第20讲 圆幂定理专题探究 (解析版)

第20讲圆幂定理专题探究【知识点睛】弦切角：与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角；弦切角性质：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。相交弦定理割线定理切割线定理图示条件若圆内任意弦AB、弦CD交于点P点P为圆外一点，PB与圆交于点A，PD与圆交于点C，连接AD、BCPB为圆的切线，PD与圆交于点C，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角结论△PAD∽△PCB△PAD∽△PCB【推论】如右图，若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC²=PA·PB【类题训练】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（）A． B． C． D．【分析】首先求出AB＝10，先证△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性质可求出OE，BE的长，进而可求出CE的长和AE的长，然后再证△BDE和△BEA相似，最后利用相似三角形的性质即可求出DE．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：，连接AE，OE，设☉O的半径为r，则OA＝OE＝r，∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，∵BC与半圆相切，∴OE⊥BC，∵∠C＝90°，即AC⊥BC，∴OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴，即：，由得：，由得：，∴，在Rt△ACE中，AC＝8，，由勾股定理得：，∵BE为半圆的切线，∴∠BED＝∠BAE，又∠DBE＝∠EBA，∴△BDE∽△BEA，∴，∴DE•AB＝BE•AE，即：，∴．故选：B．2．如图，已知AB是⊙O的一条弦，直径CD与弦AB交于点E，且BE＝3AE，已知DE＝8，CE＝2，则点O到AB的距离为（）A． B． C．2 D．【分析】作OH⊥AB于H，由相交弦定理可求AE的长，再由垂径定理可求EH的长，最后由勾股定理即可求解．【解答】解：作OH⊥AB于H，∵AE•BE＝CE•DE，BE＝3AE，∴3AE2＝8×2＝16，∴AE＝，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∵BE＝3AE，∴AB＝4AE，∴AH＝2AE＝，∴EH＝AH﹣AE＝，∵DE＝8，CE＝2，∴OC＝5，∴OE＝OC﹣CE＝3，∴OH＝＝＝，故选：B．3．如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙O相切于A点，另一边交⊙O于B、C两点，⊙O的半径为，AC＝，则AB的长度为（）A． B．6 C． D．5【分析】由弦切角定理，相似三角形的判定和性质可以解决问题．【解答】解：连接OA，OB，作OD⊥AC于D，CE⊥AP于E，∵OA＝OB，∴∠AOD＝∠AOC，AD＝DC＝，∴OD＝＝2，∵PA切⊙O于A，∴∠CAE＝∠B，∵∠B＝∠AOC，∴∠CAE＝∠AOD，∵∠AEC＝∠ADO＝90°，∴△ACE∽△OAD，∴＝＝，∴＝＝，∴CE＝，AE＝，∵∠P＝45°，∴△PCE是等腰直角三角形，∴PE＝CE＝，PC＝，∵PA＝AE+PE，∴PA＝，∵∠CAE＝∠B，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PBA，∴AC：AB＝PC：PA，∴2：AB＝：，∴AB＝6．故选：B．4．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC＝3，AD＝，则AB的长为4．【分析】利用切割线定理、切线的性质、勾股定理即可得出．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴BC2＝CD•CA，即32＝CD•（CD+DA），即32＝CD•（CD+），（CD＞0），解得CD＝，∴AC＝5，∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，由勾股定理可得：AB＝，故答案为：4．5．如图，BP是⊙O的切线，弦DC与过切点的直径AB交于点E，DC的延长线和切线交于点P，连接AD，BC．若DE＝DA＝，BC＝2，则线段CP的长为．【分析】连接BD，利用等腰三角形的性质和圆周角定理可得BC＝BE＝2，利用等角的补角相等和弦切角定理可以判定△DEB∽△BCP，利用相似三角形的性质得出比例式结论求解．【解答】解：连接BD，如图，∵DE＝DA，∴∠A＝∠DEA，∵∠DEA＝∠BEC，∠DCB＝∠A，∴∠BEC＝∠DCB．∴BE＝BC＝2．∵∠DEB＝180°﹣∠BEC，∠BCP＝180°﹣∠BCE，∴∠DEB＝∠BCP，∵BP是⊙O的切线，∴∠BDE＝∠PBC，∴△DEB∽△BCP，∴，∴，∴CP＝．故答案为：．6．提出问题：《几何原本》第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积．如图1，上述结论可表示为AB2＝AC•AD，你能说明其中的道理吗？探索问题：小明在探究的过程中发现，线段AD的位置有两种情况，即AD过圆心O和AD不过圆心O．