山东省枣庄市2022-2023学年高二年级下册期末数学 含解析

2022-2023学年高中高二教学质量检测

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.一个质点运动的位移s（单位：米）与时间「（单位：秒）的关系可用s"）=3—2/+,表示，那么质点

在，=2秒时的瞬时速度是（）

A.2米/秒B.3米/秒C.4米/秒D,5米/秒

【答案】A

【解析】

【分析】根据导函数的几何意义，对S”）进行求导，再代入r=2即可解得.

【详解】因为函数s（r）=3—2/+/，所以s'«）=-2+2t,

当.=2时，s'（2）=—2+2x2=2,

故物体在，=2秒时的瞬时速度为2米/秒.

故选：A.

2.下列求导运算正确的是（）

B.(>/x)=—1=

D.(cosx)=sinx

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本初等函数的求导公式及导数运算法则，逐项计算判断作答.

【详解】对于A,=（-'y=-x-2=-^,A错误；

XXx

r-,1J-11

对于B,(Jx)=(x2y=-x2=—尸，B正确；

22y/x

对于c,(—y,c错误；

eee

对于D,(cosx)=-sinx,D错误.

故选：B

3.在对一组成对样本数据(Xj,yj(i=l,2,3,,〃)进行分析时，从已知数据了解到预报变量V随着解释变

量x的增大而减小，且大致趋于一个确定的值.则下列拟合函数中符合条件的是()

A.y=kx+b(^k>0)B.y=-k\nx+b(<k>0)

C.y=-k\[x+b^k>0)D.y=ke'+h(<k>0)

【答案】D

【解析】

【分析】逐项判断各选项中函数的单调性，以及当X-+8时，各函数的函数值的变化情况，可得出合适的

选项.

【详解】当上>0时，函数>=履+6为增函数，y=-Zlnx+b、y=-k-Jx+b./=品-*+/?均为减函

数，

且当x->+8,y=-k\nx+b->^o,y=-kG+bT-e,y=ke~x+b->b,

故选：D.

4.某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X

为其中有奖的瓶数，则后(5乂+1)为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，求出X的可能值及对应的概率，再利用期望的定义及性质计算作答.

【详解】依题意，X的可能值为0,1,2,则

22

P(X=())=EC=±3,P(X=1)=C»'C'=3±,P(X=2)=C==1L,

CJ1()C；5C；1()

3314

因此E(X)=Ox---1-1x—I-2x—=—,

105105

所以£(5X+1)=5£(X)+1=5.

故选：B

5.在(l—x)5+(l—x)6++(1-4°的展开式中，含/的项的系数为()

A.165B,-165C.155D.-155

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用二项式定理、结合组合数性质求解作答.

【详解】(1一力5+(1-66+-+(1-力1°的展开式中含产的项的系数为：

C+c；+c；+c"c；+c：°=c”+c；+C+c；+c；+c；°Y

=C：+C；+C；+Cj+C：+C；o-lO=C；+C；+C；+C：+C：o-10

=C^+C；+C；+C^-10=C^+C；+C^0-10=C^+C|()-10=C^-10=165-10=155.

故选：C

6.现将甲、乙、丙、丁4位老师安排到A,B,C三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所

学校，则甲、乙两人至少有1人到A学校工作的分配方案数为()

A.12B.22C.24D.26

【答案】B

【解析】

【分析】分三种情况，结合排列组合知识进行求解出每种情况下的安排种数，相加即可.

【详解】若甲乙两人中的1人到A学校工作，有C；种选择，

其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两组，再进行排列，有C；A；安排种数，

故有C；C；寓=12种；

若甲乙两人中的1人到A学校工作，有C；种选择，

丙丁中一人也到A学校工作，有C；种选择，

其余2人到另外两个地方工作，有A；种选择，

故安排种数有C；C；A；=8种；

若安排甲乙2人都到A学校工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有A；=2种，

故总共有12+8+2=22种.

