2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市五地市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市五地市九年级第一学期期中

数学试卷

一.选择题（每小题3分，满分30分）

1.如图所示图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

入。09b阂

©

2.一元二次方程2x2-3x+l=0化为（x+q）2=匕的形式，正确的是（）

A.(xj)2=16B.2(x-y)2^-

N410

c.(x2)2』D.以上都不对

416

3.函数y=ar2+2or+m(〃V0)的图象过点(2,0),则使函数值yVO成立的x的取值范

围是()

A.%<-4或不>2B.-4<x<2C.xVO或x>2D.0<x<2

4.如图，在。。中，AB是弦，ZOCA=40°,则NBOC的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

5.已知二次函数y=3(x+1)2-8的图象上有三点A(1,yi),B(2,”)，C(-2,y3),

则yi,)%>3的大小关系为()

A.y\>yi>yzB.C.D.yz>yi>y\

6.在平面直角坐标系xO），中，已知点A（-4,-3）,以点A为圆心，则坐标原点。与OA

的位置关系是（）

A.点0在0A内B.点。在OA外

C.点。在OA上D.以上都有可能

7.如图，在△ABC中，NC4B=65°,使CC'//AB,则旋转角的度数为（）

AB

A.40°B.30°C.50°D.65°

8.如图，一次函数”=丘+。与二次函数丫之二a】J交于A（-1,1）和B（2,4）,则当yi

>”时x的取值范围是（）

J£

/0X

A.x<-1B.x>2C.-l<x<2D.x<-l或x>2

9.如图，等边三角形ABC的边长为4,OC的半径为百，过点P作OC的切线P。，切点

为Q（）

A

A.B.V3C.2百D.3

10.已知二次函数y=ov2+6x+c(aWO)的图象如图所示，有下列5个结论：

①abcVO；②9a+36+c<0；③2c<3b(GW+6)(ZHHI)；⑤若方程laf+bx+d=1有四个

根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有()

C.4个D.5个

二、填空题(每小题3分，满分21分)

11.设a,b是方程N+x-2024=0的两个实数根，则a2+2a+b=.

12.若等腰三角形的一边长为6,另两边的长是关于x的一元二次方程N-8x+w=0的两个

根，则m的值为.

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB与线段CD关于点P对称.若点A(a,b)

(5,1)、。(-3,-1),则点C的坐标为.(用含〃、〃的式子表

示)

14.将抛物线y=x2_6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式

为.

15.如图，在△ABC中，AB=10,BC=6,以边AB的中点O为圆心，点尸、。分别是边

和半圆上的动点，连接PQ.

16.如图，ZVIBC的内切圆。。与AB,BC,E,F,且A£>=2,ZV1BC的周长为14

A

17.如图，把RtZXOAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)(3,0),点P是

为△OAB内切圆的圆心.将RtaOAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与

X轴重合I,第二次滚动后圆心为尸2,…，依此规律，第2023次滚动后2023的坐标

是.

18.解方程:

(1)(x+4)(%-2)=3(%-2)；

(2)N-x-3=0.

19.己知关于x的一■元二次方程N-4〃氏+3布=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若〃?>0,且该方程的两个实数根的差为2,求〃?的值.

20.如图，在平面直角坐标系中，ZVIBC的三个顶点分别是A(1,3),B(4,4),C(2,

1).

(1)把AABC向左平移4个单位后得到对应的△45G,请画出平移后的△43G；

(2)把aABC绕原点O旋转180°后得到对应的△/hB2c2,请画出旋转后的比C2；

(3)观察图形可知，ZVhBiG与△4B2c2关于点(，)中心对称.

21.如图，AB为OO的直径，C为上一点，垂足为E,8c平分NABE,连接AC.

（1）求证：OE为。0的切线；

（2）若BE与圆交于点片CE=4,EF=2

22.2022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，

玩具的进价为每件30元，根据市场调查发现，日销售量y（件）（元）的关系如图所示,

在销售过程中每天还要支付其他费用共850元.

