几何最值问题（针对第10题）（真题2题模拟60题）（解析版）

专题08几何最值问题（针对第10题）（真题2题模拟60题）

1.（2023•安徽）如图，E是线段上一点，△ADE和△8CE是位于直线A8同侧的两个等边三角形，点

P,尸分别是CD,的中点.若48=4,则下列结论错误的是（）

C

A.B4+PB的最小值为3«

B.PE+PF的最小值为2依

C.周长的最小值为6

D.四边形ABCO面积的最小值为3百

【分析】延长4DBC交于M,过尸作直线/〃A8,由△AOE和△BCE是等边三角形，可得四边形。ECM

是平行四边形，而尸为CD中点，知尸为中点，故P在直线/上运动，作A关于直线/的对称点A,

连接A8,当尸运动到A8与直线/的交点，即4,P,8共线时，B4+P8=RV+PB最小，即可得E4+PB

最小值48=\以，2+AB2=2板,判断选项A错误；由即可得当M,P,尸共线时，PE+PF

最小，最小值为的长度，此时PE+PE的最小值为2F，判断选项8正确；过。作。KLA8于K,

过C作C7LLA8于T,由△AOE和△BCE是等边三角形，得KT=KE+TE=^AB=2,有C£>22,故4

CDE周长的最小值为6,判断选项C正确；设4£=2%，可得S四边形ABCD=F（m-1）2+343,即知四

边形ABCD面积的最小值为3«,判断选项。正确.

【解答】解：延长AD8c交于M,过P作直线/〃AB,如图：

/M

,：AADE和△BCE是等边三角形,

：.ZDEA=ZMBA=6Q°,ZCEB=ZMAB=6Q°,

：.DE//BM,CE//AM,

...四边形DECM是平行四边形，

为中点，

为中点，

在线段AB上运动，

在直线/上运动，

由AB=4知等边三角形的高为2百，

到直线I的距离，P到直线AB的距离都为

作A关于直线/的对称点连接A8,当P运动到48与直线/的交点，即A,P,B共线时，PA+PB

=RT+PB最小，

此时PA+PB最小值A'B=7AA'2+AB2=7(273)2+42=2*，故选项人错误，符合题意；

:PM=PE,

:.PE+PF=PM+PF,

...当P,尸共线时，PE+PF最小,最小值为的长度，

为AB的中点，

：.MF±AB,

：.MF为等边三角形ABM的高，

；.PE+P尸的最小值为2近，故选项B正确，不符合题意；

过。作。K_LA3于K,过C作CT_LAB于T,如图，

•/AADE和△BCE是等边三角形，

：.KE=—AE,TE^—BE,

22

KT=KE+TE=2,

2

：.CD^2,

：.DE+CE+CD^AE+BE+2,即DE+CE+CD^AB+2,

：.DE+CE+CD^6,

...△CQE周长的最小值为6,故选项C正确，不符合题意；

设AE=2m,则BE=4-2m,

：.AK=KE=m,BT=ET=2-m,OK=FAK=FCT=FBT=2百-

S^ADK——m,5/3^1=^-nr,S^BCT——（2-m）（2寸^-,S梯形DKTC

2222

=工（«〃Z+2y-百根）・2=2«,

2

.'.S四边形ABCD=43n-2,\f3»i+2-\/3+2V3=V3»i2-2V3»i+4V3=V3（m-1）2+3«,

22

...当机=1时，四边形A8C£）面积的最小值为3F，故选项。正确，不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查轴对称-最短路径问题，涉及等边三角形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的

关键是求出尸的运动轨迹是直线I.

2.（2022•安徽）已知点。是边长为6的等边△ABC的中心，点尸在△ABC外，AABC,△PBC,

△PCA的面积分别记为So,Si,S2,S3.若SI+S2+S3=2SO,则线段OP长的最小值是（）

A.3爪B.5yC.3aD.7%

222

【分析】如图，不妨假设点尸在AB的左侧，证明△B4B的面积是定值，过点尸作A3的平行线连

接CO并延长CO交A8于点R,交PM于点T.因为的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线

PM,求出OT的值，可得结论.

