新高考河北省衡水中学2023 届高三年级上册三调数学试卷及答案

3.7.河北省衡水中学2023届上学期高三年级三调考试数学

一、选舞题，本JB共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合M={x\y=ln（l—c）},集合N={y\y=e。cGR}（e为自然对数的底数）,则MCIN=（）

A.{rr|x<1}B.{x\x>1}C.{x|0<rr<1}D.{x|x>0}

2.已知a的终边与单位圆交于点得，一竽），则cos2a=

()

A--9B-卷C.D.-1

若函数）［在点（（））处的切线的斜率为则22的最小值为

3.fQ=alnrr-1,/l1,a+b()

A./B.乌C.空D.,

4.将函数y=sin2z的图象向右平移p个单位长度后，得到函数片cos（2o;+专）的图象，则w的值可以是（）

5.已知函数/（GMsineftxr+MGuAO.OCpVTu）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A./Q）的最小正周期为普

B./㈤的图象关于点（一专,0）对称

C./㈤在区间［0,专］上的最小值为一夸

D.f（x）的图象关于直线2=—诰对称

6.若函数/（z）=|tan（5；—s）|（s>0）的最小正周期为4,则下列区间中/Q）单调递增的是（）

B-(14)C停，到D.(3,4)

7.圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推夏至正午阳光

定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和百穿冬至正午阳光

一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为冬至二、

“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭

面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短

的那一天定为夏至.图乙是一个根据某地的地理位置设计的北

里至线主冬至线

主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即ZABC）乙

大约为15°,夏至正午时太阳高度角（即ZADC）大约为60°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a,

则表高（即47的长）为（注：sinl5°=避亍巫）

B.『「V3—1n3—V3

A.(2—A/3)(IC.——QD.——a

8.已知不等式/㈤>0的解集为4若4中只有唯一整数，则称力为“和谐解集”，若关于i的不等式simr+cos:r>

2mx+|sinc-cos/|在区间（0,兀）上存在“和谐解集”,则实数m的可能取值为（）

A.生等B.乌C.D.cosl

二、选界黑：本题共4小JB,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选

对的得2分，有选错的得0分.

9.在△力BC中，内角ABC的对边分别为a,b,c,下列说法中正确的是（）

■65­

A.“A4BC为锐角三角形”是“sinA>cosB”的充分不必要条件

B.若sin24=sin2B,则△ABC为等腰三角形

C.命题“若则sinA>sinb”是真命题

D.若a=8,c=10,B=则符合条件的A4BC有两个

10.已知函数/(0=2cos(2rc+弓)，则下列说法中正确的是()

A.V小g€R，若|/(xt)-/(x2)|4M恒成立，则4

B.若/(21)=f(x)，则©+g=麻—弓，/c€Z

2J

c.若为+g=专,则f3i)+f(x2)=o

D.若的,(蚩，普)，且/(为)=/(叫)(电，⑦2)，则/(为+啊)=1

H.在数学史上,为了三角计算的简便及更加追求计算的精确性，曾经出现过两种三角函数:定义1-cos。为角e的

正矢，记作“ersin公定义1一sinJ为角8的余矢，记作coversin。,则下列结论中正确的是()

A.versing=|

B.versing—6)—coversin^-—一夕)=0

Q若coversine-1_则cove『sina;-1

versinx—12—(coversina;+versmx)y

D.函数/(,)=wrsin^2022x—皆~)+coversin^2022rE+太)的最大值为2+V2

12.已知函数f(①)=cosac+N'2(o&av7r),/(2)—/(1)=2,则/a)在区间［—2,2］上的极值点的个数可能为()

A.1B.2C.3D.4

三、填空题,本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知2sin(a—给=cost,则tana=.

14.已知定义在H上的函数/(⑼满足/(4—2)+/3)=2,若/Q)的图像关于直线力=4对称，则/(—2)=.

15.已知函数/⑸=sin|x|-cosa,若关于x的方程/(力)=m在［-2兀,当］上有三个不同的实根，则实数?n的取

值范围是.

16.据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60。,距离该市400千米的位置，台

风中心以40千米/时的速度向正北方向移动,距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台

风影响到影响结束,持续的时间为小时.

四、解答flh本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步・

17.已知目④)是定义在R上的奇函数，当6G(0,+8)时，/(c)=d+4=

(1)求/(N)的解析式；

(2)若f(t+1)+f(2t)>0,求实数t的取值范围.

•66•

18.已知△ABC的内角内,B,C的对边分别为a,内c,若6=4,在

①(b+c)(sinB-sinC)=(sin力—sinC)a,②cos2(A+C)+3cosB=1

两个条件中任选一个完成以下问题：

⑴求B:

(2)若D在上，且BD_LAC,求的最大值.

