2023-2024学年福建省宁德市蕉城区博雅培文学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年福建省宁德市蕉城区博雅培文学校九年级（上）月考数

学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.x2—2=0B.x+2y=3C.x-^=1D.x2+x=y+1

2.如图，在△ABC中，DE/IBC,AD=2,DB=4,DE=3,则BC的长为（）A

A.9D

B.6/\

BL---------------

C.4

D.3

3.小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示能够活动的菱形学具，并测得48=60。，AC=6cm,接着

活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）

A.6cmB.3y/~6cmC.6A/^2cmD.12V-2cm

4.如图，点C是线段4B的黄金分割点，且4C<BC,下列选项错误的是（）

ACB

A.紧0.618B.BC=^-^AC

C.BC2=AB-ACD.彩中

5.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针

将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示，红丝带重叠部分形成的图形是（）

A.一般四边形B.正方形C.菱形D.矩形

6.若△ABC7DEF,且面积比为1：9,则与ADEF的周长比为（）

A.1：3B.1：9C.3：1D.1：81

7.在“石头、剪子、布”的游戏中，当你出“剪刀”时，对手与你打平的概率为（）

8.下列说法不正确的是（

A.各边都相等的多边形是正多边形B.正多边形的各边都相等

C.正三角形就是等边三角形D.各内角相等的多边形不一定是正多边形

9.如图所示，点P是△4BC的边4C上一点，连接BP,以下条件中，不能判定的是

（）

C

.ABACBCAC

A.—=—DD.-=--

AP~ABBPAB

C.乙ABP=zcD.乙APB=AABC

10.如图，在菱形ABC。中，AC与BD相交于点0,AB=4,BD=4「，E为力B月

的中点，点P为线段4c上的动点，则EP+BP的最小值为（）

A.4

B.2V-5

C.2。

D.8

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.已知一元二次方程产+依-3=0有一个根为1,则k的值为.

12.在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后

发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则估计口袋中白球大约有个.

13.菱形的周长是24,两邻角比为1：2,较长的对角线长为.

14.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测▲

得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m,但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落A

在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为tfibl

1.2m,又测得地面的影长为2.6m,请你帮她算一下，树高是.

15.设a,0是一元二次方程％2+3丫-7=0的两个根，则a2+4a+£=

16.如图，G,E分别是正方形4BCZ)的边4B,BC的点，且4G=CE,AELEF,

AE=EF,现有如下结论:

①BE="GE；

（2）△AGE=^ECF；

③乙FCD=45°；

（4）△GBEfECH.

其中，正确的结论有

三、解答题(本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题8.0分)

解方程：

(l)x2+6x-7=0；

(2)4x(2x+1)=3(2x+1).

18.(本小题8.0分)

如图，在正方形4BCC中，AE.DF相交于点。且4尸=BE.求证：/.BAE=^ADF.

19.(本小题8.0分)

如图，已知CD是/?«:△ABC斜边AB上的中线，过点。作DE〃/1C,过点C作CEJ.CD,两线相交于点E.

⑴求证：AABCMDEC；

(2)若4c=8,BC=6,求DE的长.

c

E

20.(本小题8.0分)

图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,其顶点称为格点，AABC的顶点

均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.

(1)网格中△ABC的形状是；

(2)在图①中确定一点。，连结DB、DC,使ADBC与AABC全等；

(3)在图②中AABC的边BC上确定一点E,连结4E,使△ABESACBA；

(4)在图③中△ABC的边4B上确定一点P,在边BC上确定一点Q,连结PQ,使APBQ—ABC,且相似比为1：

2.

已知关于x的一元二次方程：x2-(m-3)x-m=0.

(1)证明：无论m为何值，原方程有两个不相等的实数根；

(2)当方程有一根为1时，求m的值及方程的另一根.

22.(本小题10.0分)

佛山某工厂生产一批小家电，2020年的出厂价是144元，2021年、2022年连续两年改进技术降低成本，2022

年出厂价调整为100元.

(1)这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降的百分率.

(2)某商场2022年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了尽快减少库存，商场决定

降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，销售单价应为多

少元？

23.(本小题10.0分)

有3张纸牌，分别是红桃3,红桃4和黑桃5(简称红3,红4,黑5),把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数

字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张.

