习题课十一电磁感应中的动力学动量和能量问题（杆＋导轨模型）

第十一章电磁感应习题课十一电磁感应中的动力学、动量和能量问题（杆＋导轨模型）目录CONTENT着眼“四翼”·探考点聚焦“素养”·引思维020301锁定“目标”·提素能Part01着眼“四翼”·探考点⁠考点一

电磁感应中的动力学问题

[互动共研类]1.两种状态及处理方法状态特征处理方法平衡态加速度为零根据平衡条件列式分析非平衡态加速度不为零根据牛顿第二定律结合运动学公式进行分析2.力学对象和电学对象间联系的桥梁——感应电流I、切割速度v【典例1】

如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下。导轨和ab杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和ab杆接触良好，不计它们之间的摩擦。（重力加速度为g）解析

（1）由右手定则可知，ab杆中电流方向为a→b。如图所示，ab杆受重力mg，方向竖直向下；支持力FN，方向垂直于导轨平面向上；安培力F安，方向沿导轨向上。答案

（1）见解析图

（1）由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求杆中的电流及其加速度的大小；

（3）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。

｜解题技法｜用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题⁠1.[电磁感应中水平面内的动力学问题]如图所示，M、N为同一水平面内的两条平行长直导轨，左端串联电阻R，金属杆ab垂直导轨放置，金属杆和导轨的电阻不计，杆与导轨间接触良好且无摩擦，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中。现对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动。在运动过程中，金属杆的速度大小为v，R上消耗的总能量为E，则下列关于v、E随时间变化的图像可能正确的是（

）解析：D

对金属杆ab施加一个与其垂直的水平方向的恒力F，使金属杆从静止开始运动；由于金属杆切割磁感线产生感应电动势和感应电流，受到随速度的增大而增大的安培力作用，所以金属杆做加速度逐渐减小的加速运动；当安培力增大到等于水平方向的恒力F时，金属杆做匀速直线运动，故A、B错误。由功能关系知，开始水平方向的恒力F做的功一部分使金属杆动能增大，另一部分转化为电能，被电阻R消耗掉；当金属杆匀速运动后，水平方向的恒力F所做的功等于R上消耗的总能量E，故D正确，C错误。2.[电磁感应中斜面内的动力学问题]（2023·江苏镇江二模）如图所示，两电阻不计的足够长光滑导轨倾斜放置，上端连接一电阻R，空间有一垂直导轨平面向上的匀强磁场B，一质量为m的导体棒与导轨接触良好，从某处自由释放，下列四幅图像分别表示导体棒运动过程中速度v与时间t关系、加速度a与时间t关系、机械能E与位移x关系、以及通过导体棒电量q与位移x关系，其中可能正确的是（

）

3.[电磁感应中竖直面内的动力学问题]（2023·江苏南京外国语学校模拟）为了提高城市摩天大楼中电梯的运行效率并缩短候梯时间，人们设计了一种电磁驱动的无绳电梯，如图甲。图乙所示为电磁驱动的简化模型：光滑的平行长直金属导轨置于竖直面内，间距L＝1m。导轨下端接有阻值

R＝1Ω的电阻，质量m＝0.1kg的导体棒（相当于电梯车厢）垂直跨接在导轨上，导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上存在磁感应强度大小B＝0.5T，方向垂直纸面向里的匀强磁场，导体棒始终处于磁场区域内，g取10m/s2。t＝0时刻，磁场以速度v1＝10m/s速度匀速向上移动的同时静止释放该导体棒。（1）求t＝0时刻导体棒的加速度大小；

答案：（1）15m/s2

（2）若导体棒随之运动并很快达到一个恒定速度，求该恒定速度的大小。解析：（2）若导体棒随之运动并很快达到一个恒定速度，此时导体棒受向上安培力大小等于重力，则有F安2＝BI2L＝mg＝1

N解得此时回路中的电流为I2＝2

A由电磁感应定律可得E2＝BLv2＝I2R解得v2＝4

m/s由电磁感应定律可知，v2是导体棒相对磁场的运动速度，则有导体棒的恒定速度为v＝v1－v2＝10

m/s－4

m/s＝6

m/s。答案：（2）6m/s考点二

电磁感应中的能量问题

[互动共研类]1.电磁感应中的能量转化其他形式的能量⁠电能⁠焦耳热或其他形式的能量2.求解焦耳热Q的三种方法（1）焦耳定律：Q＝I2Rt；（2）功能关系：Q＝W克服安培力；（3）能量转化：Q＝ΔE其他能的减少量。【典例2】

如图所示，一对平行的粗糙金属导轨固定于同一水平面上，导轨间距L＝0.2m，左端接有阻值R＝0.3Ω的电阻，右侧平滑连接一对弯曲的光滑轨道。仅在水平导轨的整个区域内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小

B＝1.0T。一根质量m＝0.2kg、电阻r＝0.1Ω的金属棒ab垂直放置于导轨上，在水平向右的恒力F作用下从静止开始运动，当金属棒通过位移x＝9m时离开磁场，在离开磁场前已达到最大速度。当金属棒离开磁场时撤去外力F，接着金属棒沿弯曲轨道上升到最大高度

h＝0.8m处。已知金属棒与水平导轨间的动摩擦因数μ＝0.1，导轨电阻不计，金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨保持良好接触，取g