故选：B.

7.已知事件A,8满足P（A）=|,尸（5|A）=1,P伍同=；，则尸（8）=（）

137

A."B.-C.—D.

2510

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意利用全概率公式运算求解.

【详解】由题意可得：/5（A）=1-P（A）=|,P（B|A）=1-P（fi|^）=|,

所以P（B）=P（BIA）P（A）+P（BM）P⑷=§xg+丁丁6

故选：C.

72

8.已知。=一，/?=0.7e°」，c=cos-,则（）

A.a>b>cB.h>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】

【分析】利用常见放缩x—121nx,构造函数/(x)=l—x+lnx,判断出8<a,然后利用sinx<x,构造

sin-<~,从而判断c>a即可.

33

71999

【详解】lnb-lna=0.1+ln0.7-ln—=—+ln—=l——+ln—,

910101010

11_Y

令/(x)=l—x+lnx,贝！］=一1+—=•-----,

当0<x<l时，制冷>0,所以/(“)在(0,1)上单调递增，

\nb-\na=f<〃l)=0,

:.b<a\

c=cos—=1-2sin2-，

33

易知0<sin,<,，

33

21c.21127

/.c=cos—=l-2sin—>1——,

3399

:.c>a>b.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列等式成立的是（）

C.A：：；-A：=〃2A3D.C：+C：++C；；=2"

【答案】BC

【解析】

【分析】利用排列数与组合数公式计算可以判断ABC选项，特殊值法判断D选项即可.

【详解】对于A,——,故A错误；

yn-my,

m

对干BC=—-——用=加+1乂("+*=m

，〃*n+\""n+1+，

41

所以c：=—故B正确；

n+l

对于c,A：：；-A：=(〃+1)!-〃！=〃!(〃+1-1)=〃・〃！，n2A；；：；=ir{n-Y)\=n-n\,

所以A：：；-A；；=n2A；；Z；，故C正确；

对于D,当“=2时，C；+C；=3N22,则C：+C：++C：=2"不成立，故D错误

故选：BC.

10.下列结论正确的是（）

A.经验回归直线§=乳+%恒过样本点的中心,亍），且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越

好

B.在一个2x2列联表中，由计算得力?的值，那么力?的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大

C.若散点图中所有点都在直线y=-x+l上，则相关系数r=1

D.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得,2=2.974.依据a=0.05的独立性检验

（P（Z2>3.841）=0.05）,则变量x与y独立

【答案】BD

【解析】

【分析】根据案例分析相关知识逐项分析判断.

【详解】对于选项A：经验回归直线¥=%+%恒过样本点的中心（H）,

拟合效果是整体效果，与在经验回归直线上的样本点的多少无关，

如果在经验回归直线上的样本点增多，但其他点偏离程度增大，相应的残差的平方和仍可能会增大，拟

合效果也会变差，故A错误：

对于选项B：对于32可知：力2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，故B正确；

对于选项C：因为卜|越接近于1,线性相关性越强，

若散点图中所有点都在直线y=-x+l上，则上|=1,

但此时为负相关「<0,所以r=—1，故C错误；

对于选项D：因为72=2.974<3.841,

依据e=0.05的独立性检验可知，没有足够的把握认为变量x与y有关，所以变量x与y独立，故D正

确；

故选：BD.

11.随机变量X/V（30,62）,yN（34,22）,则下列命题中正确的是（）

A.若尸（XW27）=a,则尸（30WX<33）=05

B.随机变量X的密度曲线比随机变量y的密度曲线更“瘦高”

C.P（X<34）>P（y<34）

D.P（X<24）<P（y<30）

【答案】AC

【解析】

【分析】根据给定的正态分布，利用正态分布的性质逐项判断作答.