【解答】解：如图，不妨假设点尸在A8的左侧，

*.*S^PAB+S^ABC=SAPBC+SAB4C,

Si+5o=82+83,

*.*SI+S2+S3=2SO,

Si+Si+5o=2s/

.\Si=—So,

2

・・•△ABC是等边三角形，边长为6,

:.So=®乂心=9如,

4

：.S尸迈,

2

过点尸作AB的平行线PM,连接CO延长C。交AB于点R,交于点T.

VAB4B的面积是定值，

点P的运动轨迹是直线PM,

是△ABC的中心，

ACTLAB,CTLPM,

：.1-AB-RT=^^-,CR=3«,OR=«,

22

:.RT=31&,

2_

：.OT=OR+TR=^^-,

2

•：OP，OT,

；.O尸的最小值为且旦，

2_

当点P在②区域时，同法可得0P的最小值为工叵，

2

如图，当点尸在①③⑤区域时，0P的最小值为显旦,当点P在②④⑥区域时，最小值为工叵，

__22

..5班々7如

'22

\⑥；

，

P/,'、④

②/③'、

故选：B.

M/

【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形,三角形的面积等知识，解题的关键是证明的

面积是定值.

选择题（共60小题）

1.（2023•蚌埠二模）如图，〃为RtaABC斜边A8上的中点，等腰△M2。的底边2。与AC交于点尸，若

ZA=30°,则理的最小值为（）

PD

A.1B.V3C.2D.3

【分析】由题意可知A,D,B,C在以点M为圆心的圆上，且为直径，过点。作。N_LAC,可得△

DPNS^BPC,则氏江，则当0V最最大值时，即庭受取最小值，即当点。在京的中点时，亦即

PDDNPDDN

ON经过圆心（DMXAC）时，点。至I弦AC的距离最大，如图，设8C=a,利用含30°的直角三角形

可得DN=DM-MN[a，止匕时，=2,即可得■的最小值为2.

【解答】解：为Rt^ABC斜边AB上的中点，等腰的底边8D与AC交于点P,

：.AM=BM=DM,ZC=90°,

D,B,C在以点M为圆心的圆上，且AB为直径，

过点。作。N_LAC,则/ONP=/C=90°,

'：NDPN=ZBPC,

:.ADPNs^BPC,

•.•-P-B--B-C,

PDDN

由题意可知，8c为长度不发生变化，则当。N最最大值时，即晚注取最小值，

PDDN

即：当点。在AC的中点时，亦即DN经过圆心（QMLAC）时，点。到弦AC的距离最大，如图,

设BC=a,

VZA=30°,ZC=90°,

：.AB=2a,AM=BM=DM=a,

'：DM±AC,

MN=yAM=1a>则DN=DH-HN-|a，

综上，里的最小值为2；

PD

故选：c.

【点评】本题考查相似三角形的判定及性质，圆的相关知识，得到A,D,B,C在以点M为圆心的圆上，

且A8为直径，再添加辅助线构造相似是解决问题的关键.

2.（2023•宿州模拟）如图，NA=NB=45°,AB=4\历，点C，。分别在NA,的另一边上运动，并保

持CO=2,点M在边8c上，8M=2,点N是CD的中点，若点P为上任意一点，则PM+PN的最

小值为（）

B.275+1C.272-1D.2^5-1

【分析】延长A。，BC,交于点。，作点M关于AB的对称点时，连接OM,。时交A8于点P,

脑⑷交A8于点F则PM=PAf,PM+PN=PM'+PN=PM'+OP-1,当0、N、P、四点在同一条

直线上时，ON+PN+PM=OM最小,即PM+PN=OM-1最小，利用勾股定理求出0Ml=而环嬴口

22=2,

=A/4+2^5即求出PM+PN的最小值为2泥-1.