如图2，当AD经过圆心O时，小明同学进行了如下推理：连接OB，易得∠ABC＝∠ADB，又∠A＝∠A，所以△ABC∽△ADB，可得对应边成比例，进而可知，当AD经过圆心O时，得AB2＝AC•AD．当AD不经过圆心O时，请补全下列推理过程．（1）已知：如图3，AB为⊙O的切线，B为切点，AD与⊙O相交于C，D两点，连接BC，BD．求证：AB2＝AC•AD．证明：见解析．（2）解决问题：如图4，已知AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD切⊙O于点D，连接AD，若CD＝3，CA＝3，请直接写出AD的长．​【分析】（1）连接BO并延长，交⊙O于点E，连接CE，由圆周角定理可得∠BCE＝90°，根据三角形内角和定理得∠E+∠CBE＝90°，由切线的性质得∠ABE＝90°，即∠ABC+∠CBE＝90°，进而可得∠E＝∠ABC，再根据圆周角定理可得∠E＝∠D，于是得到∠D＝∠ABC，以此可证明△ABC∽△ADB，利用相似三角形的性质即可得到证明；（2）连接BD、OD，易证明△CAD∽△CDB，利用相似三角形的性质可得，进而得到CB＝6，，于是得AB＝3，设AD＝a，则AB＝2a，在Rt△ABD中，利用勾股定理建立方程求出a的值，进而求出AD的长．【解答】（1）证明：如图，连接BO并延长，交⊙O于点E，连接CE，∵BE为⊙O的直径，∴∠BCE＝90°，∴∠E+∠CBE＝90°，∵AB为⊙O的切线，B为切点，∴∠ABE＝90°，即∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠E＝∠ABC，∵，∴∠E＝∠D，∴∠D＝∠ABC，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴，∴AB2＝AC•AD；（2）解：如图，连接BD、OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO+∠ODB＝90°，∵CD为⊙O的切线，∴∠CDO＝90°，即∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDA＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B＝∠CDA，又∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDB，∴，即，∴CB＝6，，∴AB＝CB﹣CA＝6﹣3＝3，设AD＝a，则AB＝2a，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴，解得：，a2＝（不合题意，舍去），∴AD＝a＝＝．7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．（1）求证：BD＝BE；（2）若DE＝2，BD＝，求AE的长．【分析】（1）利用角平分线的定义，直径所对的圆周角为直角，对顶角相等，切线的性质定理和等角的余角相等得到∠DEB＝∠D，再利用等腰三角形的判定定理解答即可；（2）利用（1）的结论和等腰三角形的三线合一的性质得到DF的长，再利用切割线定理求得AD，则AE＝AD﹣DE．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE．∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠CAE+∠CEA＝90°，∵∠DEB＝∠CEA，∴∠DEB+∠DAB＝90°．∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠BAD+∠D＝90°，∴∠DEB＝∠D，∴BD＝BE；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴BF⊥DE，∵BD＝BE，∴EF＝DF＝DE＝1．∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∵BF⊥AD，∴Rt△BDF∽Rt△ADB，∴，∴BD2＝DF•DA，∴＝1×AD，∴AD＝5，∴AE＝AD﹣DE＝5﹣2＝3．8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD平分∠ADB交AB于F，点F在AB的延长线上，且EF＝ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接BC，若，探究线段AB和BE之间的数量关系，并给予证明；（3）在（2）的条件下，若BE＝2，求弦CD的长．【分析】（1）本题通过连接OD，证明OD⊥DE即可，通过导角，得到∠E+∠EOD＝90°，得出垂直；（2）通过△ADE和△DBE相似，得到对应边的比，通过圆周角的性质，得到∠A＝∠C，得到BD和AD的比，从而得到AB和BE的比得出结果；（3）过点B作BG⊥CD，由（2）的结论，得到BD的长，在等腰直角△BGD中，得到BG和DG的长，在Rt△BGC中，通过tan∠C得到CG的长，然后得到CD的长．