(1)两次抽得纸牌均为红桃的概率(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)；

(2)甲、乙两人作游戏，现有两种方案.4方案：若两次抽得花色相同则甲胜，否则乙胜.B方案：若两次抽

得纸牌的数字和为奇数则甲胜，否则乙胜.请问甲选择哪种方案获胜率更高？

24.(本小题12.0分)

如图，矩形/BCD中，AB=4,力。=7,点P在射线4。上，将△ABP沿BP翻折得△&BP.

APDAPMDAPD

图1部图3

(1)如图1,过点4作4E〃4P,交BP于点、E,连结E4',求证：四边形AEA'P是菱形.

(2)如图2,点M在线段4。上，且若点M关于4'P的对称点N落在△&BP的边上(点P,M不重合),

求4P的长.

(3)如图3,记射线PA与射线BC的交点为若PD=BH,则PD=(直接写出答案).

25.(本小题14.0分)

如图所示，在长方形4BCD中，AB=8cm,BC=12cm,E为AB的中点，动点P在线段BC上以4cm/s的速

度由点B向C运动，同时，动点Q在线段CC上由点C向点。运动，设运动时间为t(s).

(1)当t=2时，求△EBP的面积；

(2)若动点Q以与动点P不同的速度运动，经过多少秒，AEBP与ACQP全等？此时点Q的速度是多少？

(3)若动点Q以(2)中的速度从点C出发，动点P以原来的速度从点B同时出发，都逆时针沿长方形4BCD的四

边形运动，经过多少秒，点P与点Q第一次在长方形/BCD的哪条边上相遇？

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：4、/-2=0,符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；

B、x+2y=3,含有两个未知数，不属于一元二次方程，故此选项不符合题意；

C、x--X=l,是分式方程，故此选项不符合题意；

。、x2+x=y+l,含有两个未知数，不属于一元二次方程，故此选项不符合题意.

故选：A.

根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，进行判断

即可.

本题考查了一元二次方程的定义的知识点，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次

方程，一般形式是a/+bx+c=0（且aM0）.

2.【答案】A

【解析】解：•••在△ABC中，DE//BC,

bABC,

.竺_竺

'AB='BC9

-AD=2,DB=4,DE=3,

-AB=AD+DB=6,

.•.2=2,

6BC

解得：BC=9.

故选：A.

由在△ABC中，DE//BC,可证得△力DE，△4BC,然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案.

此题考查了相似三角形的判定与性质.注意证得△力DEsAZBC是关键.

3.【答案】C

【解析】解：如图1,图2中，连接4C.

图1图2

图1中，•••四边形48CD是菱形,

•••AB=BC,

乙B=60°,

ABC是等边三角形，

AAB—BC=AC-6cm,

在图2中，•••四边形4BCD是正方形，

■■AB=BC,LB=90°,

•••△ABC是等腰直角三角形，

AC=>/~2AB=6-\Z-2cm；

故选：C.

如图1,图2中，连接4c.在图1中，证△ABC是等边三角形，得出4B=BC=4C=20cm.在图2中，由勾股

定理求出AC即可.

本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属

于中考常考题型.

4.【答案】B

【解析】解：•.•点C是线段4B的黄金分割点，且4c<BC,

：.BC2=AB-AC,AC=^^BC，

・,・选项4、C、。不符合题意，选项8符合题意，

故选：B.

根据黄金分割的定义得黑=煞=苧X0.618,即可解决问题.

ADDC2

本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：过点4作AE1BC于E,4尸1。。于尸，因为两条彩带宽度相同，/0/

所以4B//CD,AD//BC,AE=AF,/：、/(

B/E/C

•••四边形4BC0是平行四边形，//

S^ABCD=BC-AE=CD-AF,

yL-AE=AF,

••BC-CD,

••・四边形ABCD是菱形.

故选：C.

首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠

部分为菱形.

本题考查了翻折变换，菱形的判定，掌握菱形的判定是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：•••△ABCSADEF,且面积比为1：9,

•••△ABC与ADEF的相似比1：3,

.••△ABC与ADEF的周长比1：3,

故选：A.