【解答】解：如图，延长A。，BC,交于点。，作点M关于A8的对称点

连接BM,OM,0M1交AB于点P',MM交AB于点F,则PM=PM,

VZA=ZB=45°,

.-.ZCOD=90°,

,:CD=2,N是CO的中点，连接。M

：.ON=LCD=1,即点N在以。为圆心，半径为1的圆位于△AB。的内部的弧上运动,

2

PM+PN^PM+PN^PM+OP-1,

...当O、N、P、M四点在同一条直线上时，ON+PN+PM^OM1最小,

即PM+PN=0M-1最小，

:点/、M关于A8对称，

；.AB垂直平分

：.BM'=BM=2,/MBF=NMBF=NBMM=/BAfM=45°,

AZMBAf=90",

：AB=4近，

.•.OA=OB=4,

：.OM=OB-BM=4-2=2,

:-0M=V0B2+BM72=742+22=2疾■

C.PM+PN的最小值为2遥-1.

故选：D.

【点评】本题考查了最短路线问题，熟练运用勾股定理、点与圆的位置关系是解题的关键.

3.（2023•扬山县二模）如图，在EL4BCD中，〃是AD上一点，E是BC上一动点，过点E作EF〃CM交

于点R若BC=20,8=15,S［疝=生则S4MEF的最大值为（）

5

AMD

C.20D.15

【分析】过点C作CNLA。于点N,设2E=x（0〈尤＜20）,先解直角三角形可得CN=12,从而可得S

ABCM=120,SAMBE=6X,再根据相似三角形的判定可证根据相似三角形的性质可得S

2

△BEF=^-X＞从而可得（x-10）2+30然后利用二次函数的性质求解即可.

【解答】解：如图，过点C作CN，A。干点N,

设(0<x<20),

sinD=—,CD=15,

5

.•.CN=CZ>sin£)=^X15=12,

5

V四边形ABCD是平行四边形,

：.AD//BC,

S^BCM——BC,CN—120,S^MBE——BE,CN—6x,

22

'：EF//CM,

:.ABEFsABCM,

S

.ABEF(BE)2=x、

^ABCMBC400

.3o32

・♦SAMEF=SAMBE~S/\BEF~6x一---Y=—(x-10)+30,

1010

由二次函数的性质可知，在0＜尤＜20内，当尤=10时，SAMEF取得最大值，最大值为30,

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用,

正确求出的面积的函数表达式是解题关键.

4.（2023•包河区一模）如图，已知线段AB=6,点尸为线段A8上一动点，以尸8为边作等边△P8C,以

PC为直角边，/CPE为直角，在同侧构造Rt△尸CE,点/为EC的中点，连接AM,则AM的最

小值为（）

A.1B.2^3C.3D.6

【分析】连接PM,BM,并延长8M至尸，由直角三角形的性质得出PM=CM=LCE,证明

2

BPM（SSS）,由全等三角形的性质得出NC3M=NP3M=30°,当时，AM最小，则可得出答

案.

【解答】解：连接RW,BM,并延长BM至R

VZCPE=90°,M为CE的中点，

：.PM=CM=^CE,

2

又•:△P8C是等边三角形，

：.BC=PB,ZPBC=6Q°,

•；BM=BM,

,△BCM父ABPM（SSS）,

:.NCBM=NPBM=30°,

/.M在ZPBC的角平分线BF上运动，

当时，AM最小，

.,.AM=-1AB=^X6=3.

22

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，

证明4BCM乌ABPM是解题的关键.

5.（2023•肇源县一模）如图，。。的半径是2,直线/与。。相交于A、B两点,M、N是。。上的两个动

点，且在直线/的异侧，若NAM8=45°,则四边形K4NB面积的最大值是（）

A.2^2B.4C.4A/2D.8A/2

【分析】过点。作OCLAB于C,交O。于。、E两点，连接。4、OB、DA、DB、EA,EB,根据圆周

角定理推出△0A8为等腰直角三角形，求得42=&。4=2近，根据已知条件即可得到结论.