【解答】解：（1）连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DC平分∠ADB，∴∠ADF＝∠BDF＝45°，∵∠DFE＝∠DAF+∠ADF＝∠DAF+45°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠DFE，∴∠E＝90°﹣2∠DAF，∵OA＝OD，∴∠DAF＝∠ADO，∴∠DOE＝2∠DAF，∴∠DOE+∠E＝2∠DAF+90°﹣2∠DAF＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE为⊙O切线；（2）AB＝3BE，∵A、C、B、D均在⊙O上，∴∠A＝∠C，∴tanA＝tanC＝，∵∠ADB＝90°，∴，∵∠ODE＝90°＝∠ADB，∴∠ODE﹣∠ODB＝∠ADB﹣∠ODB，∴∠ADO＝∠BDE，∴∠A＝∠BDE，∵∠E＝∠E，∴△AED∽△DEB（AA），∴，∴AE＝2DE，DE＝2BE，∴AE＝4BE，∴AB＝3BE；（3）∵BE＝2，∴DE＝4，AB＝6，AE＝8，设BD＝x，则AD＝2x，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴4x2+x2＝62，x＝，∴BD＝（负值舍去），过B作BG⊥CD交CD于点G，∵∠CDB＝45°，BG⊥DG，∴DG＝BG＝sin45°•BD×＝，∵tanC＝，在Rt△CGB中，，∴GC＝2BG＝，∴CD＝DG+GC＝．9．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相交于点D，且AD平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC＝4，AD＝2．①求⊙O的半径；②请直接写出BE的长6．【分析】（1）如图，连接OD，欲证明BC是⊙O的切线，只需推知OD⊥BC即可；（2）①如图，过点D作DF⊥AB于F，根据勾股定理求得CD＝2，由角平分线的性质和全等三角形的判定定理HL知Rt△ACD≌Rt△AFD，故DF＝CD＝2，AF＝AC＝4；在直角△OFD中，利用勾股定理求得OD的长度即可；②利用切割线定理求得BE的长度．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠DAE，∵OA＝OD，∴∠DAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC．又∵OD的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）①在直角△ACD中，AC＝4，AD＝2，由勾股定理得到：CD＝＝＝2．如图2，连接OD，过点D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠BAC，∴CD＝DF＝2．在Rt△ACD与Rt△AFD中，．∴Rt△ACD≌Rt△AFD（HL）．∴AC＝AF＝4．设⊙O的半径为r，∴OF＝4﹣r．在Rt△ODF中，OF2+DF2＝OD2，即（4﹣r）2+（2）2＝r2．解得r＝3．即⊙O的半径为3；②如图2，由①知，OF＝1，则EF＝2．∵BC是⊙O的切线，点D是切点，∴BD2＝BE•AB，即BD2＝（6+BE）BE（i）．又∵BD2＝DF2+BF2，即BD2＝（2）2+（BE+2）2（ii）．联立（i）（ii）解得，BE＝6．故答案为：6．10．如图，PB是⊙O的切线，切点为B，点A在⊙O上，且PA＝PB．连接AO并延长交⊙O于点C，交直线PB于点D，连接OP．（1）证明：PA是⊙O的切线；（2）证明：DB2＝DC•DA；（3）若BD＝4，sin∠ADP＝，求线段OP的长．【分析】（1）连接OB，判定△AOP≌△BOP，从而得到∠PAO＝90°，即可得证；（2）连接BA、BC，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角推出判定△DBC∽△DAB的条件，判定相似后根据相似三角形的性质即可推出结论；（3）先解直角三角形BOD，求出OB、CD、BD，再根据锐角三角函数的定义和已知条件求出PB的长，再根据勾股定理即可求出OP．【解答】（1）证明：如图1，连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SSS），∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴OA⊥PA，又∵点A在⊙O上，∴PA是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接BA、BC，∵PB是⊙O的切线，∴∠DBC＝∠DAB，又∵∠D＝∠D，∴△DBC∽△DAB，∴，∴DB2＝DC•DA；（3）解：在Rt△OBD中，sin∠ADP＝，设OB＝3x，OD＝5x，∴BD＝4x，∵BD＝4，∴x＝1，∴OB＝3x＝3，OD＝5x＝5，在Rt△PAD中，sin∠ADP＝＝，∴PB＝6，在Rt△POB中，OP＝．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，，求BF的长．【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形的性质和同圆的半径相等可以得到AC∥OD，再利用切线的判定定理即可得出结论；（2）连接AD，利用圆周角定理，勾股定理和直角三角形的边角关系求得线段AD，BD，利用弦切角定理证明FBD∽△FDA，得出FB，FD的数量关系，设FB＝3k，则FD＝4k，在Rt△FDO中利用勾股定理即可求得k值，则结论可得．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∴∠ODB＝∠ACB，∴AC∥OD．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE．∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，在Rt△ABD中，∵，设AD＝4x，BD＝3x，∵⊙O的半径为5，∴AB＝10，∵AD2+BD2＝AB2，∴（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2，∴AD＝8，BD＝6，∵DE是⊙O的切线，∴∠FDB＝∠FAD，∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA，∴'设FB＝3k，则FD＝4k，∴FO＝FB+OB＝5+3k，在Rt△FDO中，∵FO2＝FD2+OD2，∵（3k+5）2＝（4k）2+52，解得：k＝，∴BF＝3k＝．12．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于点D，点F是BD的中点，直线CF交直线AB于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）已知，BG＝2，FB＝1，求AC．【分析】（1）连接OC，OF，利用三角形的中位线定理，全等三角形的判定定理与性质定理证明△FOC≌△FOB，∠FCO＝∠FBO＝90°，再利用切线的判定定理即可得出结论；（2）连接BC，OC，利用勾股定理，切线长定理可求得线段GF，CG的长，利用相似三角形的判定与性质可求得圆的半径与直径，再利用相似三角形的判定与性质得到BC，AC的比，设BC＝x，则AC＝x，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．【解答】（1）证明：连接OC，OF，如图，∵DB是圆的切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵BF＝BD，OA＝OB，∴OF是△BAD的中位线，∴OF∥AD，∴∠FOB＝∠BAB，∠FOC＝∠ACO．∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠FOC＝∠FOB．在△FOC和△FOB中，，∴△FOC≌△FOB（SAS）．∴∠FCO＝∠FBO＝90°，∴OC⊥GC，∵OC为圆的半径，∴CG是⊙O的切线；（2）解：连接BC，OC，如图，∵BD⊥BG，BG＝2，FB＝1，∴FG＝＝3，∵DB是圆的切线，CG是⊙O的切线，∴FC＝FB＝1，∴GC＝FG+FC＝4．∵∠FBG＝∠OCG＝90°，∠G＝∠G，∴△GBF∽△GCO，∴，∴OC＝，∴AB＝2OC＝2．∵CG是⊙O的切线，∴∠BCG＝∠CAB，∵∠G＝∠G，∴△GBC∽△GCA，∴，设BC＝x，则AC＝x，∵AC2+BC2＝AB2，∴，∴x＝（负数不合题意，舍去）．∴AC＝x＝．13．如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE．（1）求证：CF是圆O的切线；（2）若，BE＝2，求圆O的半径和DE•EC的值．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和圆周角定理先说明AC⊥CF，再证明CF是圆的切线；（2）利用∠F的余弦值和线段的和差关系，先求出AC、CF、AE，再说明△BEC∽△DEA，通过计算AE×BE得结论．【解答】证明：（1）∵AC是直径，点D是的中点，∴∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD．∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠ABC＝90°，∴∠CEF+∠BCE＝90°．∴∠ECF+∠ACD＝90°，即∠ACF＝90°．∴AC⊥CF．又∵点C在圆O上，∴CF是圆O的切线；（2）连接AD．∵AC是直径，点D是的中点，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD．∴△BEC∽△DEA．∴DE•EC＝AE•BE，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵＝＝，设CF＝3k，则AF＝5k．∴BF＝k，AC＝＝4k．∵FC＝FE＝3k，BE＝FE﹣BF，∴3k﹣k＝2．∴k＝．∴AC＝．∴圆O的半径＝AC＝．∵AE＝AF﹣FE＝5k﹣3k＝2k＝，∴AE×BE＝×2＝．∴DE•EC＝．14．九年级学生梁梁在帮爸爸整理书橱时，发现爸爸当年的数学书上有个相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即：如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD．梁梁思索片刻，通过连接AC、BD，很快就证明出来了．【结论证明】（1）请在图1中，根据梁梁的提示作出辅助线，并写出详细的证明过程；【灵活运用】（2）如图2，⊙O的弦AB＝10cm，点P是AB上一点，BP＝6cm，OP＝5cm，则⊙O的半径为7cm．（3）如图3，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则AB长为4．【问题解决】（4）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣x﹣4的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．如图4，过A，B，