§4-1幂的有关运算

§4.1幂指数的推广及幂函数举例

一、幂指数的推广1．幂的有关概念(1)正整数指数幂(2)零指数幂(3)负整数指数幂(4)正分数指数幂(5)负分数指数幂(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指数式和指数函数2．指数幂的性质复习正整数指数幂有以下运算性质：（1）am·an=am+n(a≠0

m、n为正整数)（2）(am)n=amn(a≠0

m、n为正整数)（3）(ab)n=anbn(a,b≠0

,n为正整数)（4）am÷an=am-n(a≠0m、n为正整数且m>n)（5）（b≠0，n是正整数）当a≠0时，a0=1。（0指数幂的运算）（6）思考：思考：其中a≠0，n是正整数负指数的意义：这就是说：a－n（a≠0)是an的倒数.例如:引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩大到全体整数。am=am(m是正整数）1

（m=0）（m是负整数）例1填空：(1)2-1=___,3-1=___,x-1=___.(2)(-2)-1=___,(-3)-1=___,(-x)-1=___.(3)4-2=___,(-4)-2=___,-4-2=.例2、把下列各式转化为只含有正整数指数幂的形式1、a-32、x3y-23、2(m+n)-24、5、6、例3、利用负整指数幂把下列各式化成不含分母的式子1、2、3、正整数指数幂的运算性质是否适合负指数呢？（1）am·an=am+n(a≠0)（2）(am)n=amn(a≠0)（3）(ab)n=anbn(a,b≠0)（4）am÷an=am-n(a≠0)（5）（b≠0）整数指数幂有以下运算性质：当a≠0时，a0=1。（6）a-3·a-9=(a-3)2=(ab)-3=a-3÷a-5=例4、计算例5计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（a,b均不为0）:(1);(2);(3).课堂测试基础题：1.计算：(a+b)m+1·(a+b)n-1;(2)(-a2b)2·(-a2b3)3÷(-ab4)5(3)(x3)2÷(x2)4·x0

(4)(-1.8x4y2z3)÷(-0.2x2y4z)÷(-1/3xyz)提高题：2.已知，求a51÷a8的值；3.计算：xn+2·xn-2÷(x2)3n-3;4.已知：10m=5,10n=4,求102m-3n.思考1：1、当x为何值时，有意义？2、当x为何值时，无意义？3、当x为何值时，值为零？4、当X为何值时，值为正？思考2：3.探索规律：31=3，个位数字是3；32=9，个位数字式9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9；……那么，37的个位数字是______，320的个位数字是______。兴趣探索§4.1幂指数的推广及幂函数举例

二、幂函数举例1、幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数叫做幂函数，其中为自变量，为常数。练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？答案（2）（5）思考：指数函数y=ax与幂函数y=xα有什么区别？

中前面的系数是1，后面没有其它项。式子名称常数

x

y指数函数:y=a

x（a>0且a≠1)

幂函数:y=xα

a为底数指数α为指数底数幂值幂值2、幂函数与指数函数比较判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数（指数函数）（幂函数）（指数函数）（幂函数）快速反应（指数函数）（幂函数）已知函数是幂函数,并且是偶函数，求m的值。练习1：练习2：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27），求证：f(x)是奇函数。五个常用幂函数的图像和性质

(1)(2)

(3)(4)(5)定义域：值域：奇偶性：单调性：函数的图像定义域：值域：奇偶性：单调性：函数的图像定义域：值域：奇偶性：单调性：函数的图像定义域：值域：奇偶性：单调性：函数的图像x…-2-101234…y=x3……y=x1/2……-8-101827010xy1234-1-2-32468-2-4-6-8y=x3//64y=x2定义域：值域：奇偶性：单调性：函数的图像幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.y=x3定义域值域单调性公共点y=xRRR[0，+∞）R[0，+∞）R[0，+∞）奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在R上是增函数在（－∞,0]上是减函数，在(0,+∞）上是增函数在R上是增函数在(0，+∞)上是增函数在(－∞,0)，(0,+∞）上是减函数（1，1）奇偶性y=x2下面将5个函数的图像画在同一坐标系中

(1)(2)

(3)(4)(5)4321-1-2-3-4-2246(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)(-1,-1)y=x在第一象限内，a>0,在(0,+∞)上为增函数;a<0,在(0,+∞)上为减函数.幂函数的图象都通过点(1,1)α为奇数时,幂函数为奇函数,α为偶数时,幂函数为偶函数.下列结论中正确的是A幂函数图像都经过点（0,0），（1,1）B幂函数图像不可能出现在第四象限C当n＞0的时候，幂函数y=xn的值随x的增大而增大。D当n=0的时候，幂函数y=xn的图像是一条直线。练习：利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8与5.30.8（2）0.20.3与0.30.3

(3)解:(1)y=x0.8在(0,∞)内是增函数,∵5.2<5.3∴5.20.8<5.30.8(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数∵0.2<0.3∴0.20.3<0.30.3(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数∵2.5<2.7∴2.5-2/5>2.7-2/5比较各组数的大小练习3:如图所示，曲线是幂函数y=xk在第一象限内的图象，已知k分别取四个值，则相应图象依次为:________

一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，在Y轴与直线x=1之间正好相反。

C4C2C3C11α>10