【解答】解：过点。作OCLAB于C,交。。于。、£两点，连接。4、OB、DA,DB、EA、EB,如图，

VZAMB=45°,

：.ZAOB^2ZAMB^9Q0,

...△OAB为等腰直角三角形，

：.AB=M0A=2M，

,**S四边形MANB=S4MAB+SANAB,

・••当M点到A5的距离最大，的面积最大；当N点到A5的距离最大时，△N48的面积最大，

即M点运动到。点，N点运动到万点，

此时四边形MAN3面积的最大值=S四边形DA防（CD+CE）=

222

工AB・Z）E=」X2&X4=4'R.

22

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆周角

定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

6.（2023•庐阳区校级三模）在边长为2的正方形ABC。中，点区产是对角线3。上的两个动点，且始终

保持BF-8E=1,连接AE、CF,则AE+CF的最小值为（）

A.近B.3C.2A/3D.2V3+1

【分析】通过证明四边形血狙4是平行四边形，可得AE=W,则当点凡点H点C三点共线时，AE+CP

有最小值，由勾股定理可得.

【解答】解：如图作使得A8=EF=1,连接族,

H

'：AH=EF,AH//EF,

四边形EFHA是平行四边形,

：.AE=FH,

：.AE+CF^FH+CF,

当点尸，点“，点C三点共线时，AE+C尸有最小值，

:四边形ABC。是正方形，

：.AC±BD,AC=2近,

'：AH//DB,

:.AC工CH,

AZCAH=90°,

在RtZ\AC“中，C”=d皿2+AC2=V§^1=3,

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，即可求解.

7.（2023•天长市校级三模）如图，P为矩形ABCQ的边A8的延长线上的动点，AHLPC于H,点E在边

A。上，若AB=6,BC=8,AE=2,则线段即的最大值为（）

A.通+6B.加+5C.273+6D.713+5

【分析】连接AC,以AC为直径作△ABC的外接圆。O,当E,O,”三点共线时，EH取最大值，再过

。作。尸，4。于尸，根据勾股定理求出0ET15，而OH曰AC=5，即可求出线段即的最大值.

【解答】解：连接AC,以AC为直径作△ABC的外接圆O。，

'：AH±PC,

.•.点H在。。上,

当E,O,”三点共线时，EH取最大值,

过。作OFLAD于F,

'：AB=6,BC=8,

.•.AC=10,

为AO的中点，

OF*D=3，

在Rt△。跖中，OE=Ji§，OH-|AC=5-

...线段EH的最大值为+5.

故选：D.

【点评】本题考查了矩形的性质，圆的性质，三角形的任意两边之和大于第三边，作辅助线并判断出EH

最大时的情况是解题的关键.

8.（2023•安庆模拟）如图，菱形A8C。的对角线8。长度为4,边长AB=y，M为菱形外一个动点，满足

BMLDM,N为M£）中点，连接CN.则当M运动的过程中，CN长度的最大值为（）

\N

BD

C

A.1+72B.辰+1C.1D.2

2

【分析】连接AC,交8。于点。，连接ON,易得ON是的中位线，得到ON〃BM,取。。的中

点、E,连接CE,NE,得到CNWCE+NE,得到当C,N,E三点共线时，CN最长，进行求解即可.

【解答】解：连接AC,交8。于点。，连接0M

C

:菱形ABC。的对角线8。长度为4,边长杷小，

J.ACLBD,OD[BD=2，CD=VS-

OC=VCD2-OC2=P

■:N为MD中点，

C.ON//BM,

C.ONLDM,

：.ZOND=90°,

取。。的中点E,连接CE,NE,

贝U：OE^1＜）D=1,CE=VOC2OE2=V2.NE=-1OD=1）

:CNWCE+NE,

...当C,N,E三点共线时，CN的长度最大为CE+NE=1+&；

故选：A.