19.已知函数/⑶—A/3sina>xcosa)z—cos'%c+-y(w>0)，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为y4+

(1)求函数/做)的解析式；

(2)记△ABC的内角A3,。的对边分别为a,b,c,a=4,be=12,/(A)=1.若角A的平分线AD交B。于。，求

AO的长.

20.在△4BC中，内角AB,。的对边分别为a,b,c,btanA+btanB=q组.

cos/1

⑴求角8

⑵。是力。边上的点，若。。=1,力。=8。=3,求近114的值.

■67­

21.已知△48。的外心为O,MN为线段48,A。上的两点，且。恰为7VW中点.

(1)证明：\AM\-|MB|=|AN|•|NC|

⑵若|AO|=g,|OM=1,求架”的最大值.

22.已知函数/(力)=exsinx+ax,xG[。£]

(1)若Q=—1,求/(c)的最小值；

(2)若/(0有且只有两个零点,求实数a的取值范围.

・68•

【详解】因为g=cos(2z+[)=sin(2a;+专+与)=sin(2/+专)，

河北省衡水中学届上学期高三年级

3.7.2023将函数"=$322的图象向右平移0个单位长度后，得到函数g=

三调考试数学sin[2(x—^)]=sin(2x—2(p)的图象，

由题意可得与=2k兀—2(p(kGZ)，可得(p=kit一卷(kWZ)，当k=1

一、选算题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题

时，W=竽，

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

故选：D.

1.已知集合M={①|g=ln(l—4)},集合N={y\y=

5.己知函数/(力)=sin(2cox+尹)(①>0,0V3V兀)的

e。/CR}(e为自然对数的底数),则MHN=

部分图象如图所示,则下列结论正确的是()

()

A.73)的最小正周期为"

A.{x\x<1}B.{a;|x>1}

57r兀/

C.{x|0<3：<1}D.{x|x>0}6lk\2

【答案】cB.f⑺的图象关于点2\、

【解析】(号,。)对称一

【分析】求出集合M,N由交集的运算可得答案.

【详解】1集合M={x\y=ln(l-rr)}={x|l-z>0}={x\x<1},仁/(0；)在区间[0,£]上—少

c

N={y\y=etxER}={?/|z/>0},

/.MCIN={rr|0<x<1}.

的最小值为

故选：。.

D./(⑹的图象关于直线c=—等对称

2.已知a的终边与单位圆交于点信,一竽)，则

【答案】D

()

cos2a=【解析】

A--JB.卷C—/D.T【分析】根据给定条件，结合“五点法”作图，求出函数/3)的解析式，再

逐项判断作答.

【答案】A(详解】观察图象知，f(0)=si”=■，而OV3VK,解得0=■或0=

【解析】57r

【分析】根据余弦值的定义可得cos4=§,再根据二倍角的余弦公式求瓦，

函数/(④)周期7=杂=三，由图象知春■<等VT,即堂VTV

解即可21ui(t)2Jo

萼,因此冬〈生〈萼，

十,所以cos2^=2cos2a•360)6

【详解】由题得cosa=■I广解得,V3V条,由五点作图法知，2a)•+8=粤•，当9=1■时，3

4ZuZ0

=1；当0=器时,3=4,不符合题意，

2

-1=2x(1)-l=-f.

故选:A所以0=争0=1，/3)=sin(22+,)，

f(x)的最小正周期为兀，A不正确；

3.若函数/Q)=almr-。在点(1,/(l))处的切线的

因为/(一吊尸sE(-受)=TW0,即/Q)的图象关于点(一争0)不对

斜率为1,则a2+/的最小值为()称，6不正确；

当O&cMq■时，专&2rc+普•»则一■y.sin(2c+<1,f(x)

A.-yB.号C.字D.今

在区间[0制上的最小值为一■。不正确：

【答案】A因为/(—普尸.(一空)=1，因此/3)的图象关于直线》=—予对

【解析】

【分析】由导数几何意义得a+b=l,然后由基本不等式得最小值.称，。正确.

【详解】由已知/'3)=0+与,所以f(l)=a+b=l,故选:D

xX"

a?+八”或，当且仅当a=b=/时等号成立.6.若函数/(力)=|tan(a)x-co)|(co>0)的最小正周期

为4,则下列区间中/(⑼单调递增的是()

故选：4

A.(-1,1)B.(j,j)

4.将函数g=sin2/的图象向右平移夕个单位长度后,

得到函数片cos(2c+专)的图象，则0的值可以是C.仔,3)D.(3,4)

()【答案】C

【解析】

A-^―R—(?-D

12633【分析】作出函数4=|tanu|的图象，可得出函数g=|tanw|的最小正周

期与单调递增区间，可■求得⑺的值,结合正切型函数的图象与单调性可

【答案】D

求得函数/(①)的增区间，即可得解.

