专题16 平面向量（选填压轴题）试题含解析

专题16平面向量（选填压轴题）①向量模问题（定值，最值，范围） 1②向量数量积（定值，最值，范围） 3③向量夹角（定值，最值，范围） 5④向量的其它问题 6①向量模问题（定值，最值，范围）12023春·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）若平面向量两两的夹角相等， π,322023春·广西玉林·高一校联考期末）如图，在ΔABC中，BAC= π,3满足A=mA+A，若|A|=2,|A|=5，则A的值为()AD=3AB,P为CD上一点，且 4232023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期末）已知非零向量O,O,O，满足OA=4，OB=2OC，且3+O.O+O.O=O2+O.O，则A的最小值为()42023春·江西赣州·高二统考期中）已知O为坐标原点，A(2,0)，设动点C满足OC<2，动点P满足.=0，则OP的最大值为()52023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量,均为单位向量，且.=．向量与向量的夹角为，则的最大值为() 2的最大值为()72023秋·上海浦东新·高二统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B为平面上两点，且.=0，M为线段AB中点，其坐标为(a,b)，若OM=2a+b一4，则OM的最小值为()3482023·全国·高一专题练习）已知34围是()92023春·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）已知非零向量满足=4，.=2，2=.5，则对任意实数t，t的最小值为.则的最小值是则的取值范围是.②向量数量积（定值，最值，范围）12023春·山东青岛·高一校考期中）如图，在边长为2的等边ΔABC中，点E为中线BD的三等分点（接近点B），点F为BC的中点，则F.E=() 22023春·江苏徐州·高一统考期中）已知向量e1与e2是两个单位向量，且e1与e2的夹角为60o，若 232023春·广东河源·高一校考阶段练习）设ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b2+c2+bc=a2，若角A的内角平分线AD=2，则B.A的最小值为()42023春·北京石景山·高一北京市第九中学校考期末）如图，A，B是半径为1的圆O上的若C是圆O上的任意一点，则O·B的最大值为()当点M在对角线AC上运动时，M.M的最小值为()2262023春·山东枣庄·高一校考阶段练习）已知点O为△ABC内一点，∠AOB＝120°,OA＝1，OB＝2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则.的值为()72023春·江苏徐州·高一统考期中）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形ABCDEFGH中，点O为正八边形的中心，点P是其内部任意一点，则.+.的取值范围是()C．(2,4)D．(4,4)------------------------------设AE=λEC，CF=λFB(λ>0），则.的最大值------------92023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）在直角ΔABC中，AB」AC,AC=,AB=1，平面ABC内动点P满足CP=1，则.的最小值为.则.的最大值为.122023春·广东深圳·高一统考期末）四边形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，AB=2，CD=2，EF=1，点P满足P.P=0，则P.P的最大值为.132023春·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）已知平面向量对任意实数x，y都有的最大值是.142023春·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）ΔABC中，AB=1，AC=4，经A=60。，AD是BC边上的中线，E，F分别为线段AB，AC上的动点，EF交AD于点G.若ΔAEF面积为ΔABC面积的一半，则A.E的最小值为③向量夹角（定值，最值，范围）12023春·福建福州·高一校考期末）若||=，||=2且(一)」，则与的夹角是()πππ522023·全国·高一专题练习）已知O为ΔABC的外心，且A=λA+(1一λ)A．若向量B在向量B上的投影向量为μBC，则μ.cos经AOC的最小值为()32023春·宁夏吴忠·高一统考期末）若1,2是夹角为90。的单位向量，则=21+2与=31一2的夹角为()。。42023春·江西宜春·高一灰埠中学校考期中）已知单位向量e1，e2的夹角为60°,向量=xe1+ye2，且1<x<3，1<y<2，设向量与e1的夹角为c，则cosc的最大值为. 