【点评】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线.掌握并灵

活运用相关知识点，构造三角形的中位线是解题的关键.

9.（2023•迎江区校级三模）如图，&△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。为线段AC上一动点，连

接8。，过点C作于"，连接AH,则AH的最小值为（)

A

c.2V2-2D.2V5-2

【分析】取BC中点G,连接HG,AG,由直角三角形的性质可得8G=CG=2G=LBC=2,由勾股定

2

理可求AG=2。亏，由三角形的三边关系可得A82AG-8G,当点H在线段AG上时，可求A8的最小

值.

【解答】解：如图，取BC中点G,连接//G,AG,

点G是8c中点

:.HG=CG=BG=LBC=2,

2

在RtZVICG中，AG=〃C2KG2=2我,

在△A//G中，AH^AG-HG,

即当点H在线段AG上时，最小值为2遥-2,

故选：D.

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，确定使AH值最小时点H的

位置是本题的关键.

10.（2023•瑶海区校级一模）如图，在△ABC中，ZB=45°,AC=2,以AC为边作等腰直角△AC。，连

BD,则BD的最大值是（）

A.V10-V2B.历蓊c.2V2D.710-fV2

【分析】如图所示，以AC为斜边，作等腰直角△AOC,过点。作交D4延长线于E,连接。。，

则NAOC=90°,0C=0A=/2,ZOAC=45°，先证明点B在以。为圆心，加为半径的圆周上运动（AB

右侧），故当点O在线段8。上时，BD最大,再求出OE,OE的长，进而利用勾股定理求出。。的长即

可得到答案.

【解答】解：如图所示，以AC为斜边，作等腰直角△AOC,过点。作。ELAO交D4延长线于E,连

接。

•'•ZAOC=90°,0C=0A^y-AC=V2-N0AC=45°,

VZABC=45°,

...点8在以。为圆心，为半径的圆周上运动（AB右侧），

，当点。在线段8。上时，BD最大,

,：AACD是以AC为边的等腰直角三角形，

：.ZCAD=90°,AD=AC=2,

：.ZOAE=45°,

•••AAOE是等腰直角三角形，

.72

••AE=0E=2^0A=l'

：.DE=AE+AD=3,

在RtADOE中，由勾股定理得ODi/oE2+DE2=A/1Q'

：.BD的最小值=口0+60=板啦,

【点评】本题主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与

判定，正确作出辅助线确定点B的运动轨迹是解题的关键.

11.（2023•芜湖一模）如图，在正方形ABCO中，已知边AB=5,点E是8c边上一动点（点E不与8、C

重合），连接AE,作点8关于直线AE的对称点R则线段CP的最小值为（

BA

A.5B.5V2-5C.-D.$

22

【分析】连接ARAC,利用勾股定理、轴对称的性质可得AC、AF的长.依据AF+CFNAC,即可得到

当C,F,A在同一直线上时，CB存在最小值.

【解答】解：如图所示，连接ARAC,

,：正方形ABCD的边长为5,

.,.AC=5V2>

；B,尸关于AE成轴对称，

：.AE垂直平分8孔

.,.AB—AF—5,

\'AF+CF^AC,

...当C,F,A在同一直线上时，3的最小值为AC-AP=5&-5,

故选：B.

【点评】本题主要考查了正方形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是依据两点之间，线段最

短进行判断.

12.（2023•无为市二模）如图，在正方形ABC。中，已知边长42=5,点E是8c边上一动点（点E不与

B、C重合），连接AE,作点B关于直线AE的对称点R则线段CF的最小值为（）

C.平

B.572-5D.5

2

【分析】由对称性质可得AP=AB=5,由正方形的性质可得AC=&AB=5加,当点尸在线段AC上

时，CP最小，即可求解.

【解答】解：如图，连接AC,AF,

:四边形ABC。为正方形，AB=5,

:.AC=，,叵AB=5E,

,/点B关于直线AE的对称点为F,

：.AF=AB=5,

当点尸在AC上时，b最小，

VAC-AF=5A/2-5,

线段CF的最小值为5&-5,

故选：B.