【解析】

【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可【详解】作出函数g=Itarrnl的图象如下图所示：

得出关于9的等式，即可得出结果.

・114・

整弊，则称力为'‘和谐解集"，若关于2的不等式sin,

+cosa;>2mx+|sina;—cosx|在区间(0,衣)上存在

“对谐解集”，则实数m的可能取值为()

，・AA.-1R3.瓜

262

ccos2

由图可知，函数y=|tanu|的最小正周期为冗,且其增区间为D.cosl

(/OT,/OT+^")(k€Z)，

【答案】C

对于函数/⑺，其最小正周期为T=卷=4,可得/=今■，则/(x)=【解析】

【分析】根据已知可得min{sinc,cosc}令g(rr)=

回序-都min{sine,cosc},xG(0,兀).根据函数的单调性，可得g(l)>g(2)>

由AxV孕:一千〈版+专解得4A+1VhV4k+3,其中g(3).结合“和谐解集”的定义可知，唯一整数解只能是④=1.进而得到

实数m的取值范围，即可得出答案.

z,

【详解】当sino>cosx时，原不等式可化为sinx+cosx>2mx+sinx

所以,f(x)的单调递增区间为(4k+1,4k+3)(fcGZ),

—cosx,整理可得cose>mxx

所以，函数/(£)在(-1,十)上递减，在(今给上不单调，在传，3)上

当sinx<cosx时，原不等式可化为sinx+cosx>2rnx4-cosx—sinx,

递增，在(3,4)上递减.整理可得sin%>mx.

故选:C所以不等式sine+cosx>2mx+|sinx-cosx\可化为

min{sine,coscc}>mx.

令g(x)=min{siri3),cosx),x€(0,兀)，

fsinx,0<rc<-?-

则。3)=(-

|cos①，今VTT

所以9(H)在(0,给上单调递增，在[f,7T)上单调递，所以g(l)>g(2)

因为了>0,所以mv3.

X

▽g(i)、g(2)、g(3)

7.圭表(如图甲)是我国古代一种通过测量正午日影长又/厂.

度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿所以要使gQ)>mi只有一个整数解,则唯一整数解只能是c=l.

(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标又因为点A(Lcosl),6⑵cos2)是g=g(0)图象上的点，

竿垂直的长尺(称为“圭”)，当太阳在正午时刻照射所以。刈2&馆vcosl.

在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度因为气巡W[警，cosl)，坐i[^2,cosl),甯6

最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为

[C°2^,cosl)>cosl@[0当2.cosl)，所以实数m的可能取值为C?：2.

夏至.图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表故选：C.

的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角(即【点睛】关键点点睛:去绝对值后,根据g(z)的单调性.即可得到S(l)>

NABC)大约为15°,夏至正午时太阳高度角(即g(2)>g(3)，进而得到平>婴>噜,即可得到唯一整数解为x

NAD。)大约为60°,圭面上冬至线与夏至线之间的距=1.

离(即DB的长)为Q,则表高(即AC的长)为(注：二、选算题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题

•15。=萼

)()给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部

4

分选对的得2分,有选错的得0分.

B.3+^a

A.(2—V3)a

49.在△ABC中，内角ABC的对边分别为a,b,c,下列

「V3—1n3-包说法中正确的是()

C・一-aD--4-0

A.“△40。为锐角三角形”是“显114>853”的充分

【答案】D

【解析】不必要条件

【分析】由锐角三角函数的定义与同角三角函数的关系求解，B.若sin2A=sin2B,则ZVLBC为等腰三角形

【详解】设表高为h,则BC=h・17y,CD=h--7^,

tan15tanoOC.命题“若A>8,则sinA>sinR”是真命题

而sinl5°=一二.，得8sl5°=勺媳,tanl5°=包嗒=2-若，则符合条件的△有

44COSl5D.a=8,c=10,B=^ABC

A/3,

两个

故故6=(2+一)无一斗•无=6+；4\=a,

【答案】

得无=汽返a，

【解析】

故选:D【分析】由△A5C为锐角三角形，可得0V*—BVAV食，根据正弦函

数的单调性以及诱导公式可得sinA>cosB.取B为钝角，可知满足题

8.己知不等式/(工)>0的解集为4,若A中只有唯一

•115・

意，即可判断4项；由已知可得4=8或4+8=妥，即可判断8项;根11.在数学史上，为了三角计算的简便及更加追求计算

据正弦定理，即可判断C项;根据余弦定理可求出b=2历，即可判断的精确性，曾经出现过两种三角函数：定义1一cos。

。项.