2<4，设向量与e1的夹角为c，则cosc的最大值为() 4362023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知平面向量=，=，=，满足2，则向量4与2所成夹角的最大值是()ππ2π5π72023春·江西九江·高一校考期中）设,为平面内两个不共线的非零向量，且||=||，若对于任意实82023春·广东·高一校联考期末）已知,均是单位向量，若不等式+”2+t对任意实数t都成立，则与的夹角的最小值是.92023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知{,}是平面内一组基底，2+=1，ab=，则+与2+所成角的最大值为.102023·北京海淀·高三专题练习）已知平面向量,满足=,=1，则向量+与一夹角的最大值是.④向量的其它问题12023·北京西城·统考二模）在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点P从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点P到达点Q(33,33)所跳跃次数的最小值是22023·河南郑州·校联考二模）在ΔABC中，AB=1，AC=2，经BAC=60O，P是ΔABC的外接圆上的一点，若=m+n，则m+n的最小值是()32023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）在ΔABC中，设2一2=2.，那么动点M的轨迹必通过ΔABC的()42023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知=,=1，与的夹角为45°,求使向量2+与λ+3的夹角是锐角，则λ的取值范围.存在点P满足.=3，则实数a的取值的范围是.62023·湖南长沙·周南中学校考三模）如图，在ΔABC中，点D是边AB上一点且BD=2AD，E是边BCBCBA .的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是经ABCBCBA .2足AP=足AP=mAC+AB，若|AC|=2,|AB|=5，则AP的值为(专题16平面向量（选填压轴题）①向量模问题（定值，最值，范围） 1②向量数量积（定值，最值，范围） 12③向量夹角（定值，最值，范围） 21④向量的其它问题 27①向量模问题（定值，最值，范围）12023春·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）若平面向量两两的夹角相等，【答案】D【详解】因为平面向量两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，2故选：D.22023春·广西玉林·高一校联考期末）如图，在ΔABC中，)【答案】Cπ------π------------1---------3---则||222则的值为.故选：C.------------------2+.，则的最小值为()3【答案】A------【详解】设OC=r，则OB=2r，取AB的中点M，------2即即)------1-------21---2即CM4AB----21---2-------所以要使AB最小，CM也最小，------------------显然CMmin=OMOC，此时O、C、M三点共线，---------------------------------------------即r22tr+112t2=0，242所以的最小值为.故选：A.42023春·江西赣州·高二统考期中）已知O为坐标原点，A(2,0)，设动点C满足OC<2，动点P满足.=0，则OP的最大值为()【答案】D【详解】因为OC<2，所以点C在圆O:x2+y2=4的内部或圆周上，又动点P满足.=0，所以当A,C,P三点不重合时，点P的轨迹是以AC为直径的圆，如图：当点C在圆O内时，延长AC交圆O于点D，设AC的中点为M，AD的中点为N，则MA=MP,ON」AD,AM<AN，当点C在圆O上时，M,N两点重合，C,D两点重合，所以AM<AN，当且仅当点C在圆O上时取等号，则OP<OM+MP=OM+AM，当且仅当O,M,P三点共线时取等号，因为OM+AM<ON+MN+AM=ON+AN，当且仅当M,N重合时取等号，因为ON」AD，所以|ON|22所以ON+AN<=2，当且仅当ON=AN=时取等所以OP<2，当且仅当O,M,P三点共线且点C在圆x2+y2=4与y轴的交点处时取等号，所以OP的最大值为2，故选：D.52023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量,均为单位向量_与向量_的夹角为，则_的最大值为()23.【答案】D【详解】：向量.=,向量,均为单位向量，yy：向量满足与的夹角为,∴经ACB因为点C在AB外且经ACB为定值,所以C的轨迹是两段圆弧,经ACB是弦AB所对的圆周角.因此：当AC是所在圆(上述圆弧)的直径时,|一|取得最大值|AC|,。故选：D的最大值为()【答案】D23y22所以=(x,y)的终点在以,为圆心,1为半径的圆上，]]||1-2+2所以|-2|=2-，几何意义为(x,y)到(1,0)距离的2倍，由儿何意义可知a-2c由儿何意义可知max故选：D.72023秋·上海浦东新·高二统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B为平面上两点，且.=0，M为线段AB中点，其坐标为(a,b)，若OM=2a+b-4，则OM的最小值为()【答案】B------------【详解】因为OA.OB=0，所以OA」OB------------因为M为线段AB中点，坐标为(a,b)，OM=2a+b-4，几何意义为圆M的半径与点M到直线2x+y-4=0的距离相等，即圆M与直线2x+y-4=0相切，则圆M的半径最小值为点O到直线2x+y-4=0的距离的一半，故选：B围是()【答案】B22bb所以C点在以AB为直径的圆上运动，22则以AB为直径的圆的方程为(x-)2+(y-)2=，即的取值范围是,，故选：B22则对任意实数t，-t的最小值为.