【点评】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用轴对称的性

质.

13.（2023•合肥模拟）如图，在△BCP中，BP=J5,PC=4,现以BC为边在BC的下方作正方形ABC。并

连接AP,则AP的最大值为（）

C.4+272D.726

【分析】将△ABP绕点8逆时针旋转90°得△BCE,连接PE,则△8PE是等腰直角三角形，AP=CE,

再利用三角形三边关系可得答案.

【解答】解：将绕点2逆时针旋转90°得△8CE,连接PE,

则ABPE是等腰直角三角形，AP=CE,

:.PE=®BP=2,

在中，CEWPE+CP,

，CE的最大值为2+4=6,

即AP的最大值为6,

故选：B.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形三边关系等知识，熟练掌握旋转的性质是

解题的关键.

14.（2023•铜官区校级一模）已知/A8C=NEAO=90°,。是线段A8上的动点且AC_LED于G,AB=AE

=4,则BG的最小值为（）

B.272-1C.275-2

【分析】取AE中点F,连接BF,GF,由AAGE是直角三角形，E是AE中点，可得FG=^AE=2=

2

AF,故G的轨迹是以b为圆心，2为半径的弧，而“=4AF2+AB2=2&,当B,F,G构成三角形

时，BG>2通-2,从而可得3,F,G共线时，BG最小值为2遥-2.

【解答】解：取AE中点R连接BEGF,如图：

।

F

c

-7；-----—

AD

:ACLED,

...△AGE是直角三角形，

:尸是AE中点,

,-.FG=—A£=2=AF,

2

；.G的轨迹是以尸为圆心，2为半径的弧，

VZ£AD=90°,AB=4,

BF=VAF2+AB2=722+42=2烟，

当B,F,G构成三角形时，BG>BF-FG,即BG>2泥-2,

...当B,F,G共线时，8G取最小值，最小值即为2遥-2.

故选：C.

【点评】本题考查直角三角形中的动点问题，解题的关键是求出G的运动轨迹.

15.（2023•全椒县模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=BC=4,延长A4至点Z）,连接CD,NAOC=45

点尸为3C边上一动点，PELABE,HFUCZ）于R连接EF,则EF的最小值为（）

C

A.(V2+V6)B.春+>/^)C-i-(3^2W6)D.-^-(35/3W6)

【分析】连接。尸，取。尸的中点M,分别连接ME,MF,得点P,F,D,E四点共圆，当MF取最小值

时，EF也取最小值，由此解答即可.

【解答】解：如图，连接DP,取。尸的中点分别连接ME、MF,过C作CH±BD交BD于H.

'：PE±AB,PFLCD,

...点P,F,D,E四点共圆,

•'-ME=MF=yDP-

VZADC=45°,

AZ£A/F=90°,

当MF取最小值时，EF也取最小值,

.*.OP_LBC时，DP取最小值.

：BC=4,

•••CH=DH=2V3>BH=2,

，BD=2«+2，

,：CHXBD=DPXBC,

•••DP=3+V§，

•■•MF=EM=y(3-fV3)>

EF=^-(3+V3)-

即EF的最小值为义•4^6)-

故选：C.

【点评】本题考查等边三角形性质，能得出点P,F,D,E四点共圆是解题的关键.

16.（2023•谯城区一模）如图，矩形A8CD中，48=4,BC=6,点P是矩形A8C。内一点，连接抬，PC,

A.2713-4B.2>/10-3C.2D.4

【分析】由外,尸。可得点P在以中点。为圆心AD为直径的圆上，连接C。交圆于一点即为最短

距离点，即可得到答案.

【解答】解：

，点尸在以中点。为圆心AO为直径的圆上，如图所示,

，连接CO交圆于一点即为最短距离点P,如图所示，

：4B=4,BC=6,

：.0D=3,£>C=4,

根据勾股定理可得，oc=V?^=5,

：.CP=5-3=2,

故选：C.