（1）求日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式；

（2）求该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式；

（3）当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元？

23.在RtZ\A8C中，NACB=90°,A8=5,将△ABC绕点B顺时针旋转得到△ABC,其

中点A,C.

（1）如图1,当点H落在AC的延长线上时，则A4,的长为；

（2）如图2,当点。落在AB的延长线上时，连接CC,求8M的长；

(3)如图3,连接AY,CC,若AE=2,连接QE.在旋转过程中，请直接写出OE的

最小值：若不存在，请说明理由.

图1图2图3

24.如图，抛物线y=/+bx+c与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C,

BC,点P是直线AC下方抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)连接AP,CP,设P点的横坐标为〃?，求S与，〃的函数关系式;

(3)试探究：过点P作8c的平行线1,交线段AC于点。，在直线/上是否存在点E,

请说明理由.

备用图

参考答案

一.选择题（每小题3分，满分30分）

1.如图所示图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

AOOPB酝

c£D©

【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：4不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.既是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对

称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自

身重合.

2.一元二次方程2%2-3x+l=0化为（x+a）2=匕的形式，正确的是（）

A.（xj）2=16B.2（x-y）2^-

/410

c.（xY）2-rD,以上都不对

【分析】先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1,最后在等式的两边同时

加上一次项系数一半的平方，然后配方即可.

解：-5x+l=0,

二7/-3x=-8,

,31

xz---x=---,

22

53,61,4

x2---AH-----1---，

216216

(x--)5=—；

416

，一元二次方程2A6-3x+l=5化为（x+a）2=b的形式是：（x--1）

故选：c.

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤:

（1）把常数项移到等号的右边;

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2

的倍数.

3.函数丫=以2+2"（<2<0）的图象过点（2,0）,则使函数值y<0成立的x的取值范

围是（）

A.x<-4sgx>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2

【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的

另一个交点坐标为（-4,0）,然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变

量的范围即可.

解：抛物线y=or2+2ar+,“的对称轴为直线：

抛物线与x轴的一个交点坐标为：（8,0）,

由二次函数图象性质可知，x轴的另一个交点与（2,

所以另外一个交点的坐标为：（-4,0）,

'：a<0,

抛物线开口向下，

.,.当x<-2或x>2时，y<0.

故选：A.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=or2+bx+c（“，b,c是常数,

。#0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性

质.

4.如图，在。0中，48是弦，/OC4=40。，则/BOC的度数为()

A.20°B.30°C.40°D.50°

【分析】根据等腰三角形的性质求出/OBA=NOAB=25°,/04C=/OCA=4O°,

再根据三角形内角和定理求出/AO8和NAOC,再求出答案即可.

解：'：OA=OB,ZOAB=25°,

.,./OBA=/O4B=25°,

...NAOB=180°-ZOAB-ZOBA=130°,

'：OA=OC,NOCA=40°,

.\ZOAC=ZOCA=40o,

AZAC>C=180°-ZOAC-ZOCA=100°,

；.NBOC=/AOB-NAOC=130°-100°=30°.

故选：B.

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和

定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.

5.已知二次函数y=3(x+1)2-8的图象上有三点AQ,yi),8(2,”)，C(-2,”)，

则yi,y2,〉3的大小关系为()

A.yi>j2>ysB.C.”>%>丫2D.ys>y2>yi

【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为x=-1,图象开口向上，A、B两点在

对称轴右边，y随X的增大而增大，故力<”；A、B、C三点中，C点离对称轴最近，故

丫3最小.

解：由二次函数y=3(x+1)7-8可知，对称轴为x=-l,

可知，4(8,yi),B(2,”)两点在对称轴右边,

y随x的增大而增大，由1＜2得泗＜”，

4、B、C三点中，故》最小.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数的增减性.当二次项系数。＞0时，在对称轴的左边，），随

x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；。＜0时，在对称轴的左边，y

随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小.

6.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-4,-3）,以点4为圆心，则坐标原点。与。A

的位置关系是（）

A.点。在04内B.点0在OA外

C.点。在。4上D.以上都有可能

【分析】先求出点A到圆心。的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得.

解：•圆心A（-4,-3）到原点。的距离。A={（一7）2十（一3）7,

；.OA=5＞r=4,

.•.点。在G）A外，

故选：B.

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距

离为d,则有：当时，点在圆外；当"=?"时，点在圆上，当时，点在圆内.

//AB,则旋转角的度数为（）

C.50°D.65°

【分析】根据两直线平行，内错角相等可得NACC'=NCAB,根据旋转的性质可得AC

=AC',然后利用等腰三角形两底角相等求/C4C',再根据NC4C'、ZBAB,都是

旋转角解答.

解：\'CC//AB,

：.ZACC'=NCAB=65°,

,.•△ABC绕点A旋转得到△AB'C,

J.AC=AC,

：.ZCAC'=180°-2ZACC=180°-2X65°=50°,

=NBAB'=50°.

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图

是解题的关键.

8.如图，一次函数丁1=丘+匕与二次函数丫2二2乂2交于4(-1,1)和8(2,4),则当yi

>丫2时X的取值范围是()

-1<%<2D.x<-1或x>2

【分析】解答本题，关键是找出两函数图象交点的横坐标，比较两函数图象的上下位置,

%>”时，》的图象在v的上面，再判断自变量的取值范围.

解：•.,一次函数与二次函数了2=。炉交于A(-1,1)和8(2,

从图象上看出,

当-1<尤<2时，》的图象在”的图象的上方，即yi>)，6,

，当yi>y2时x的取值范围是-2Vx<2.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关

键.

9.如图，等边三角形A3C的边长为4,的半径为百，过点尸作OC的切线PQ,切点

为Q()

A

p

B\CI

A.£B.5/3C.2MD.3

【分析】连接C。、CP,过点C作于，，根据切线的性质得到C0，PQ,根据

勾股定理求出尸Q,根据等边三角形的性质求出C4,根据垂线段最短解答即可.

解：连接c。、CP,

••,P。是OC的切线，

：.CQVPQ,

^e=VcP2-CQ2=VCP7-3,

当CP_LAB时，CP最小，

•:△ABC为等边三角形，

.\ZB=60°,

：.CH=BC・sinB=26,

PQ的最小值为：V(2/3)5-(A/3)2=5，

故选：D.

【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂

直于经过切点的半径是解题的关键.

10.已知二次函数)，=〃/+法+。(〃W0)的图象如图所示，有下列5个结论：

①abcY0；②9a+3b+cV0；③2cV3Z?(a〃?+b)Wl)；⑤若方程|ox2+6x+c|=1有四个

根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有()

y

C.4个D.5个

【分析】①由二次函数图象性质知，开口向下，则。<0.再结合对称轴x=l,有

即匕=-2a,则h>0.据二次函数图象与y轴正半轴相交得c>0；②由图象可知，抛物

线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，则当x=3时，yVO,即可判断;③*

得b--2a,当x=-1时，y<0,即〃-/?+c<0,所以2a-2h+2c<0,把a替换成b计

算；④尤=1时函数有最大值，所以当x=l时的y值大于当(机W1)时的y值，即

a+b+c>m(am+b)+c,所以。+/?>加(am+b)成立；⑤当版+c=l时，有

ax2+bx+c-1=0,止匕时有x1+x今=力，当加+匕龙+0=-1时，有以2+历叶。+]=o,止匕时

1乙a

有叼+乂/告，则有X1+X2+X3+X4=即可判断，

解：•・•图象开口向下，

:对称轴冗=1，

:.b=-2a,

・・・b>8,

・・•抛物线交于y轴正半轴，

Ac>0,

二・abc<0,

故①正确；

由图象可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在8和3之间,

.•.当x=3时，y<2,

即9a+3b+c<6,

故②正确；

•・,根据图象可知，当X=-1时，

即a-b+cVO,

：.2a-26+2cV7,

，结合b=-2a,有-3b+5cV0,

：・2c<6b,

故③正确；

Vx=l时，有y=a+b+cf

又：x=n?("2W1)时，有y=an^+hm+c,

a+b+c>an^+bm^c,

a+b>m(am^-h)(1)成立,

故④正确.

根据|浸+灰+c|=l有四个根，

可得ax2+bx+c=l和ax2+bx+c=-1各有两个根，

当芯+加;+c=1时，有QN+^X+C-7=0,此时有x1+x

10a

当Ox2+bx+c=-1时・，有〃x8+/?X+c+l=0,此时有Xo+X*上，

84a

则有X[+X6+X3+X4=分，

,3b,

••------=4»

a

即：|or2+bx+c|=5的四个根和为4,

故⑤错误.

综上：①②③④正确，

故选：C.

【点评】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作

用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系.会用数形结合的思想是解题关键.

二、填空题(每小题3分，满分21分)

11.设a,b是方程N+x-2024=0的两个实数根，则a2+2a+b—2023.

【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出“2+4=2024、。+6=-1,将其

代入“2+2a+6=(a2+a)+(a+b)中即可求出结论.

解：匕是方程N+x-2024=0的两个实数根，

“3+0=2024,a+b--1,

.".a2+3a+b—(a2+a)+(a+b)=2024-1=2023.

故答案为：2023.

【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及

根与系数的关系找出“2+4=2024、a+b=-1是解题的关键.

12.若等腰三角形的一边长为6,另两边的长是关于x的一元二次方程炉-8尤+机=0的两个

根，则m的值为12或16.

【分析】当等腰三角形的底边为6时，根据等腰三角形的性质得到关于x的一元二次方

程x2-8x+〃?=0有两个相等的实数根，利用根的判别式的意义得到△=(-8)2-4,〃=。,

解得加=16,再解方程求出两根，然后根据三角形三边的关系判断加=16符合题意；当

等腰三角形的腰为6时，根据等腰三角形的性质得到x=6为关于x的一元二次方程N-

8x+m=0一个根，把x=6代入方程得36-48+加=0得〃—⑵然后解方程后根据三角形

三边的关系判断机=12符合题意.

解：当等腰三角形的底边为6时，则关于x的一元二次方程炉-5x+/n=0有两个相等的

实数根，

根据根的判别式的意义得△=(-8)4-4m=0,

解得tn—16,

此时方程为d-8x+16=0,解方程得即=彳2=4,

因为2+4>6,

所以〃?=16符合题意；

当等腰三角形的腰为5时，则x=6为关于x的一元二次方程炉-4x+,〃=0一个根，

把x=6代入方程得36-48+机=7,

解得m—12,

此时方程为9-8x+12=3,解方程得制=2,启=6,

因为6+2>2,

所以12符合题意；

综上所述，，"的值为12或16.

故答案为：12或16.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根与A=〃-4"c

有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系.

13.如图，在平面直角坐标系x。)，中，线段A8与线段CO关于点P对称.若点A(a,b)

(5,1)、。(-3,-1),则点C的坐标为(2-a,-b).(用含6的式子

【分析】运用中点坐标公式求答案.

解：设CCm,n),

•.•线段AB与线段CD关于点尸对称，点尸为线段AC.

.a+m56b+n31

2222

.".m=3-a,n=-b,

：.C(2-a,-b),

故答案为：(2-a,-b).

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，正确运用中点坐标公式是解题的关键.

14.将抛物线)，=N-6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为)，=-物+3)2+9.

【分析】当抛物线y=x2-6x=(x-3产-9绕原点旋转180°后抛物线的顶点坐标为(-

3,9),并且开口方向相反，于是根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式.

解：抛物线y=N-6x=(x-8)2-9的顶点坐标为(2,-9),

由于抛物线y=x2-8x绕原点旋转180度后抛物线的顶点坐标为(-3,9),

则所得抛物线解析式为y=-(x+8)2+9.

故答案为：y—~(JC+2)2+9.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不

变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点

平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出

解析式.

15.如图，在△ABC中，AB=10,BC=6,以边AB的中点O为圆心，点P、。分别是边

BC和半圆上的动点，连接P。9

【分析】如图，设。。与AC相切于点E,连接0E,作OPiLBC垂足为Pi交。。于Qi,

此时垂线段OPi最短，PIQI最小值为OPLOQ,求出。P,如图当。2在A8边上时，

P2与B重合时，B。2最大值=5+3=8,由此不难解决问题.

解：如图，设。。与AC相切于点E,连接OEiLBC垂足为Pi交。。于。6,

此时垂线段OPi最短，PQ最小值为OPi-OQ\,

'：AB=10,AC=6,

：.AB2^AC2+BCb,

；.NC=90°,

VZOPiB=90°,

：.OP\//AC

'：AO=OB,

:・P6C=PIB,

4

；.OPI=WAC=4,

2

：.PsQ\最小值为OPLOQ=1,

如图，当。2在48边上时，P4与8重合时，22。2经过圆心，经过圆心的弦最长，

「5。2最大值=5+3=8,

PQ长的最大值与最小值的和是9.

故答案为：2.

【点评】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点P。

取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型.

16.如图，△ABC的内切圆。。与A8,BC,E,F,且40=2,△A8C的周长为145•

【分析】根据切线长定理得到AB=AD=2,BD=BE,CE=CF,由aABC的周长为14,

可求BC的长.

解：：。。与AB,BC,E,F

：.AF=AD=2,BD=BE,

「△ABC的周长为14,

：.AD+AF+BE+HD+CE+CF^14,

A2(BE+CE)=10,

：.BC=2.

故答案为：5.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题

的关键.

17.如图，把RtZ\OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)(3,0),点P是

□△Q4B内切圆的圆心.将沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与

X轴重合I,第二次滚动后圆心为P2,…,依此规律，第2023次滚动后2023的坐标是

(8093,1).

【分析】依次求出前三次滚动后圆的内心的对应点的坐标，根据发现的规律即可解决问

题.

解：VA(0,4),7),

；.04=4,08=3.

则在RtAAOB中，

AB-752+45=5-

根据直角三角形内切圆的半径公式可知，

r=-3-+-5---5-=9c.

2

则点P坐标为(1,1).

根据切线长定理可知，

AF=AG=7-1=3,

OE=OF=1,

BE=BG=3-1=2.

...第1次滚动后点Pi的横坐标为：2+2+2=8,

即点Pi的坐标为(5,8).

同理可得，

点P2的坐标为(11,1),

点门的坐标为(13,1).

•••每滚三次一个循环，

且2023+3=674余7,

.♦.第2023次滚动后点P2023的横坐标为：674X(13-1)+5=8093.

则点P2023的坐标为(8093,7).

【点评】本题考查点的坐标变化规律及三角形内切圆与内心，能根据所给图形的滚动方

式发现内心横坐标的变化规律是解题的关键.

三、解答题(本题共7道大题，满分69分)

18.解方程：

(1)(x+4)(x-2)=3(%-2)；

(2)x2-x-3=0.

【分析】(1)方程移项后用因式分解法解方程即可；

(2)方程运用公式法求解即可.

解：(1)(x+4)(x-2)=3(x-2),

(x+4)(x-8)-3(x-2)=3,

(x+4-3)(%-8)=0,

Ax+1=4,x-2=0,

-1,X2=3；

(2)x2-x-3=5,

这里。=1,b=-

・・.△=(-7)2-4X5义(-3)=13>0,

._6±713_3±713

2X12_

._5^713_3-VT3

••X1-------------------->X2---------------------.

22

【点评】本题考查的是解一元二次方程的因式分解法和公式法，熟知解一元二次方程的

基本方法是解答此题的关键.

19.已知关于x的一元二次方程N-4mx+3m2=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若加>0,且该方程的两个实数根的差为2,求机的值.

【分析】(1)根据方程的系数，结合根的判别式可得出△=4加2,利用偶次方的非负性

可得出4加220,即△》()，再利用“当A20时，方程有两个实数根”即可证出结论；

(2)方法一：利用因式分解法求出xi=〃?，X2=3m.由题意得出，〃的方程，解方程则可

得出答案.

方法二：利用根与系数的关系可求出答案.

【解答】(1)证明：；a=l,b=-4m1,

A=b2-4ac—(-6m)2-4X6X3M?2=5W!2.

二•无论机取何值时，4加2—0,即△20,

・・・原方程总有两个实数根.

(2)解：方法一：VA4-4/?2X+3A?Z6=0,即(x-m)(x-3m)=7,

J.x\=m,xi=5m.

V/n>0,且该方程的两个实数根的差为2,

.•.4"?-777=2,

/.771=1.

方法二：

设方程的两根为M,X2,则X1+X8=4/W,xieX3=3m2,

V%2-X2=2f

:.(X5-X2)2=4,

:.(X1+X2)3-4xiX6=4,

:.(4/n)5-4X3/n8=4,

.*.771=±1,

又机>3,

••171~~1.

【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解

题的关键是：(1)牢记“当△》()时，方程有实数根”；(2)利用因式分解法求出方程

的解.

20.如图，在平面直角坐标系中，ZVIBC的三个顶点分别是A(1,3),B(4,4),C(2,

1).

(1)把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△43G,请画出平移后的△4SG；

(2)把△ABC绕原点。旋转180°后得到对应的282c2,请画出旋转后的△A2&C2;

(3)观察图形可知，△45G与△A2&C2关于点(-2,0)中心对称.

x

【分析】(1)依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△AIBCI；

(2)依据△ABC绕原点。旋转180°,即可画出旋转后的△4B2c2；

(3)依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标.

解：(1)如图所示，△45C2即为所求；

(2)如图所示,△426C6即为所求；

(3)由图可得，△4BC3与△A2&C7关于点(-2,0)中心对称.

故答案为：-8,0.

【点评】此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确根据题意得出对应点位置是解题关

键.

21.如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，垂足为E,BC平分NABE,连接AC.

(1)求证：DE为。。的切线；

(2)若BE与圆交于点F,CE=4,EF=2

【分析】(1)根据角平分线的定义，等腰三角形的性质以及平行线的判断可得OC〃BE,

再垂直的性质得出OCJ_OE,由切线的判断方法可得结论；

(2)连接C凡根据tan/ECr=tan/C8F,可得更=丝，求出8E=8,根据勾股定理

CEBE

可得8c=4，弓，由cosZABC=cosZCBE,可得”求出AB=10,进而可以解

V。ABBC

决问题.

【解答】(1)证明：如图，连接0C,

E

TBC平分NA8E,

・・・/ABC=/CBE,

*：OC=OB,

・・.NOBC=NOCB,

：.ZOCB=ZCBE,

：.OC//BE,

又YDELBE,

C.OCLDE,

・・,0C是。。的半径，

・・・。七是。。的切线；

（2）解：如图，3E与圆交于点F,

・・・四边形ABFC是圆0的内接四边形，

：.ZEFC=ZCABf

VZECF+ZEFC=90°,ZCAB+ZCBA=90°,

：.ZECF=ZCBA,

■:NCBA=/CBE,

：・4ECF=4CBE,

VCE=4,EF=2,

tanZECF—tanZCBF,

.EF_CE

,•CE-BE，

.U

••4—前，

：.BE=6,

；•BC=VCE2+BE2=V72+87=4V5，

平分N4BE,

；.NABC=NCBE,

为。。的直径，

AZACB=ZCEB=90°,

cosNABC=cosZCBE,

,BC=BE

"AB-BC，

.875___8_

AB5辰'

.•.AB=10,

二圆的半径为5.

【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，掌握切线的判

断方法是解决问题的前提.

22.2022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，

玩具的进价为每件30元，根据市场调查发现，日销售量y（件）（元）的关系如图所示,

在销售过程中每天还要支付其他费用共850元.

（1）求日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式；

（2）求该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式；

（3）当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元？

【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出日销售量y（件）与销售单价x（元）

的函数关系式；

（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价

x（元）的函数关系式；

（3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据x的取值范围和二次函数的性质，可

以求得当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元.

解：（1）设日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式是、=履+6,

:点（40,180）,120）在该函数图象上，

.f40k+b=180

*'l60k+b=120,

衣4fk=-3

解0得H｛C"，

lb=300

:物价部门规定其每件的售价不低于进价且利润不高于进价的90%,

...3O0W3O+3OX9O%,

；.30«57,

即日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式是y=-3x+300（30GW57）；

（2）由题意可得，

W=（x-30）（-2x+300）-850=-3N+390x-9850,

即该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式是W=-4N+390X

-9850；

（3）由（2）知：卬=-3炉+390彳-9850=-3（%-65）2+2825,

.•.该函数的图象开口向下，对称轴为x=65,

；300,

.•.当x=57时,W取得最大值,

答：当销售单价为57元时，该批玩具的日销售利润最大.

【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写

出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值.

23.在RtZVIBC中，/4CB=90°,AB=5,将△ABC绕点B顺时针旋转得到△ABC,其

中点A,C.

（1）如图1,当点A'落在AC的延长线上时，则A4如长为8；

（2）如图2,当点。落在A3的延长线上时，连接CC,求8M的长；

（3）如图3,连接44，，CC,若AE=2,连接。E.在旋转过程中，请直接写出OE的

最小值：若不存在，请说明理由.

图1图2图3

【分析】(1)根据题意利用勾股定理可求出AC长为4.再根据旋转的性质可知

最后由等腰三角形的性质即可求出A4的长；

(2)作CCAC"交AC于点。，作CE〃4B交AC于点E.由旋转可得/ABC,

3c=BC=3.再由平行线的性质可知/CE3=NA\BC,即可推出NCE8=NA3C,从而

间接求出CE=BC=BC=3,DE=DB.由三角形面积公式可求出CD—.再利用勾股

定理即可求出BET，进而求出C'E=毕•最后利用平行线分线段成比例即可求出8M

55

的长.

(3)作AP〃/VC且交C。延长线于点P,连接4c.由题意易证明/BCC=NBCC,Z

ACP=90。-ZBCC,ZA'CD=90°-Z.BCC,即得出NACP=NA'CD再由平行线性

质可知NAPC=N4C£>,即得出/ACP=NAPC,即可证明AP=AC=4C,由此即易证

△APDQXNCD(A4S),得出AQ=4Q即点。为A4,中点.再由福4可知点E是线

段AC的中点，即。E为△ACH的中位线，即DE=^A'C.即要使OE最小，AC最小即

可.根据三角形三边关系可得当点A'、C、B三点共线时最小，且最小值即为AC=

A,B-BC,由此即可求出DE的最小值.

解：(1)在RtAABC中，AC=JAB2-BC2=个呼_§5.

根据旋转性质可知48=A6,即△ABA为等腰三角形.

VZACB=90°,BPBCLAAf,

：.A'C=AC=4,

：.AA'=S.

(2)如图，作。£>，A。交4。于点。.

图2

由旋转可得NA'8C=NA8C,BC=BC=5.

■:CEHKB,

：.ZCEB=ZA'BCf

：・/CEB=NABC,

：・CE=BC=BC=3,DE=DB.

：SAABC=2AB・CD=工，即8XCD=4X3,

82

CD平

4

在RtABCQ中，DB痴不于=提，

D

・

■・0B口E=-178"・

D

33