【答案】-2bb 1,222bab32bab3因此的终点C在以点D为圆心，2为半径的圆上，显然对vteR，t的终点的轨迹是线段OB确定的直线l，于是t是圆D上的点与直线l上的点的距离，过D作线段DE」l于E，交圆D于F，所以t的最小值为2.【答案】222222，由基本不等式可得：2+222222242所以2222所以所以故答案为：【答案】如图，以点O为原点，为x的正方向建立平面直角坐标系，2π作=，设点B的坐标为(x,y)，所以点B在以(3,0)为圆心，以1为半径的圆上，所以t22作=，设点C的坐标为(x,,y,)，所以点B到点C的最小距离为点A到点C的距离减去圆的半径1，------即BC之AC1，当且仅当点B为线段AC与圆的交点时等号成立，------7---77---7所以---BC---AC5,2当且仅当AC垂直于直线x,一y,+4=0且点B为线段AC与圆的交点时等号成立，所以所以的最小值为则的最小值是【答案】【详解】取BD的中点O，则有OC=BD=-，同理-=5-4cosθ,则22rr故答案为：.BCBDBCBD【答案】【详解】解：建立如图所示坐标系，------------------记C(4,0)，D(5,0)，则,π6由定弦所对的角为顶角可知点B的轨迹是两个关于x轴对称的圆弧，------因为cosBC,BD------------BC.BD=, (4xy).(5xy)即2=(4x)2y2 (4xy).(5xy)22由对称性不妨只考虑第一象限的情况，因为的几何意义为：圆弧(x)2+(y)2=1(y>0)的点到直线y=x(x>0)上的点的距离， 3②向量数量积（定值，最值，范围）12023春·山东青岛·高一校考期中）如图，在边长为2的等边ΔABC中，点E为中线BD的三等分点（接------近点B），点F为BC的中点，则FE.EC=------ A．-B．-C．-D．-【答案】B------------由已知D是AC的中点，所以=+)，---1---3---1---所以，22故选：B.--22023春·江苏徐州·高一统考期中）已知向量与e2是两个单位向量，且与e2的夹角为60。，若 A．B．-C．D．-2222【答案】C【答案】C2221,2112，1212121.221.2+22222.e2+2e2故选：C.若角A的内角平分线AD=2，则B.A的最小值为()【答案】A所以B.A=BA.cos=bc之8，则B.A的最小值为8.故选：A.42023春·北京石景山·高一北京市第九中学校考期末）如图，A，B是半径为1的圆O上的两点，且经AOB=.若C是圆O上的任意一点，则O·B的最大值为()A. 4121即当cos经AOC取最大值时，O·B取得最大值.当O与O同向时，cos经AOC取得最大值此时，O·B取得最大值.故选：C.52023·全国·高一专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，经A=90。,AB=AD=2,ΔBCD为等边三角形，当点M在对角线AC上运动时，M.M的最小值为()【答案】B。由M=M+C可得M.M=M.(M+C)=M2+M.C22()2322()233所以当MC=2时，MC.MD有最小值为一23故选：B62023春·山东枣庄·高一校考阶段练习）已知点O为△ABC内一点，∠AOB＝120°,OA＝1，OB＝2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则O.E的值为()【答案】C22故选：C72023春·江苏徐州·高一统考期中）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形ABCDEFGH中，点O为正八边形的中心，点P是其内部任意一点，则.+.的取值范围是()【答案】A连接AF，过点O作OQ」AF，交GH、CD于点M、N，交AF于点Q，)，2222224)-12当P与M重合时，在上的投影向量为，此时.+.取得最小值为当P与N重合时，在上的投影向量为，此时.+.取得最大值为因为点P是其内部任意一点，所以.+.的取值范围是(一2,4+2).故选：A.------------------------------------设AE=λEC，CF=λFB(------------------2244【答案】C 222AB+ACBC 222AB+ACBCAB+22BC12AB.AC2ABx22BABACBA---BABACBA------------------2BA2+BC AC2即BA.BC2.2BA2+BC AC2即BA.BC2.BABCBA于是有2于是有 2 2AB将=1AB将ACBC所以ACBC所以.λ+12λ+122 2 λλ2+2λ+1λACλ+λλ+λ+2λ+λ+2,22λ+12AC22λ+1所以所以λ=λ=即λ=1时，等号成立，所以所以故当λ=14故选：C.AB」AC,AC=,AB=1，AB」AC,AC=,AB=1，平..【答案】【答案】【详解】平面ABC内动点P满足CP=1，所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，AB」AC,AC=,AB=1，由勾股定理可得：BC2=AB2+AC2=4，2AC.BC2x2x2AC.BCAC.BC：AP=AC+CP,BP=BC+CP，2，又向量+是长度为的一个向量，由此可得，点P在圆C上运动，当与+共线反向时，.