【点评】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为

与圆心连线的交点.

17.（2023•安徽模拟）如图，尸为等边△ABC外的一个动点（P点与A点分别在8c所在直线的不同侧），

且NAPB=60°,AB=1,则尸B+PC的最大值为（）

A

c-<

D-4

【分析】由“SAS”可证△ASH之/XCBP,可得尸C=AH,则PB+PC=AP,通过证明点A,点3,点P,

点C四点共圆，可得当AP为直径时，BP+PC有最大值，即可求解.

【解答】解：如图，在AP上截取P”=BP,连接8”,

VAABC是等边三角形,

：.AB=BC,ZABC=ZACB=60°,

•：BP=PH,ZAPB=60°,

...△BPH是等边三角形，

:.BP=BH=PH,ZPBH=60°=/ABC,

：.NABH=/PBC,

在△ABH和ACB尸中，

fAB=BC

<NABH=NCBP，

BH=BP

:.△ABH会4CBP(SAS),

：.PC^AH,

：.BP+PC=AH+PH=AP,

VZAPB=ZACB=60°,

.•.点A,点8,点P,点C四点共圆，

设过点A,点3,点、P,点C的圆的圆心为。，连接C。，A0,并延长49交BC于E,

；.NOAC=NOCA=30°,

.•.ZBCO=30°,

/OEC=ZAOC-NBCO=90°,

,,.EC=—AC=—,OC=2OE=OA,

222

；.4。=返，

3

是圆O的弦，

...当AP为直径时，A尸有最大值为22巨，

3

：.PB+PC的最大值为2叵，

3

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，直角三角形的性质等知识，添加恰当的

辅助线构造全等三角形是解题的关键.

18.（2023•蚌埠二模）如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，ZBAC^ZAED^90°,AB=4,AE=

2,AADE绕点A旋转,连接C£»,点尸是CO的中点，连接ER则所的最小值为（）

2-近C.4-V2D.4-272

【分析】由“SAS”可证△RW0ACAH,可得BD=CH,由三角形中位线定理可得跖=工8=工2£）,

22

可得当8。为最小值时，EF有最小值，即可求解.

【解答】解：如图，延长。E至H,使EH=DE,连接8。，AH,CH,

,/AABC和△?1£）£是等腰直角三角形，

J.AB^AC,ZBAC=90°=/AED,AD=®AE=2近,

又,：DE=EH,

：.AD=AH,

：.ZADE^ZAHE^45°,

AZZ)AH=90°=ZBAC,

；./BAD=/CAH,

：.^BAD^/\CAH(.SAS),

：.BD=CH,

：£)E=E//,点尸是CO的中点，

：.EF=^CH=^-BD,

22

当BD为最小值时，EF有最小值，

当点。在A8上时，8。有最小值为4-2加,

：.EF=2-72-

故选：B.

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定

理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

19.(2023•合肥三模)如图，在△ABC中，NA4c=90°,/B=60°,AB=4,若。是边上的动点，

则2AO+OC的最小值是()

【分析】过点C作射线CE,使/BCE=30°,再过动点。作。尸，CE,垂足为点R连接AD,在RtA

。尸C中，ZDCF=30°,DF-|DC,2AD+DC=2(ADVDC)=2(AD+DF)当4。，厂在同一直线上，即

AFJ_CE时，AO+OE的值最小，最小值等于垂线段AF的长.

【解答】解：过点C作射线CE,使/BCE=30°,再过动点。作。尸J_CE,垂足为点凡连接A。，如

图所示：

A

DF-|DC-

72AD+DC=2(AD弓DC)

=2(AD+DF),

...当A,D,尸在同一直线上，即AP_LCE时，/的值最小，最小值等于垂线段的长,

此时，ZB=ZADB=60°,

△ARD是等边二角形,

；.A£)=2D=AB=4,

在Rt^ABC中，ZA=90°,ZB=60°,48=4,

.•.8C=8,

：.DC=BC-BD=4,

：.2AD+DC^2X4+4=12,

：.2AD+DC的最小值为12,

故选：D.

