c<0；⑤对于图象上的两点（-6,m）、（l,n）,有m>n.其\：/

中正确信息的个数有（）

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）

17.点4（2,-3）与点8关于原点对称，则点B坐标是.

18.方程刀。-2%+5=0为一元二次方程，则实数。=—.

19.如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙(墙长20m),中间用两道

墙隔开.已知计划中的修筑材料可建围墙总长为60巾，设饲养室的一边长为xm占地总面积为

ym2,贝ij

(l)y与x的函数关系式为.(不必写出x取值范围)

(2)三间饲养室的最大总面积为m2.

〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

三、解答题(本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

20.(本小题7.0分)

如图，AC是正方形ABCO的对角线，△4BC经过旋转后到达△4EF的位置

(1)指出它的旋转中心；

(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度:

(3)分别写出点4、B、C的对应点.

21.(本小题8.0分)

老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分，形式如下:

=x2+x

(1)若所捂的值为0,求久的值；

(2)若所捂的值为2/-%-8,求x的值.

22.(本小题8.0分)

如图，要设计一幅长24cm,宽10cm的矩形图案，其中有一横两竖的彩条，横竖彩条的宽度

相同，如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，求应如何设计彩条的宽度？

23.(本小题8.0分)

一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量.如图，把一个直径为lOrrnn的

小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm,求这个孔道的直径AB.

24.(本小题8.0分)

如图，点P(a,3)在抛物线C：y=4-(6-x)2上，且在C的对称轴右侧.

(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；

(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P',C'.平移该胶

片，使C'所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9.求点P'移动的最短路程.

25.(本小题9.0分)

如图，在△ABC中，AB=AC,点。在BC上，BD=DC,过点。作。El4C,垂足为E,。。经

过4,B,D三点.

(1)求证：4B是。。的直径；

(2)判断。E与O0的位置关系，并加以证明；

(3)若。。的半径为3,ABAC=60°,求OE的长.

26.（本小题10.0分）

如图1,排球场长为18m,宽为9m,网高为2.24m,队员站在底线。点处发球，球从点0的正上

方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点力时，高度为2.88m.即

BA=2.88m.这时水平距离。8=7m,以直线OB为x轴，直线0C为y轴，建立平面直角坐标系，

如图2.

（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数

关系式（不必写出x取值范围）.并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由：

（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1,点P距底线1m,边线0.5m）,问发

球点。在底线上的哪个位置？（参考数据：C取1.4）

图1

答案和解析

I.【答案】c

【解析】解：4、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；

。、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：C.

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

2.【答案】C

【解析】解：把x=1代入方程/—2x+a=0,得：l—2+a=0,

解得：a=l,

故选：C.

把x=l代入方程*2-2x+a=0,列出关于a的新方程，通过解该方程可以求得a的值.

本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方

程左右两边相等的未知数的值，解题的关键是掌握方程的根或解代替未知数所得式子仍然成立.

3.【答案】A

【解析】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=(x+1)2的顶点坐标是(一1,0).

故选：A.

直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答.

本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y=(x+a)2+h「3其顶点坐标为

4.【答案】C

【解析】解：4直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；

8、相等的弦对的弧不一定相等，故错误，不符合题意；

C、圆内接四边形的对角互补，正确，符合题意；

。、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，不符合题意；

故选：C.

利用圆的有关性质及定义分别判断后即可确定正确的选项.

考查了确定圆的条件及圆内接四边形的性质，解题的关键是了解圆的有关性质，难度不大.

5.【答案】B

【解析】解：方程移项得：x2-4x=-l,

配方得：x2-4x+4=3,即(x-2)2=3.

故选:B.

方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断.

此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：,••方程/-2%-3=0的两根分别是与、x2,

,h-2_

•••Xi+x2=--=--=2,

故选：B.

根据根与系数的关系求解即可得到答案.

本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是知道/+小=--与全=2

da

7.【答案】A

【解析】解：••・AB=AC，〃EC=25°,

•••^ADB=^AEC=25°,

故选：A.

根据同一个圆中同弧或等弧所对圆周角、圆心角相等即可得到答案.

本题考查弧与圆周角之间的关系，同一个圆中同弧或等弧所对圆周角、圆心角相等圆周角等于圆

心角一半.熟知知识点是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：•••较长一段的长为xm,

•••较短一段的长为(2-x)m,

依题意得：X2=2(2—%).

故选:A.

