2024年重庆市江北区九级八年级数学第二学期期末统考试题含解析

2024年重庆市江北区九级八年级数学第二学期期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．直角三角形两条直角边分别是和，则斜边上的中线等于（）A． B．13 C．6 D．2．如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．3．如图，在▱ABCD中，∠A=130°，则∠C-∠B的度数为（

）A．90° B．80° C．70° D．60°4．如图的阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个大正方形，则阴影部分的面积是（）A．16 B．25 C．144 D．1695．如果实数满足且不等式的解集是，那么函数的图象只可能是（）A． B． C． D．6．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则AB的长度为（）A．7 B．8 C．9 D．107．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜ B． C． D．8．已知函数y=2x+k-1的图象经过第一、三、四象限，则k的值可以是（）A．3 B．2 C．1 D．09．下列事件中，属于不确定事件的是（）A．科学实验，前100次实验都失败了，第101次实验会成功B．投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点C．太阳从西边升起来了D．用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形10．如图是小军设计的一面彩旗，其中，，点在上，，则的长为（）A． B． C． D．11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为（）A．（﹣，2） B．（﹣3，） C．（﹣2，2） D．（﹣3，2）12．如图，将直径为2cm的半圆水平向左平移2cm，则半圆所扫过的面积（阴影部分）为（）A．πcm2 B．4cm2 C．cm2 D．cm2二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，△OAB的顶点A在双曲线y=（x＞0）上，顶点B在双曲线y=-（x＜0）上，AB中点P恰好落在y轴上，则△OAB的面积为_____.14．已知x＝2时，分式的值为零，则k＝__________.15．有一个一元二次方程，它的一个根x1＝1，另一个根－2＜x2＜1．请你写出一个符合这样条件的方程：_________．16．关于x的方程有解，则k的范围是______．17．在四边形ABCD中，AB＝CD，请添加一个条件_____，使得四边形ABCD是平行四边形．18．如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为__________．三、解答题（共78分）19．（8分）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：①如图1，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．②如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；（3）问题解决：如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG，GE，已知AC=2，AB=1．求GE的长度．20．（8分）如图：在正方形ABCD中，点P、Q是CD边上的两点，且DP=CQ，过D作DG⊥AP于H，交AC、BC分别于E，G，AP、EQ的延长线相交于R.（1）求证：DP=CG；（2）判断△PQR的形状，请说明理由.21．（8分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝，求菱形BEDF的面积．22．（10分）课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11-10=15-14=1，于是比较这两个数的倒数：，，因为>，所以>，则有<.请你设计一种方法比较与的大小.23．（10分）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点、.求证：.24．（10分）如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD．25．（12分）正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

26．先化简，再求代数式的值：（x﹣1）÷（﹣1），再从1，﹣1和2中选一个你认为合适的数x作为的值代入求值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】

根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，∴斜边＝＝13，∴此直角三角形斜边上的中线等于．故选：A．【点睛】此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质；熟练掌握勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键．2、B【解析】

首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD//y轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC与△ABD的面积之和为，列出方程，求解得出答案.【详解】把x=1代入得：y=1,∴A(1,1),把x=2代入得：y=,∴B(2,),∵AC//BD//y轴,∴C(1,k),D(2,)∴AC=k-1,BD=-，∴S△OAC=（k-1）×1,S△ABD=(-)×1,又∵△OAC与△ABD的面积之和为，∴（k-1）×1＋(-)×1=，解得：k=3;故答案为B.【点睛】:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.3、B【解析】

根据平行四边形的性质求出∠B和∠C的度数，即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，则∠B=180°-∠A=180°-130°=50°．又∵∠C=∠A=130°，∴故∠C-∠B=130°-50°=80°．故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．4、B【解析】

两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方，利用勾股定理即可求出.【详解】两个阴影正方形的面积和为132－122＝25，所以B选项是正确的.【点睛】本题主要考查了正方形的面积以及勾股定理的应用，推知“正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方”是解题的难点.5、A【解析】

先根据不等式kx＜b的解集是判断出k、b的符号，再根据一次函数图象的性质即可解答．【详解】∵不等式kx＜b的解集是，∴k＜0，∵kb＜0，∴b＞0，∴函数y＝kx＋b的图象过一、二、四象限．故选：A．【点睛】一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限．6、D【解析】

