§13-1-两个基本原理

13.1两个基本计数原理多媒体教学课目的1．掌握分类计数原理和分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题；2．通过对分类计数原理与分步计数原理的理解和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，开发学生的逻辑思维能力．3．提高比较分类计数原理与分步计数原理的异同，培养学生学习比较、类比、归纳等数学思想方法和灵活应用的能力．4．通过对两个原理的学习，培养学生周密思考、细心分析的良好学习习惯．引入1概念概念1引入2问题1.从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车还可以乘轮船.一天中,火车有4班,汽车有2班,轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:从甲地到乙地有3类方法,

第一类方法:乘火车,有4种方法;

第二类方法:乘汽车,有2种方法;

第三类方法:乘轮船,有3种方法;

所以,从甲地到乙地共有:4+2+3=9种方法概念2概念1引入1引入2概念分类记数原理:

做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有

N=m1+m2+…+mn种不同的方法.概念2要点：（1）分类；（2）相互独立；（3）N=m1+m2+…+mn（各类方法之和）问题2引入2概念概念1引入1问题2.由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南

分析:从A村经B村去C村有2步,

第一步:由A村去B村,有3种方法,

第二步:由B村去C村,有2种方法,

所以,从A村经B村去C村共有:3×2=6种不同的方法概念2概念概念2引入1引入2概念1

分步记数原理:

做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事有

N=m1×m2×…×mn种不同的方法.要点:（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N=m1×m2×…×mn

（各步方法之积）例1.某班级有男三好学生5人,女三好学生4人.(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？

(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？分析:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,

第一类:从男三好学生中任选一人,共有m1=5种不同的方法;

第二类:从女三好学生中任选一人,共有m2=4种不同的方法;

所以,根据分类记数原理,得到不同选法种数共有N=5+4=9种。举例例1例2例3分析:(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,

第一步:选一名男三好学生,有m1=

5种方法;

第二步:选一名女三好学生,有m2=4种方法;

所以,根据分步记数原理,得到不同选法种数共有N=5×4=20种.点评:

解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类记数原理”;“分步完成”用“分步记数原理”。例1.某班级有男三好学生5人,女三好学生4人.(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？

(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？举例问题1在某同学的桌上共有语文5本，数学书6本，（1）要求该同学拿出一本书给老师，要是你是该同学，你有多少种拿法？分析：（1）从桌上任取一本书给老师，可分为拿数学，拿语文两类办法：第一类办法是从桌上取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从桌上取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法；解：不同的取法种数为：

N=6+5=11答：从桌上取一本书给老师有11种不同的取法。分析：（2）从桌上任取数学书语文书各1本，可以分成两个步骤完成。第一步，取1本数学书有6种方法。第二步，取1本语文书有5种方法。（2）要求学生拿两本不同学科的书给老师，要是你是该同学，你有多少种拿法？在某同学的桌上共有数学书6本，语文书5本，解：不同的取法种数为：

N=6×5=30答：从桌上任取数学书语文书各1本给老师有30种不同的取法。问题2分类计数原理分步计数原理完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”区别1完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”区别2区别3每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。各类办法是互相独立的。各步之间是互相关联的。即：类类独立，步步关联。例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？（3）从书架上任取2种不同类型的书各1本，有多少种不同的取法？解:(1)4+3+2=9(2)4×3×2＝24(3)4×3＋4×2＋3×2＝26

注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理．例2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是

1个,2个,3个,4个,5个,6个,7个,8个.

则根据分类记数原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是

8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.

则根据分类记数原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个)枚举精神！例3．某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？解：由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会钢琴又会小号（把该人称为“多面手”），只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把会钢琴、小号各1人的选法分为两类：第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种．第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的2人中选出，放这类选法共有6×2＝12种，故共有20种不同的选法．找准分类依据不重不漏例4.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？

解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4=种.（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×５×５×５=种.抓确定性因素课堂练习1解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,

第一步:m1=3种第二步:m2=2种第三步:m3=1种第四步:m4=1种所以根据分步记数原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种.(如图)要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

3.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB课堂练习2所以,根据分类原理,从A到B共有

N=3+1+4=8

条不同的线路可通电。在解题有时既要分类又要分步。解:从总体上看由A到B的通电线路可分三类,第一类,m1=3条第二类,m2=1条第三类,m3=2×2=4,条给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。解：首字符共有7+6＝13种不同的选法，答：最多可以给1053个程序命名。

中间字符和末位字符各有9种不同的选法根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法课堂练习3随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能