由题意设较长一段的长为xm,可得出较短一段的长为(2根据较长一段的长的平方等于较

短一段的长与原绳长的积，列出关于万的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

9.【答案】A

【解析】解：由题意得：^AOC=ABOD=40°.

又：4AOD=90°,

乙COB=90°-40°-40°=10°.

故选：A.

根据旋转的性质求出NAOC和4BOD的度数，再计算出4COB的度数即可.

本题考查的是旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.

连接04、0B,先利用切线的性质得N04P=40BP=90。，再利用四边形的内角和计算出乙10B

的度数，然后根据圆周角定理计算乙4cB的度数.

【解答】

解：连接。力、0B,

•••PA.PB分别与。。相切于A、B两点，

0A1PA,OB1PB,

40Ap=乙OBP=90°,

Z.AOB=360°-Z.P-Z.OAP-Z.OBP=130°,

Z.ACB=*。8=：x130°=65°.

故选：D.

11.【答案】。

.•.「'的坐标为(-3,2),

故选：D.

正确进行作图，根据图象即可确定.

本题考查了旋转的特点，解题的关键是掌握(a,b)绕原点旋转逆时针90。后的点的坐标为(-b,a),

注意正确画图.

12.【答案】C

【解析】解：如图，连接。'P，

,0

AB

由题意得：/.OBA'=45°,

O'P=O'B,

O'PB是等腰直角三角形，

•••PB==5，7，

AP=AB-BP=10-5/7,

故选：C.

先根据题意判断出△O'PB是等腰直角三角形，由勾股定理求出PB的长，进而可得出AP的长.

本题考查了圆的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据旋转的性

质求出△O'PB是等腰直角三角形.

13.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了二次函数的性质.已知抛物线的对称轴为x=2,点4的坐标为(0,3),由函数的对

称性知B点坐标.

【解答】

解：由题意可知抛物线y=合+bx+c的对称轴为x=2,

••♦点2的坐标为(0,3),且4B与久轴平行，

可知4、8两点关于对称轴对称，

B点坐标为(4,3)

故选：D.

14.【答案】C

【解析】解：当m=0时，x=-1,方程只有一个解，①正确；

当m牛0时，方程nix?+x—m+1=。是一元二次方程，△=1—4m(l—m)=1—4m+4m2=

(2m-l)2>0,方程有两个实数解，②错误；

把m/+x—m+1=0分解为(x+l)(mx-m+1)=0,

当x=—1时，m—1—7n+l=0,即x=—1是方程+%—m+1=0的根，③正确；

故选：C.

分别讨论m=0和m40时方程小产+%_巾+1=0根的情况，进而填空.

本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的

意义以及分类讨论的思想.

15.【答案】C

【解析】解：y=3产+1的顶点坐标为（0,1）,

・抛物线y=3x2+1绕原点0旋转180。，

・•・旋转后的抛物线的顶点坐标为（0,-1）,

・•・旋转后的抛物线的解析式为y=-3x2-1.

故选：C.

求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出旋转后

的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可.

本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便.

16.【答案】C

【解析】解：•••抛物线与y轴交点在x轴上方，

c>0,故①正确，符合题意；

••・抛物线与X轴交点为（一5,0）和（一1,0）,

.,.对称轴为直线x=（1）=-3,—3,•t.b=6a,故②正确，符合题意；

•.,抛物线与x轴有2个交点，

二方程a/+bx+c=0有两个不相等的实数根，

b2-4ac>0,故③正确，符合题意；

由图象可得％=—2时，y<0,

4a-2b+c<0,故④正确，符合题意；

♦.・抛物线开口向上，对称轴为直线x=-3,且1一（-3）>-3-（-6）,

故⑤错误，不符合题意；

综上可知，正确信息的个数有4个.

故选：C.

由抛物线与y轴交点在x轴上方可判断①，根据对称轴的位置可判断②，由抛物线与工轴交点个数

可判断③，由x=-2时y<0可判断④，根据（―6,m）、（l,n）与对称轴的距离可判断⑤.

本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，以及二次函数与

方程及不等式的关系.

17.【答案】(一2,3)

【解析】解：4(2,-3)与点B关于原点对称，则点B的坐标是(一2,3),

故答案为：(-2,3).

根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数，可得答案.

本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点的对称点：横、纵坐标都变成相反数.

18.【答案】2

【解析】解：•方程产-2x+5=0为一元二次方程，

Q=2.