(+)取最小值，且这个最小值为一，则.的最大值为.【详解】延长AG交BC于点D，因为G是ΔABC的重心，则D为BC的中点，5.2222)66112023春·山东淄博·高一统考期末）圆O：x2+y2=4上有两定点A(,)，B(-,)及两动点由点C,D的对称性，不妨令射线OD与x轴正方向所成的角为θ+，由三角函数定义知C(2cosθ,2sinθ),D(2cos(θ+),2sin(θ+))，则=(-2cosθ,-2sinθ),=(--2cosθ,-2sinθ)，于是.=(-2cosθ)(--2cosθ)+(-2sinθ)(-2sinθ)=4-4sinθ,122023春·广东深圳·高一统考期末）四边形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，AB=2，CD=2，【答案】2------------------【详解】因为PC=PF+FC，PD=PF+---------------------------------所以FD=-FC，所以PD---------------2-2=2-CD2=2-2，又.=0，所以PA」PB，又点E分别是AB的中点，所以PE=AB=1，22，22=2x1xxxcosθ,所以x=2cosθ,所以.=x22=4cos2θ2=2cos2θ,所以当2θ=0即θ=0时，cos2θ有最大值1，即.有最大值为2.故答案为：2132023春·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）已知平面向量对任意实数x，y都有的最大值是.【详解】如图，则B，C在以MA为直径的圆上，过O作OD//AC，交MC于E，交圆于D，=在OD上的射影最长为|ED|，DE=1OE=1sinθ,：.()=2sinθ(1sinθ)=2sin2θ+2sinθ,故答案为：.上的中线，E，F分别为线段AB，AC上的动点，EF交AD于点G.若ΔAEF面积为ΔABC面积的一半，则.的最小值为则则即【答案】2 +又ΔAEF面积为ΔABC面积的一半可得又ΔAEF面积为ΔABC面积的一半可得.AB.AC22所以+mλ=1牵λ=.nm故答案为：2③向量夹角（定值，最值，范围）12023春·福建福州·高一校考期末）若||=，||=2且(一)」，则与的夹角是()πππ5(()」2.【详解】： ，：故选：B.222023·全国·高一专题练习）已知O为ΔABC的外心，且A=λA+(1一λ)A．若向量B在向量B上2的投影向量为μB，则μ.cos经AOC的最小值为()【答案】B所以A一A=λC，即C=λC，所以O,B,C三点共线，过A作BC的垂线AQ，垂足为Q，如图：则向量B在向量B上的投影向量为BQ=μBC，且0<μ<1，OCOA 142BCOCOA 142BC 4因为0<μ<1，所以当μ 4故选：B32023春·宁夏吴忠·高一统考期末）若1,2是夹角为90。的单位向量，则=21+2与=31一2的夹角为()。【答案】Cab 2222所以cosC所以cosC=Ccos所以所以所以.所以故选：C42023春·江西宜春·高一灰埠中学校考期中）已知单位向量e1，e的夹角为60°,向量=xe+ye，的夹角为C，则cosC的最大值为.【答案】D【详解】因为单位向量e1，e的夹角为60。，.22a.eaa1+xy+2,当cosC取最大值时，必有x+y>0，1+xy+则2则222((1)22222x2xy242yyy2231-.4x211x)2xy)y4.(1-|(3 yx yxcosC=所以21-E|,|故cosC的最大值为.故选：D.2xeye2aex+y当cosC2xeye2aex+y当cosC取最大值时，必有cosC=223y24x221-.22y242y21-2<4，设向量与e的夹角为C，则cosC的最大值为() 6 6343272777【答案】C11e.e=ee.122【详解】因为单位向量e、e2的夹角为60，由平面向量数量积的定义可得ee.122212222e21a.exa.e121cosC=a.cosC=a.1 ((1)22211x)2xy)y4.(1-|(3 2y 2y2y24yy2 2ycosC=当当(当22此时2此时 .综上所述，cosC的最大值为.故选：C.42423 42423 2.42462023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知平面向量=，=，=，满足2，则向量4与2所成夹角的最大值是()【答案】A24.2，22OBOC2,，：2设向量4与2所成夹角为θ,：cosθ=422 2.22422242 2 242()（当且仅当 ()（当且仅当2又θe[0,π]θmax故选：A.π.672023春·江西九江·高一校考期中）设,为平面内两个不共线的非零向量，且||=||，若对于任意实2222，即2xcos,+x2144所以x2+2cos,.xcos,433故答案为：82023春·广东·高一校联考期末）已知,均是单位向量，若不等式+”2+t对任意实数t都成立，则与的夹角的最小值是.【答案】【详解】不等式+<2+t对任意实数t都成立，+t)2对任意实数t都成立，即2222t2+8.t对任意实数t都成立，故答案为：. π .392023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知{,}是平面内一组基底，2+=1，ab=，则+与2+所成角的最大值为.【答案】/60o【详解】因为{,}是平面内一组基底，即,不共线，设m=2a+b,n=a+b，显然、不共线，且均不为零向量，设,的夹角为θE(0,π)，则-