【详解】随机变量X7V（3O,62）,yN（34,22）

对于A,当P（X«27）=a时，P（30<X<33）=P（27<X<30）=P（X<30）-P（X<27）=0.5-a,

A正确；

对于B,由于6<2,则随机变量X的密度曲线比随机变量y的密度曲线更“矮胖”，B错误；

对于cP（X<34）=P（X<30）+P（30<X<34）>P（X<30）=0.5=P（Y<34）,C正确；

对于D,P（X<24）=0.5-P（30-6<X<30）,P（r<30）=0.5-P（34-2x2<y<34）,

而P(30—6<X<30)<P(34—2x2<Y434),因此P(XW24)>P(YW30),D错误.

故选：AC

2

12.已知函数/（x）=I+e*T一℃有四个零点%,9,玉,％4（%<A3cxJ,则（）

A.%]+龙2>2

211

B.-<a<-+—

e-ee'

C.111（石工2%3%4）-（3+%2+毛+七）=一8

D.若々=2-6，则七=2+百

【答案】BCD

【解析】

Y

【分析】根据函数零点转化为方程的根，令/二=，即方程e02—e4必+1=0有两根，利用导数分析得

e

X

y=F的图像性质，根据一元二次方程根与系数的关系，结合函数图象、指数函数与对数函数的性质逐

e

项分析即可得答案.

元2xPv

【详解】由题意知二+，'-4一批=0有四个不同的根，显然XW0,则土——4=0,

eve,e4x

x1

令，=x，贝--。=0,即e’r—eZr+luO，

eel

,,x,1-x

另a外丁=二，y=「一，

ee

1—x1—x

当为<i时，y=—^>o；当x>i时，y=--<o；

ee

x

故y==在区间（一8,1）上单调递增，在区间（l,y）上单调递减，

e

根据题意知e，2—Q4at+1=0存在两根4,L,不妨设，<G,

则满足o<i<j但生即有Z

则由图象可知0<占v*2vl，所以玉+彳2<2,故A错误;

由于方程e，2-e%r+l=0的两根％6满足0<4<弓<->

e

解得故B正确;

由4=宏=含=得a宏宏/=5)2=/

8

两边取自然对数得111(%］为七七)一(玉+x2+x;t+x4)=-lne=-8,故C正确;

由巾2=£・^=虎今=5,两边取自然底数得ln%+ln/=X2+X4—4,

若x?=2-旧,则ln(2—Gj+ln/=^2—5/3j+x4—4,

所以InX4-Z=-In(2-y/3^-2-y/3=In(2+"^5)-(2+y/^'j,

☆m(x)=lnx-x,x>l,则加(％)=m(2+J5),/(x)=——1=-~^<0恒成立，

所以团(x)在(1,+c。)上单调递减，又2+6>1，％>1,

所以玉=2+百，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图

象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形

结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线卜=。与函数

y=g(x)的图象的交点问题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.拟从5名班干部中选若干人在周一至周五期间值班(每天只需1人值班)，要求同一名班干部不连续值

班2天，则可能的安排方法有种.(用数字作答)

【答案】1280

【解析】

【分析】根据给定条件，利用分步计数乘法原理从周一开始逐天安排作答.

【详解】安排周一有5种方法，由于同一名班干部不连续值班2天，则前一天值班的不值相邻后一天,

因此安排后面每一天值班的都有4种方法，

所以可能安排方法种数是5x4x4x4x4=1280.

故答案为：1280

14.己知变量x和y的统计数据如下表：

X99.51010.511

yH10865

若由表中数据得到经验回归直线方程为y=-3.2x+a，则x=9时的残差为

【答案】-0.2##—(

【解析】

【分析】根据数表，求出样本的中心点，进而求出2及残差作答.

-9+9.5+10+10.5+11,八一11+10+8+6+5。

【详解】依题意,x=------------------=10,y=---------------=8，

55

于是4=7+3.21=8+3.2x10=40，即y=—3.2x+40,

当x=9时;y=—3.2x9+40=11.2,所以x=9时的残差为11一11.2=-0.2.