根据相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形周长的比等于相似比解答即可.

本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比

的平方是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：画树状图为：

剪刀

八

剪刀石头布

共有3种可能的结果数，其中对手与你打平的结果数为1,

所以对手与你打平的概率=g，

故选：B.

画树状图展示所有3种等可能的结果数，再找出对手与你打平的结果数，然后根据概率公式求解.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件4或B

的结果数目小，然后利用概率公式计算事件4或事件B的概率.

8.【答案】A

【解析】解：•••各边都相等、各内角都相等的多边形是正多边形，

二选项A符合题意；

•••正多形的各边都相等，

选项3不符合题意；

•••正三角形就是等边三角形，

选项C不符合题意；

・••各内角相等的多边形不一定是正多边形，

选项。不符合题意；

故选：A.

根据正多边形的判定与性质对各个选项分别判断即可.

本题考查了正多边形的判定与性质以及等边三角形；熟练掌握正多边形的判定与性质是解题的关键.

9.【答案】B

【解析】【分析】

根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两个三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也

相等的两个三角形相似）逐个进行判断即可.

本题考查了相似三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键.

【解答】

解：A、•••乙4=乙4,笑=%，.•.△ABP-ZkaCB,故本选项错误；

APAB

B、根据器=卷和乙4=乙4不能判断△ABPyACB,故本选项正确;

BPAB

C、•••N4=N4,N48P=4C,故本选项错误；

D、v/.A=Z.A,/.APB=/.ABC,：.4ABPfACB,故本选项错误；

故选:B.

10.【答案】C

【解析】解：如图，设4C，BD相交于0,

••・四边形4BCD是菱形，

■•■AC1BD,AO=^AC,BO=；BD=2C，

vAB=4,

・••AO=2,

连结DE交4c于点P,连结BP,作EM1BD于点M,

•••四边形ABC。是菱形，

.-.AC1BD,且。0=B0,即2。是BD的垂直平分线，

PD=PB,

•••PE+PB=PE+PD=DE且值最小，

•••E是AB的中点，EM1BD,

EM=\A0=1,BM=\B0=7-2,

•••DM=DO+0M=^80=37-3,

•••DE=VEM2+DM2=J12+（3「）2=2c，

故选：C.

连结DE交4c于点P,连结BP,根据菱形的性质推出4。是BC的垂直平分线，推出PE+PB=PE+PD=DE

且值最小，根据勾股定理求出。E的长即可.

此题考查了轴对称-最短路线问题，关键是根据菱形的判定和三角函数解答.

11.【答案】2

【解析】解：把x=1代入方程得1+k-3=0,

解得k=2.

故答案是：2.

根据一元二次方程的解的定义，把把%=1代入方程得关于k的一次方程1+k-3=0,然后解一元一次方

程即可.

本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

12.【答案】15

【解析】【分析】

此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键.

由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可.

【解答】

解：设白球个数为x个，

•••摸到红色球的频率稳定在25%左右，

二口袋中摸到红色球的概率为25%,

解得：x=15,

经检验％=15是方程的根，

即白球的个数为15个.

13.【答案】6^/—3

【解析】解：如图，•••菱形的周长是24,

菱形的边长4B=6,-0

••・菱形的两邻角之比为1：2,

二较小的内角=180。乂1=60。，

・•・△4BC是等边三角形，

・•.AC=AB=6,

•••在菱形ABCD中，0A=0C=，4C,OB=；BD,AC1BD,

AO=pC=jx6=3,

在Rt△4B。中，OB=VAB2-AO2=V62-32=3「，

二较长的对角线BO=20B=2x3，耳=6c(cm).

故答案为：6V-3-

作出图形，根据菱形的邻角互补求出较小的内角为60。，从而判断出AABC是等边三角形，再根据勾股定理

求出。B,然后根据菱形对角线互相平分可得BD=20B.

本题主要考查菱形的基本性质，等边三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键.

14.【答案】4.45m

【解析】解：如图，设是BC在地面的影子，树高为X,

根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得：绘=±，而.\\

二树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56,

再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得47=上，

3.560.8

・•・X=4.45,

・•・树高是4.45m,

故答案为:4.45m.