根据勾股定理即可得到结论．【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB=AC2故选D．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7、B【解析】

由三角形三条边的关系得1＜x＜5，由于该三角形是锐角三角形，再结合勾股定理求出由锐角三角形变为直角三角形的临界值.【详解】首先要能组成三角形，由三角形三条边的关系得1＜x＜5；下面求该三角形为直角三角形的边长情况（此为临界情况）：当3为斜边时，由勾股定理，22+x2=32，解得x=.当x为斜边时，由勾股定理，22+32=x2，解得x=，综上可知，当＜x＜时，原三角形为锐角三角形．故选B．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系和勾股定理，解题的是由勾股定理求出x的临界值，再结合三角形三条边的关系求出x的取值范围.8、D【解析】

由一次函数图象经过的象限可得出k-1＜0，解之可得出k的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【详解】∵函数y=2x+k-1的图象经过第一、三、四象限，∴k-1＜0，解得：k＜1．故选D．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．9、A【解析】

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A、是随机事件，故A符合题意；B、是不可能事件，故B不符合题意；C、是不可能事件，故C不符合题意；D、是必然事件，故D不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．10、B【解析】

先求出∠ABD=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAC=30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长度是2cm，再利用勾股定理解答．【详解】解：如图，∵AD=AB=4cm，∠D=15°，∴∠ABD=∠D=15°，∴∠BAC=∠ABD+∠D=30°，∵∠ACB=90°，AB=4cm，，在Rt△ABC中，，故选：B．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的边的关系，等腰三角形的等边对等角的性质，三角形的外角性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．11、A【解析】

根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，由BC=OC利用等腰三角形的性质可得出OC、OE的值，再利用勾股定理可求出CE的长度，此题得解．【详解】∵直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）．

过点C作CE⊥y轴于点E，如图所示．∵BC=OC=OA，

∴OC=3，OE=2，

∴CE=,∴点C的坐标为（-，2）．

故选A．【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求出CE、OE的长度是解题的关键．12、B【解析】

根据平移后阴影部分的面积恰好是长1cm，宽为1cm的矩形，再根据矩形的面积公式即可得出结论．【详解】解：∵平移后阴影部分的面积恰好是长为1cm，宽为1cm的矩形，∴S阴影=1×1=4cm1．故选B．【点睛】本题考查的是图形平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、5.【解析】

分别作BC⊥y轴于点C，AD⊥y轴于点D，由P为AB的中点，得到S△ADP=S△BCP，在由A，B都在反比例函数上得到面积，转换即可【详解】如图分别作BC⊥y轴于点C，AD⊥y轴于点D，∵P为AB的中点，∴S△ADP=S△BCP，则S△ABO=S△BOC+S△OAC，∵A在双曲线y=（x＞0）上，顶点B在双曲线y=-（x＜0）上，∴S△BOC=2，S△OAD=3，则S△ABO=5，故答案为5【点睛】熟练掌握反比例函数上的点与坐标轴和原点围成的三角形面积为|k|和面积转换是解决本题的关键14、-6【解析】由题意得：6+k=0,解得：k=-6.故答案：-6.【方法点睛】本题目是一道考查分式值为0的问题，分式值为0：即当分子为0且分母不为0.从而列出方程，得解.15、（答案不唯一）.【解析】

可选择x2=－1，则两根之和与两根之积可求，再设一元二次方程的二次项系数为1，那么可得所求方程.【详解】解：∵方程的另一个根－2＜x2＜1，∴可设另一个根为x2=－1，∵一个根x1＝1，∴两根之和为1，两根之积为－1，设一元二次方程的二次项系数为1，此时方程应为.【点睛】本题考查的是已知两数，构造以此两数为根的一元二次方程，这属于一元二次方程根与系数关系的知识，对于此类问题：知道方程的一个根和另一个根的范围，可设出另一个根的具体值，进一步求出两根之和与两根之积，再设一元二次方程的二次项系数为1，那么所求的一元二次方程即为.16、k≤5【解析】

根据关于x的方程有解，当时是一次方程，方程必有解，时是二元一次函数，则可知△≥0，列出关于k的不等式，求得k的取值范围即可．【详解】解：∵方程有解①当时是一次方程，方程必有解，此时②当时是二元一次函数，此时方程有解∴△=16-4（k-1）≥0