【点评】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学

会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题.

20.（2023•贵池区二模）如图，在Rt/XABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=6,。为AC上任意一点，

厂为AB的中点，连接BD,E在3。上且NBEC=90°,连结EF则所的最小值为（）

A.3愿-3B.2V3-3c.3V3-3D.3

2

【分析】根据锐角三角函数得到AC=6百，再利用中位线定理得到FQ=3百，最后根据及F、Q三点共

线的时，EP的值最小即可解答.

【解答】解：取BC的中点2，连接。。，FQ,

:尸为A2的中点，

；•FQ-|AC，

VZACB=90°,乙4=30°,BC=6,

•••AC=-^7--^-=6V3.

tanA-3

~3~

，FQ=3畲，

VZBEC=90°,

•*-EQ-1BC=3-

当E、F、。三点共线的时，EP的值最小，

•••EF=FQ-EQ=3V3-3.

故选：c.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线

定理是解题的关键.

21.（2023•合肥一模）如图，△A8C为等边三角形，8。平分/ABC,A8=2,点E为8。上动点，连接AE,

则AE卷BE的最小值为（）

A.1B.A/2C.V3D.2

【分析】过E作于M,过H作AHLBC于〃，交BD于E,由△ABC为等边三角形，BD平分

ZABC,可得当AE+」8E最小时，AE+EM最小，此时E与E重合，M与H重合，AE+4

222

8E的最小值为AH的长度，在RtZ\ABH中，有AH=AB・sin/ABH=2Xsin60°=«,故最

2

小值为

【解答】解：过E作于M,过反作AHLBC于X,交BD于E,如图：

•.•△ABC为等边三角形，8。平分NABC,

：.ZEBM=30°,

：.EM=^BE,

2

：.AE+^BE=AE+EM,

2

当AE+」BE最小时，AE+EN最小，此时E与E重合，M与H重合，AE+』BE的最小值为AH的长度,

22

在RtZxAB”中，

AH=AB'sinZABH=2Xsin60°=«,

:.AE+LBE最小值为

2

故选：C.

【点评】本题考查等边三角形的性质，涉及胡不归问题，解题的关键是转化思想的应用.

22.（2023•天长市一模）如图，在正方形ABCO中，AB=4,G是BC的中点，点£是正方形内一动点，且

EG=2,连接DE,将线段DE绕点。逆时针旋转90°得到线段。R连接CR则线段b长的最小值是

()

C.3D.V5

【分析】利用SAS证明△EOG之△£)而,得MF=EG=2,再说明△OGC丝△DMH(A4S),得CG=DH

=2,MH=CD=4,求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案.

【解答】解：连接。G,将。G绕点。逆时针旋转90°得。M,连接MG,CM,MF,

：.ZEDG=ZFDM,

•；DE=DF,DG=DM,

:*丛EDG”丛MDF(SAS),

:.MF=EG=2,

:/GDC=/DMH,ZDCG=ZDHM,DG=DM,

:.△DGgAMDH(44S),

：.CG=DH=2,MH=CD=4,

CM=VMH2-HDH2=V16+4=2遍,

'：CF^CM-MF,

的最小值为2遥-2,

故选：A.

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关

系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

23.(2023•芜湖三模)如图，正方形ABC。的边长是4,动点区尸分别从点A、C同时出发，以相同的速

度分别沿48、C。向终点8、。移动，当点E到达点B时，运动停止，过点8作直线EF的垂线8G,垂

足为G,连接AG,则AG长的最小值为（）

710-^2C.275-2D.2

【分析】设EF交3。与点O,证明5。=0。,连接03,取05中点M,连接MA,MG,则MA,MG

为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可.

【解答】解：设