此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高

与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高.

此题考查相似三角形的应用，解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同.

15.【答案】4

【解析】解：va,。是一元二次方程/+3%-7=。的两个根，

■-a+p=-3,a2+3a-7=0,

a2+3a=7,

a2+4a+^=a2+3a+a+p=7-3=4.

故答案为：4.

由a,。是一元二次方程/+3x-7=0的两个根，得出a+/?=-3,a2+3a=7,再把a?+4a+/?变形

为a2+3a+a+j5,整体代入即可求出答案.

本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系等知识，得出a+0=-3,a?+3a=7并将所求代数

式进行合理变形是解题关键.

16.【答案】②③

【解析】解：•••四边形4BCD是正方形，

乙B=4DCB=90°,AB=BC,

vAG=CE,

BG—BE,

由勾股定理得：BE=4GE，

・・.①错误；

・・・BG=BE,乙B=90°,

・•・乙BGE=乙BEG=45°,

・•・乙AGE=135°,

・•・Z.GAE+Z.AEG=45°,

vAE1EF,

・••Z.AEF=90°,

•・•Z-BEG=45°,

・•・^LAEG+Z-FEC=45°,

・••Z-GAE=乙FEC,

在^G4E和ACEF中

(AG=CE,

/-GAE=乙CEF,

AE=EF,

・•.△GAE=ACEPHAS),

・•・②正确；

・•・乙AGE=Z-ECF=135°,

/.Z.FCD=135°-90°=45°,

・•・③正确；

・・・Z,BGE=乙BEG=45°,乙AEG+乙FEC=45°,

・•・乙FEC<45°,

・•.△GBE^\LECH不相似，

・•・④错误.

故答案为：②③.

根据正方形的性质得出48=4DCB=90。，AB=BC,求出BG=BE,根据勾股定理得出BE=殍GE，即

可判断①：求出4GAE+乙4EG=45°,推出NG4E=4FEC,根据SAS推出△G4E三△CEF,即可判断②；

求出乙4GE=AECF=135°,即可判断③；求出NFEC<45°,根据相似三角形的判定得出△GSE^DAECH不

相似，即可判断④.

本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等

知识点的综合运用，综合比较强，难度较大.

17.【答案】解：(1)/+6%-7=0,

(%+7)(%—1)=0,

・•・x+7=0或％—1=0.

%]——7,%2=1;

(2)4x(2x+l)=3(2x+l),

移项，得4x(2%+1)-3(2%+1)=0,

(2%+1)(4%-3)=0.

:.2%+1=0或4%—3=0.

13

・•・=-2，乂2=4-

【解析】（1）利用因式分解法（十字相乘）求解比较简便；

（2）把2x+1看成一个整体，运用因式分解法（提公因式）求解比较简便.

本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键.

18.【答案】证明：•.•四边形2BCD是正方形，

:、乙B—乙DAB=90°,AB=AD,

又・・・4F=BE,

二在△ABE与尸中，

AB=AD

乙B=乙DAB=90°,

AF=BE

•••△4BE22kZMF（S4S）,

・•・乙BAE=ZADF.

【解析】根据正方形的性质得4B=乙DAB=90°,AB=AD,再由4F=BE证明三角形全等，即可得MAE=

ZADF.

此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出a/MF三△力BE是解本题的关键.

19.【答案】（1）证明：••・CEJ.CD,

•••乙DCE=LACB=90°,

又；DE//AC,

•••/.CDE=/-ACD,且CD是4B边上的中线，

CD=AD,

即乙4co=4CAD,

:.Z.CDE=Z.DAC,

*'•△ABC—4DEC；

（2）解：-AC=8,BC=6,

AB=10,

即CD=^AB=5,

248cs△DECf

AB：DE=AC：CD,

即10：DE=8：5,

【解析】(1)由CD是Rt△4BC斜边AB上的中线，DEIIAC,CE1CD,可得CD=AD,即4力CD=4CAD,

进而可得出结论；

(2)根据勾股定理求出AB的长，再根据相似三角形的性质列出比例式即可求解.

本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的

关键.