故答案为：2.

根据一元二次方程的定义进行解答即可.

本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握只有一个未知数且未知数最高次数

为2的整式方程，其一般形式为a/+bx+c=0(aH0).

19.【答案】y=-4x2+60x200

【解析】解：(I)、•设饲养室的一边长为xrn占地总面积为ym2,

二另一面墙长(60-4x)m

y=(60—4x)x=-4x2+60x,

故答案为：y=-4/+60X；

(2)v0<60-4x<20,

:.10<x<15,

vy=-4x2+60x=—4(x—7.5)2+225,

又-4<0,

•••当%>7.5时，y随x的增大而减小，

.•.当x=10时，y有最大值，最大值为:-4(10-7.5)2+225=200,

二三间饲养室的最大总面积为200nl2,

故答案为：200.

(1)根据题意列出函数关系式即可；

(2)将二次函数化为顶点式，再进行判断即可.

本题考查了二次函数的应用，理解题意并列出二次函数是解决本题的关键.

20.【答案】解：(1)它的旋转中心为点4

(2)它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；

(3)点4、B、C的对应点分别为点4、E、F.

【解析】⑴由于△4BC经过旋转后到达AAEF的位置，则4点的对应点为4于是可判断旋转中心

为点4

(2)根据旋转的性质求解；

(3)根据旋转的性质求解.

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角；旋转前、后的图形全等.

21.【答案】解：(1)由已知得，x2+x=0,

・,・%(%+1)=0,

即％=-1或尤=0；

(2)由已知得，2产一工-8=/+%,

・•・——2%—8=0,

，(%-4)(%4-2)=0,

%-4=0或x+2=0,

・•・x=-2或％=4.

【解析】(1)根据题意可得/+%=0,利用因式分解法解答，即可求解；

(2)根据题意可得2%2一%一8=/+%,再利用因式分解法解答，即可求解.

本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分

解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

22.【答案】解：设彩条的宽度为％cm,

则根据题意得，(24-2x)(10-x)=-x24x10,

整理得，%2-22%+40=0,解得，％=20或%=2,

但％=20不合题意，舍去，

・•・应设计彩条的宽度为2cm.

【解析】设彩条的宽度为xcm,求出剩余部分的面积，根据剩余部分的面积是原图案面积的|列方

程求解即可.

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题、图，正确的列出方程是，注

意解出的x要判断其是否符合题意，舍去不合题意的x的值.

23.【答案】解：连接04过点。作。。于点C,

则2B=2AD,

••,钢球的直径是10mm,

•••OA=5mm,

•.,钢球顶端离孔道外端的距离为8小血，

OD=3mm,

在Rt/MOC中，

AD=VOA2—OD2=V52-32=4(mm),

:.AB=2AD=2x4=

【解析】连接04过点。作。。LAB于点。，则AB=24。，先求出钢球的半径及0。的长，在Rt△

40D中利用勾股定理即可求出4。的长，进而得出4B的长.

本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题

的关键.

24.【答案】解：⑴•••抛物线C：y=4—(6—无产=一。-6)2+4,

.♦・抛物线的顶点为M(6,4),

••・抛物线的对称轴为直线x=6,y的最大值为4,

当y-3时，3=-(x—6)2+4,

x'—5H1^7,

•.•点P在对称轴的右侧,

P(7,3),

a=7；

(2)y——x2+6x—9=y=—(x—3)2,

••・抛物线y=-x2+6x-9的顶点为N(3,0).

如图，过C的顶点M(6,4)作M4lx轴于点4

连接MN,PP'.由平移可知，PP'=MN,

二点P'移动的最短路程是PP，=A/32+42=5.

【解析】(1)根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令y=3,转化为方程求出a即可；

(2)求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论.

本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，求出平移前后的抛物线的顶点坐标，属于中

考常考题型.

25.【答案】⑴证明：连接4D,

•：AB=AC,BD=DC,

：.AD1BC,

Z.ADB=90°,

力B为圆。的直径；

(2)DE与圆0相切，理由为：

证明：连接OD,

••・。、。分别为48、BC的中点，

•••。。为△力BC的中位线，

OD//AC,

•・,DE1AC,

・•・DE1OD,

"OD为圆的半径，

DE与圆。相切；

(3)解：■：AB=AC,^BAC=60°,

・•.△ABC为等边三角形，

:.AB=AC=BC