数学竞赛培优试卷二

-PAGE9-数学竞赛培优试卷二第1题第1题1．如图,一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了()A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈2．二次函数，当取值为时有最大值，则的取值范围为（）（A）≤0（B）0≤≤3（C）≥3（D）以上都不对．3.若直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，斜边上的高为，则有（）（A）;（B）;（C）;（D）4．一条抛物线的顶点为（4，），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（）（A）只有（B）只有（C）只有（D）只有和5．P是△ABC内一点，AD、BE、CF过点P并且交边BC、CA、AB于D、E、F，A1B2C3D46．如果x和y是非零实数，使得和那么x+y等于（）（A）3（B）（C）（D）二、填空题1．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，，则（度）PABCDEFQ（第2题）2．如图，、分别是的边、上的点，与相交于点，与相交于点，若△APD，△BQC，则阴影部分的面积为．PABCDEFQ（第2题）（第3题）3．如图，正方形的边长为1，为所在直线上的两点，且，，则四边形的面积为___________（第3题）4.若ax2+(a+2)x+9a=0有两个不同实根，x1,x2,且x1<2<x2,则a的取值范围为5．如图，在直径为6的半圆弧上有两动点、，弦、相交于点，则的值为___________________.三、简答题1．如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。2．在代数学中，为了表述的简洁，常用记号，…来表示以x为自变量的函数．例如，若用来表示二次函数，则；而表示自变量x取值为时的函数值，即．另外，我们把形如（其中为系数，x为变量）的函数称为关于x的一元n次多项式．已知关于x的实系数多项式满足：对任意实数，以下两式恒成立．（ⅰ）；（ⅱ）．试解答如下两个问题：（1）证明：函数是一次函数；（2）求函数与的表达式．3．4.余姚市自主招生考试数学答题卷（本卷满分120分测试时间90分钟）姓名学号一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）题号12345678答案二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9.10．11．12．13．14．15．三、解答题（本大题共5小题，第16、17、18、19题各10分，第20题12分，共52分）16．（1）已知非零实数满足，试求的值．（2）已知实数满足，试求的值．17．如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。18．在代数学中，为了表述的简洁，常用记号，…来表示以x为自变量的函数．例如，若用来表示二次函数，则；而表示自变量x取值为时的函数值，即．另外，我们把形如（其中为系数，x为变量）的函数称为关于x的一元n次多项式．已知关于x的实系数多项式满足：对任意实数，以下两式恒成立．（ⅰ）；（ⅱ）．试解答如下两个问题：（1）证明：函数是一次函数；（2）求函数与的表达式．19．设抛物线与x轴交于两个不同的点A（－1，0）、B（m，0），与y轴交于点C.且∠ACB＝90°.（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E.若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标.（3）在（2）的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________.20．（本题满分12分）在ΔABC中，AB=AC，BC=6，sinB=，点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．(1)如图(1)，当点P为AB的中点时，求CD的长；(2)如图(2)，过点P作直线BC的垂线，垂足为点E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由；(3)如图(3)，当PQ经过ΔABC的重心G时，求BP的长．余姚市自主招生考试数学参考答案（本卷满分120分测试时间90分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）题号12345678答案DCBADCA二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9.3210．11．9012．4013．-4/15小于a小于014．15．三、解答题（本大题共5小题，第16、17、18、19题各10分，第20题12分，共52分）16．解：（1）由得，，………………2分将b消去可得，=………………4分………………5分（2）依题意得………………7分对等式两端分别平方可得将两式的左右对应相加可得………………9分即知………………10分17. 解法1：如图，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为∠ABE＋∠AEB=90°，∠CED＋∠AEB=90°，所以∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以………………4分又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以………………8分…………10分（解法2：如图3－278，作FH⊥CE于H）18.解：（1）设（c为常数），则在（ⅰ）式中令可得，………………4分以x代y，即知．所以函数是一次函数．………………5分（2）由（ⅰ）式知，……6分代入（ⅱ）式得到，，即对任意实数恒成立．………………8分因此，；但同时注意到，所以，，经检验符合题意．………………10分19．解答:21、（1）.M=4，y=1/2x²-3/2x-2………………2分(2)p1(13/7,0)

p2(-22/5,0)………………6分（3）3/14或3/5………………10分20．(1)过点P作PF∥AC交BC于F，∵P为AB的中点，F为BC的中点，∴FC=3，可证ΔPFD≌ΔQCD得DC=FD=2分．(2)当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变．3分①如果点P在线段AB上时，过点P作PF∥AC交BC于F，由AB=AC，可证PB=PF，∵PE⊥BC，∴BE=FE，再证ΔPFD≌ΔQCD得DC=FD，∴ED=BC=35分．②如果点P在线段BA的延长线上时，同理可得ED=36分．∴当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变7分．（3）作PE⊥