解得：k≤5.综上所述k的范围是k≤5.故答案为：k≤5.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．

总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．17、AB//CD等【解析】

根据平行四边形的判定方法，结合已知条件即可解答.【详解】∵AB＝CD，∴当AD＝BC，（两组对边分别相等的四边形是平行四边形．）或AB∥CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．）时，四边形ABCD是平行四边形．故答案为AD＝BC或者AB∥CD．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．18、2【解析】

正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线所在的直线；由图形条件可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．【详解】解：依题意有S阴影=×4×4=2cm1．

故答案为：2．【点睛】本题考查轴对称的性质以及正方形的性质，运用割补法是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）四边形ABCD是垂美四边形，证明见解析（2）①，证明见解析；②四边形FMAN是矩形，证明见解析（3）【解析】

（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）①根据垂直的定义和勾股定理解答即可；②根据在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得，再根据△ABD和△ACE是等腰三角形，可得，再由（1）可得，，从而判定四边形FMAN是矩形；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．【详解】（1）四边形ABCD是垂美四边形连接AC、BD∵∴点A在线段BD的垂直平分线上∵∴点C在线段BD的垂直平分线上∴直线AC是线段BD的垂直平分线∴∴四边形ABCD是垂美四边形；（2）①，理由如下如图，已知四边形ABCD中，，垂足为E由勾股定理得②四边形FMAN是矩形，理由如下如图，连接AF∵在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点∵△ABD和△ACE是等腰三角形由（1）可得，∵∴四边形FMAN是矩形；（3）连接CG、BE，，即在△AGB和△ACE中∵，即∴四边形CGEB是垂美四边形由（2）得．【点睛】本题考查了垂美四边形的问题，掌握垂直平分线的判定定理、垂直的定义、勾股定理、垂美四边形的性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．20、（1）证明见解析；（2）△PQR为等腰三角形，理由见解析．【解析】

（1）正方形对角线AC是对角的角平分线，可以证明△ADP≌△DCG，即可求证DP=CG．（2）由（1）的结论可以证明△CEQ≌△CEG，进而证明∠PQR=∠QPR．故△PQR为等腰三角形．【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADP＝∠DCG＝90°，∠CDG＋∠ADH＝90°，∵DH⊥AP，∴∠DAH＋∠ADH＝90°，∴∠CDG＝∠DAH，∴△ADP≌△DCG，∵DP，CG为全等三角形的对应边，∴DP＝CG．（2）△PQR为等腰三角形．∵∠QPR＝∠DPA，∠PQR＝∠CQE，CQ＝DP，由（1）的结论可知∴CQ＝CG，∵∠QCE＝∠GCE，CE＝CE，∴△CEQ≌△CEG，即∠CQE＝∠CGE，∴∠PQR＝∠CGE，∵∠QPR＝∠DPA，∴∠PQR＝∠QPR，所以△PQR为等腰三角形．21、（1）证明见解析（2）8【解析】分析：（1）连接BD交AC于点O，则由已知易得BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，结合AE=CF可得OE=OF，由此可得四边形BEDF是平行四边形，再结合BD⊥EF即可得到四边形BEDF是菱形；（2）由正方形ABCD的边长为4易得AC=BD=，结合AE=CF=，可得EF=，再由菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得菱形BEDF的面积了.详解：(1)连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，又∵BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形．(2)∵正方形ABCD的边长为4，∴BD＝AC＝.∵AE＝CF＝，∴EF＝AC－＝，∴S菱形BEDF＝BD·EF＝×.点睛：这是一道考查“正方形的性质、菱形的判定和菱形面积计算的问题”，熟悉“正方形的性质、菱形的判定方法和菱形的面积等于其对角线乘积的一半”是解答本题的关键.22、方法见解析.【解析】【分析】观察可知8+3=6+5，因此可以利用两数平方进行比较进而得出答案．【详解】

，，∵，∴，∵，，∴.【点睛】本题考查了实数大小比较，二次根式的运算，理解题意，并且根据式子的特点确定出合适的方法是解题的关键.23、详见解析【解析】

连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC=∠ABE=∠A=30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE=2CE，则可证得结论.【详解】证明：连接，为边为垂直平分线，.，，，，在中，，，.【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．24、见解析【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD．试题解析：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD