高中数学同步讲义（人教A版选择性必修一）第26讲 3.1.1椭圆及其标准方程（学生版）

第01讲3.1.1椭圆及其标准方程课程标准学习目标①了解圆锥曲线的实际背景。②了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。③掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。④会根据相关的条件求椭圆的标准方程。⑤会求与椭圆有关的量。1.通过本节课的学习，要求掌握椭圆的定义（相关的量的掌握）及椭圆的标准方程（满足的条件），会求与椭圆有关的几何量知识点01：椭圆的定义1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.说明：若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形2、定义的集合语言表述集合.【即学即练1】（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段【答案】A【详解】因为，，所以，所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.故选：A.知识点02：椭圆的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系【即学即练2】（2023秋·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】错解：∵△ABC的周长为20，顶点，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：D.错因：忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.正解：∵△ABC的周长为20，顶点，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：B.特别说明：1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.题型01椭圆的定义及辨析【典例1】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）设满足：，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在【典例2】．（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（

）．A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线【变式2】（2023秋·四川成都·高二统考期末）椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于.题型02利用椭圆定义求方程【典例1】（2023·上海·高二专题练习）方程，化简的结果是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期末）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式1】（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为．【变式2】（2023·高二课时练习）已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是．题型03椭圆上点到焦点距离（含最值）问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆上一点到右准线的距离为，则点到它的左焦点的距离为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（

）A．1 B． C． D．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【典例4】（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（）A．14 B．16 C．18 D．20【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（

）A． B． C． D．【变式2】（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则的值为．【变式3】（2022秋·上海宝山·高二上海市行知中学校考期末）已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为.题型04椭圆上点到坐标轴上点的距离（含最值）问题【典例1】（2023·江西上饶·校联考模拟预测）点为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是．【典例3】（2023·高二课时练习）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值．【变式1】（2022秋·山东淄博·高一校考期末）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（

）A． B． C．2 D．【变式2】（2023秋·山西晋城·高二统考期末）椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为.【变式3】（2022秋·天津和平·高二天津市第二南开中学校考期中）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为..题型05椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值【典例1】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（

）A．7 B．8 C．9 D．11【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【典例3】（2023秋·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知椭圆C：的左､右焦点分别为､，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为．【变式2】（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）已知F是椭圆的右焦点，P为椭圆C上一点，，则的最大值为．【变式3】（2023·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为．题型06判断方程是否表示椭圆【典例1】（2023·高二课时练习）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】（2023·高二课时练习）设方程①；②．其中表示椭圆的方程是．【典例3】（2023·高二课时练习）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的条件．【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知曲线（

）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是椭圆，其焦点在轴上C．若，则是圆，其半径为D．若，，则是两条直线【变式2】（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是．题型07求椭圆方程【典例1】（2023秋·高二课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（

）A． B．或C． D．以上都不对【典例2】（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）已知椭圆（）的一个焦点为，则（

）A． B．3 C．41 D．9【典例3】（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．【典例4】（2023·高二课时练习）已知椭圆以原点为中心，长轴长是短轴长的2倍，且过点，求此椭圆的标准方程．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（

）A．或 B．或 C． D．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知，两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为.【变式3】（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为．【变式4】（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过、两点的椭圆的标准方程是．题型08根据椭圆方程求参数【典例1】（2023·全国·高二专题练习）方程表示焦点在轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（

）A． B． C．或 D．或1【典例3】（2023·高三课时练习）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是.【变式1】（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）方程表示椭圆的一个充分不必要条件是（

）A．且 B． C． D．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（

）A． B．C． D．题型09椭圆中的轨迹方程问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足.记的轨迹为.求的方程；【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为；【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知的三边a，b，c成等差数列，且，A、C两点的坐标分别为，则顶点B的轨迹方程为．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程；【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．求的方程；【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程．题型10椭圆中焦点三角形周长问题【典例1】（2023春·河南开封·高二统考期末）直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（

）A．10 B．16 C．20 D．不能确定【典例2】（2023·高二课时练习）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（

）A．4 B．8 C．10 D．20【典例3】（2023·全国·高二专题练习）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求.【变式1】（2023秋·高二课时练习）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（

）A．12 B．24 C． D．【变式2】（2023秋·广东·高二统考期末）椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（

）A．14 B．15 C．18 D．20【变式3】（2023·北京·101中学校考三模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是．题型11椭圆中焦点三角形面积问题【典例1】（2023秋·高二单元测试）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．【典例2】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）椭圆的左，右焦点为，且，点P是椭圆C上异于左、右端点的一点，若M是的内心，且，则实数（

）A． B．C． D．【典例3】（2023春·江西·高二校联考开学考试）椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，则面积与周长的比值的最大值为.【典例4】（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求(1)(2)的面积【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（

）A． B． C． D．【变式3】（2023·全国·高二专题练习）设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=A．1 B．2 C．4 D．8【变式4】（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是.题型12椭圆中焦点三角形其他问题【典例1】（2023春·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考阶段练习）在椭圆上有一点P，是椭圆的左､右焦点，为直角三角形，这样的点P有（

）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【典例2】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则．【典例3】（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求(1)(2)的面积【典例4】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则，的大小为.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于（

）A． B． C． D．【变式2】（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为．【变式4】（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段2．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为，则的值为（

）A． B． C．3 D．43．（2023秋·高二单元测试）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（

）A．12 B． C．16 D．105．（2023秋·高二单元测试）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．56．（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（

）A． B．4 C．7 D．7．（2023秋·高二课时练习）已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．48．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为.若点关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·云南·校联考二模）已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（

）A．周长为8 B．C．面积为 D．10．（2023·高二课时练习）对于曲线，下面四个说法正确的是（

）A．曲线不可能是椭圆B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件三、填空题11．（2023春·上海金山·高二华东师范大学第三附属中学校考期末）已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的条件．12．（2023秋·高二课时练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，（O为坐标原点）是面积为的正三角形，则此椭圆的方程为．四、解答题13．（2023·全国·高三对口高考）P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右两个焦点，且．(1)求的最大值和最小值；(2)求的面积．14．（2023·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，且过的直线交椭圆于两点，且，若，，求椭圆的标准方程.15．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过.(1)求椭圆的标准方程；(2)若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长.B能力提升1．（2023春·四川达州·高二统考期末）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