20.【答案】解：(1)直角三角形；

(2)如图①中，点。，点D'即为所求;

(3)如图②中，点E即为所求；

(4)如图，点P点Q即为所求.

【解析】【分析】

本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定

理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

(1)利用勾股定理的逆定理证明即可；

(2)根据全等三角形的判定，作出图形即可；

(3)根据相似三角形的判定作出图形即可；

(4)作出4B,BC的中点P,Q即可.

【解答】

解：(1)•:AC=722+12=7-5,AB=722+42=2屋,BC=5,

AC2+AB2=BC2,

Z.BAC=90°,

・•・△4BC是直角三角形；

故答案为：直角三角形；

(2)见答案;

(3)见答案；

(4)见答案.

21.【答案】(1)证明：21=(m-3)2-4(-m)

=m2—6m+9+4m

—m2—2m+9

=(m—+8,

(m—l)2>0,

•••(m-I)2+8>0,即4>0,

•••方程有两个不相等的两个实数根；

(2)解：x—1是方程——(m—3)x—m=0的一个根，

,,,1—(7?1—3)—771=0,

解得：m=2,

则方程为：x2+x-2=0

解得：Xi=1,x2=-2,

.•.方程的另一根为-2.

【解析】(1)只要证明4>0恒成立即可；

(2)可将该方程的已知根1代入方程，求出他的值，即可求出方程的另一根

此题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解决此类题目时要认真审题，根据根的判别式列出式子.

22.【答案】解：(1)设平均下降的百分率为工,

依题意得:144(1-x)2=100,

解得：X[16.67%,%2=今■(不合题意，舍去).

答：平均下降的百分率约为16.67%.

(2)设销售单价应为y元，则每台的销售利润为(y-100)元，每天的销售量为20+驶户=(300-2y)台,

依题意得：(y-100)(300-2y)=1250,

整理得：y2-250y+15625=0,

解得：yi=力=125.

答：销售单价应为125元.

【解析】(1)设平均下降的百分率为工，根据2022年的出厂价=2020年的出厂价x(l-下降率/，即可得出

关于x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论；

(2)设销售单价应为y元，则每台的销售利润为(y-100)元，每天的销售量为(300-2y)台，根据每天盈利=

每台的利润x每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用以及近似数和有效数字，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

23.【答案】解：(1)列表如下：

红桃3红桃4黑桃5

红桃3（红3,红3）（红3,红4）(红3黑5)

红桃4（红4,红3）（红4,红4）（红4,黑5）

黑桃5（黑5,红3）（黑5,红4）（黑5,黑5）

一共有9种等可能的结果，其中两次抽得纸牌均为红桃的有4种结果,

・••两次抽得纸牌均为红桃的概率为小

(2)4方案中两次抽得花色相同的有5种结果，B方案中两次抽得纸牌的数字和为奇数的有4种结果，

•••4方案甲获胜概率为上B方案甲获胜概率为《，

故甲选择4方案获胜率高.

【解析】(1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件

的概率.

(2)分别求得两个方案中甲获胜的概率，比较其大小，哪个大则甲选择哪种方案好.

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结

果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

24.【答案】，或5,

【解析】(1)证明：••・四边形4BCD是矩形，

AP//EA',

-AE//A'P,

•••四边形力E4P是平行四边形，

•.•将△4BP沿BP翻折得△A'BP,

PA=PA',

•••四边形AEAP是菱形；

(2)点M关于4P的对称点落在8P上为N,贝ij乙4PB=乙4'PB=^A'PD=60°,

设AP=x,则BP=2x,

在AABP中，AB2+AP2=BP2,即42+%2=(2x)2,解得：工=殍，即AP=殍,

若点M关于A'P的对称点落在AB上为N,

•••KPA'B=90°,

M,A',N,三点共线

vAB=4,AD=7,DM=*设4P=x,,

AM=y,PM=y-x,

BM2=AM2+AB2,解得BM=',

在△BPM中，^PMAB=^BM-AP,

即4(学一%)=与％,解得：x=2,即4P=2,

而当点P在延长线上时，点N不可能在AAZP上，

综上：AP的值为殍或2；

(3)令2P=x,则4P=AP=x,PD=