故答案为：-0.2

15.数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个

量算两次，从而建立相等关系“这就是算两次原理，又称为富比尼原理.由等式

(1+x)n，(l+幻"=(1+x)m+n利用算两次原理可得C：C：++C++=—.

【答案】C：+“

【解析】

【分析】利用二项式定理，结合所求式子的意义求解作答.

【详解】因(l+xy"(l+x)"=(C：+C\x+C52+…+c#")(C+C：x+C%2+…+c：x"),

因此C：C+C；„C*-'+C：C：2++C：c：是展开式中xk项的系数，而(1+x)'"+"展开式中X*项的系数

为Ck，

所以c：c：+C“c3+c：c尸++C：c=CL„.

故答案为：c1.

16.己知定义在R上的函数/(x)的导函数为/'(x),且满足r(x)—〃x)<0,〃2)=e,则不等式

/(x)>ei的解集是.

【答案】(—8,2)

【解析】

【分析】根据不等式/'(力-〃x)<o构造函数，利用导数判断单调性解不等式作答.

【详解】依题意，令g(x)=与，求导得g'(x)=/g)二/⑴<0,因此函数g(x)在R上单调递减，

e/

不等式/(x)>exTo^^>［，由/(2)=e,得(=/=F=g(2),

则有g(无)>g(2),解得x<2,

所以不等式/(6>17的解集是(一8,2).

故答案为：(一8,2)

【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函

数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.现有来自三个班级的考生报名表(一人一表)，分装3袋.第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第

二袋有7名男生和3名女生的报名表，第三袋有5名男生和5名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中

随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率.

14

【答案】—.

27

【解析】

【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答.

【详解】记4="抽到第i袋”，ie{l,2,3},B="随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1

份”，

则p（4）=尸（A2）=P（A,）=；,

C\C\24C'C'21C'C'25

1c245c2453c245

Jor」Jo"Jo"

124212514

所以尸（5）=P（3|A）P（A）+P（3|A2）P（&）+P网4）。（4）=,（*+*+r）=方.

18.某中学为调查本校学生“保护动物意识的强弱与性别是否有关“，采用简单随机抽样的方法，从该校分

别抽取了男生和女生各50名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图:

II保护动物意识强

匚二］保护动物意识弱

（1）根据己知条件，将下列2x2列联表补充完整:

保护动物意识

性别合计

强弱

男50

女50

合计100

（2）根据（1）表中数据，依据小概率值a=0.005的独立性检验，分析该校学生保护动物意识的强弱与

性别是否有关.

n^ad-bcy

附：Z2n-a+b+c+d■

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.005

Xa7.879

【答案】（1）列联表见解析；

（2）有关.

【解析】

【分析】（1）利用等高堆积条形图求出相关数据，列出2x2列联表作答.

（2）由列联表求出的观测值，再与临界值比较作答.

【小问1详解】

由等高堆积条形图知，男生保护动物意识强的有50x0.7=35,女生保护动物意识强的有

50x0.4=20,

于是2x2列联表如下：

保护动物意识

性另IJ合计

强弱

男351550

女203050

合计5545100

【小问2详解】零假设为：该校学生保护动物意识强弱与性别无关，

2

ggkiQ++M皿的4H,100（35x30-15x20）100_____

根据列联表中的数据，得;T=-----------------=——«9.091>7.879

55x45x50x5011

根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断也不成立，

即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.

19.已知/（x）=2x——的展开式中第5项与第3项的二项式系数相等.

（1）求〃及展开式中各项系数的和；

（2）求+的常数项.

【答案】（1）〃=6,各项系数的和为1

（2）-64

【解析】

【分析】（1）根据题意结合二项式系数的对称性可得〃=6,在利用赋值法求各项系数之和;

(2)根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解.

【小问1详解】

由题意可知：C：=c；,解得〃=6,

即〃x)=(2x—,

令x=l,可得展开式中各项系数的和为/(1)=(2-1)6=1.