为角。的正矢，记作uersin。；定义1—sin。为角夕的

【详解】对于4项，若&4BC为锐角三角形，则（0,专），

余矢，记作coversin^，则下列结论中正确的是

且A+■，即力>£•-B,又AW手—B七（°，*），则sin力

)

>sin（£—B）=cosB：反之，若B为钝角，满足sinA>cosB,不能推

A.versing=1

出△4BC为锐角三角形，故4正确：oZ

对于B项，由sin24=sin2B,得2A=2B或2A+2B=冗，即4=6或

B.&ersin(兀-6)—coversin=0

A+B=£，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故8错误；

C若coversine：=2,则

对于。项，若力>B,则a>6,由正弦定理—；&k=="百，可得,职，,智

sin/Lsin"smz5versinx—1

=-y>1即sin?l>sinB成立，故C正确：coversinrr—versinx=_J_

2—(coversine+versinx)3

对于。项,根据余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=82+102-2x8

x10x4=84,解得b=±2何（舍去负值），则符合条件的△43。只有D.函数/(7)=。&丁5皿2022名—g)

一个，故。错误.

coversin2022a;十春）的最大值为2+V2

故选：4C.

【答案】BC

10.已知函数/⑺=2cos（2z+&，则下列说法中正确

【解析】

的是)（分析】根据定义计算versing=得，故力错误;计算得到BC正确；

A.veR，若l/Qi)—/(电)|恒成立，则M化简得到/3)=

2-2sin(2022c+京)，f(x)取得最大值4,故。错误,得到答案.

>4

【详解】对选项A：versin^y^=1—cos当^=1-cos(5乃+号)=1+

B.若/(g)=/(，2)，则xl+x2=kK—^-fkEZ

OCOS-y=~^■，故4错误；

C.若为+0?2=_|'，则/31)+/32)=0

对选项B：versin(7t—0)—coversin-。)=1-cos(冗一。)-1+

D.若力1,62€(宣，患)'且/（0）=/（g）（①1，①2），则sin(粤-=

fGi+g)=1cosJ—cos。=0,故8正确；

coversine1_1—since—1

对选项C：=tanc=2.

【答案】4。。versinx—11—cosx—1

covRsiiia;一©crsinj：1—sin4一I+cosi

【解析】

2—(coversin①+versinx)2-(1—sinx4-1-cosx)

【分析】由已知可得1/（皿）-/（x2）|<4，取特殊值可知|/（x,）-f（x2）\=4—sine+cosc八JAN闩咚[“俎coversine+oersinc

，分子分丹I可除以cosx,得--7------:----;----:~r

有解，即可判断4项;根据余弦函数的性质解/（皿）=/（物），即可判断B°siFnx□+cosrr2—(coversmx+versinx)

—-tana+1—-2+1

项:先求出/3）的图像关于点（金,0）时称，然后根据已知条件结合函:一~y，故C正确»

tana:+12+1

数的对称性，即可判断C项;先求出『包）的图像关于直线》=等对称，对选项。：/廿）=versin(2022/-给4-coversin(2022x+专)

然后根据已知条件结合函数的对称性，可求出与+g=等，代入求解=1-8s(2022c-专)+1-sin(2022a:+5)=2-2sin(2022c+落,

即可判断。项.当sin（2022①4-J）=-1时,f（x）取得最大值4,故。错误.

【详解】对于4,因为一2&f（幻）&2,所以Vxx€R，\f（x）-f（x）\&

lt2｝2故选：

4；

2

取①i=—*，①2=g"，则fQi)=2cos0=2»f(x2)=2cos冗=-2,有12.己知函数/（力）=cosax+x（0<a<7c）,/（2）—/（l）

1/(土1)一/(l2)1=4,所以M24,故4正确；=2,则/（c）在区间［—2,2］上的极值点的个数可能为

对于B,若f(xi)=/(啊)'即2cos(2%+3)=2cos(2电+所以2cl（）

+号=2,2+1+2k兀，/cGZ或2①]+专=—(2电+专)+2上兀,kWZ,A.1B.2C.3D.4

即Ci=g+k兀，kEZ或Ci+啊=凝—专，kWZ，故8错误；【答案】4。

对于C，解2rr+号=5+A:元,A:GZ,得。=*+与"，kGZ，所以/(4)【解析】

【分析岫已知可得a=*或。=爰.将a=当代入函数,根据导函数得

的图像关于点（言⑼对称.又为+»2=+即为+g=看，所以

2出极值点个数;将a=£代入函数，可得/3）=2/—受si吟c令h（x）

/（电）=一/（22），所以/（电）+/侬2）=0,故。正确；

=2/-食sin京，求得导函数，经分析可得h'Q）在区间［0,2］上单调递

对于。，解2x+g=凝，k6Z,得。=—+»k£Z,又66

增.又五'（0）V0,无'（2）>0,根据零点存在定理以及"（①）的单调性