【小问2详解】

因为(1+摄)/(x)=/(x)+}/(x),

对于/(x)=(2x—4］，可知其展开式的通项为

却=(-1广26，鼠尸丁=0,1,...,6,

令6-2r=0,解得r=3,此时7；=(-以"=一160；

令6-2厂=4,解得r=1，此时(=(一1»2、(：葭/=96/；

1

所以+的常数项为=-160+96=-64.

X

20.已知函数/(x)=gx3-4x+4.

(1)求曲线y=/(x)在点(3,1)处的切线方程;

(2)若“X)在区间(。,。+5)上既有最大值又有最小值，求a的取值范围.

【答案】⑴5x-y-14=0；

(2)—3<a<-2.

【解析】

【分析】(1)求出函数/5)的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.

(2)利用导数求出函数的极值点及极值，再求出函数值为极值时的x值，结合已知列出不等式作答.

【小问1详解】

函数/(x)=gd-4x+4,求导得r(x)=/一4,则八3)=5,

所以所求切线方程为y—l=5(x—3),即5x—y—14=0.

【小问2详解】

由(1)知，/'(x)=(x-2)(x+2),当x<—2或x>2时，广(幻>0,当一2<x<2时，/V)<0,

则函数fM在（-8,-2）,（2,小）上单调递增，在（-2,2）上单调递减，

284

当x=—2时，函数取得极大值/（一2）=石，当x=2时，函数/*）取得极小值/（2）=-§,

92128

由/（x）=w，即§/-4%+4=5，得d—12x—16=0,即（X+2）2（X-4）=0,解得x=—2或

%=4,

41,4

由/（幻=一§,即5%3一以+4=—§,得％3—12x+16=0,即（X—2）2（X+4）=0,解得x=2或

x二Y，

作出函数/（X）的部分图象，如图，

因为/（X）在区间（a,a+5）上既有最大值又有最小值，则有｛2<“+5<4’解得一3<〃<一2,

所以。的取值范围是—3<a<—2.

21.某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动.每局中选手需依次回

答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题

时，答题活动停止，选手获得8个积分.假定选手甲正确回答每一道题的概率均为，（0<〃<1）.

（1）甲完成一局“挑战答题''活动时回答的题数记为X,求X的分布列；

2

（2）若〃=记y为“甲连续9天参加，挑战答题，活动获得的积分”，求E（y）.

【答案】（1）分布列见解析

⑵空

3

【解析】

【分析】（1）利用互斥事件与独立事件的概率公式，结合随机变量分布列的求解方法即可得解;

(2)记2="连续9天参加“挑战答题”活动中得10分的次数”，利用二项分布求得E(Z),再利用随机

变量数学期望的性质求得E(y),从而得解.

【小问1详解】

记4="第i个题目回答正确"，兄="第i个题目回答不正确”，i=l,2,3,4,由题意知X可能取值

为2,3,4,

P(X=2)=P(A4)=(1—p)2,

p(X=3)=尸(A&4)+P(AW4)+P(4&A)=p3+2p(l—“)2=3p3-4p2+2p,

P(X=4)=P(A44)+P(A44)+P(*4)=3p2(l—p)=-3p3+3p2,

则X的分布列为：

X234

P(1-P)23P3-4p2+2p-3P3+3p2

【小问2详解】记2="连续9天参加“挑战答题”活动中得10分的次数”，

每天得10分的概率记为〃'，则Z3(9,〃')

由题意知p'P(AlA2A3)+P^AiA2A3A4^+P^AiA2A^+

所以E(Z)=np'=9x—=—,

又因为Y=10Z+8(9—Z)=72+2Z,

所以E(Y)=72+2E(Z)=72+2x3=邺.

33

【点睛】关键点睛：本题第2小问解决的关键是得到y关于z的关系式，从而利用随机变量数学期望的

性质求解即可.

22.已知函数/(X)=lnx+ax-L,g(x)=xlnx+(a-l)x+，.

(I)讨论/(x