＝10m/s2。求：

（1）金属棒运动的最大速率v；答案

（1）4m/s

答案

（2）1m/s2（3）金属棒在磁场区域运动过程中，电阻R上产生的焦耳热。

⁠1.[导体棒在磁场中运动时的能量转化]一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图所示，磁感应强度B＝0.5T，导体棒ab、cd长度均为0.2m，电阻均为0.1Ω，重力均为0.1N。现用力向上拉动导体棒ab，使之匀速上升（导体棒ab、cd与导轨接触良好），此时导体棒cd静止不动，则导体棒ab上升时，下列说法正确的是（

）A.经过导体棒cd的电流方向为从d到cB.导体棒ab受到的拉力大小为2NC.导体棒ab向上运动的速度为2m/sD.在2s内，拉力做的功中有0.6J的机械能转化为电能

2.[金属框在磁场中运动时的能量转化]两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为L，通过长为L的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体。距离组合体下底边H处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场。磁场区域上下边界水平，高度为L，左右宽度足够大。把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度v0水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小B，使其匀速通过磁场，不计空气阻力。下列说法正确的是（

）B.通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变C.通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率不相等D.调节H、v0和B，只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变

【典例3】

（2023·江苏盐城一模）如图所示，相互平行，相距L的两条金属长导轨固定在同一水平面上，电阻可忽略不计，空间有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B，质量均为m，长度均为L，电阻均为R的导体棒甲和乙，可以在长导轨上无摩擦左右滑动。开始时，甲导体棒具有向左的初速度v，乙导体棒具有向右的初速度2v，求：（1）开始时，回路中电流I；

（2）当一根导体棒速度为零时，另一个导体棒加速度a的大小；

（3）运动过程中通过乙导体棒的电荷量最大值qm。

｜解题技法｜灵活选用“三大力学观点”解决电磁感应中的综合问题动力学观点即应用牛顿运动定律及运动学公式分析物体的运动问题。能量观点即应用动能定理、机械能守恒定律、功能关系、能量守恒定律等规律处理有关问题。动量观点⁠

[动量定理在电磁感应中的应用]如图所示，两光滑平行金属导轨置于水平面内，两导轨间距为L，左端连有阻值为R的电阻，一金属杆置于导轨上，金属杆右侧存在一磁感应强度大小为B、方向竖直向下的有界匀强磁场区域。已知金属杆质量为m，电阻也为R，以速度v0向右进入磁场区域，做减速运动，到达磁场区域右边界时速度恰好为零。金属杆与导轨始终保持垂直且接触良好，导轨电阻忽略不计。求：（1）金属杆运动全过程中，在电阻R上产生热量QR；

（2）金属杆运动全过程中，通过电阻R的电荷量q；

（3）磁场左右边界间的距离d。

Part02聚焦“素养”·引思维⁠“专项研究”拓视野⁠“杆＋导轨”模型模型一

“单杆＋导轨”模型如图，两光滑金属导轨在水平面内，导轨间距为L，导体棒的质量为m，回路总电阻为R。导体棒在水平力F的作用下运动，某时刻速度为v0，导体棒在磁场中的运动情况分析如下：运动条件运动情况分析F为恒力合力为零，做匀速运动v↑⇒BLv↑⇒I↑⇒BIL↑⇒a↓⇒a＝0，匀速运动v↓⇒BLv↓⇒I↓⇒BIL↓⇒a↓⇒a＝0，匀速运动F随时间t按一定线性规律变化【典例1】

如图1所示，两水平放置的光滑平行金属导轨MN、PQ固定在绝缘水平面上，导轨间距离为

L＝1m。M、P间接有阻值为R＝10Ω的定值电阻，理想电压表接在定值电阻两端。导轨处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B＝1T。一根质量m＝0.1kg的金属棒放在导轨上，金属棒接入电路的电阻也为R＝10Ω。现对金属棒施加一个水平向右的拉力，使金属棒由静止开始向右运动，金属棒运动后电压表的示数U随时间t变化的规律如图2所示，金属棒运动过程中与导轨接触良好且始终与导轨垂直，导轨电阻不计。求：（1）t＝5s时，拉力F的大小；

答案

（1）0.7N（2）金属棒在运动的前5s内，拉力F的冲量大小；

答案

（2）2.25N·s（3）金属棒运动10s时，撤去拉力F，则撤去拉力后金属棒运动0.5m时速度的大小。

模型二

“双杆＋导轨”模型1.初速度不为零，不受其他水平外力光滑的平行导轨光滑不等距导轨示意图⁠质量m1＝m2电阻r1＝r2长度L1＝L2杆MN、PQ间距足够长⁠质量m1＝m2电阻r1＝r2长度L1＝2L2杆MN、PQ间距足够长且只在各自的轨道上运动光滑的平行导轨光滑不等距导轨规律⁠⁠分析杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度做匀速运动杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶22.初速度为零，一杆受到恒定水平外力光滑的平行导轨不光滑平行导轨示意图⁠质量m1＝m2电阻r1＝r2长度L1＝L2⁠摩擦力Ff1＝Ff2质量m1＝m2电阻r1＝r2长度L1＝L2光滑的平行导轨不光滑平行导轨分析开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动开始时，若F≤2Ff，则PQ杆先变加速后匀速运动，MN杆静止。若F＞2Ff，PQ杆先变加速后匀加速运动，MN杆先静止后变加速最后和PQ杆同时做匀加速运动，且加速度相同规则⁠⁠【典例2】

如图所示，光滑水平导轨置于磁场中，磁场的磁感应强度为B，左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为2L，导轨均足够长。质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab的电阻为R，cd的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。现瞬间给cd一水平向右的初速度v0，则此后的运动过程中下列说法正确的是（

）A.导体棒ab和cd组成的系统动量守恒B.两棒最终以相同的速度做匀速直线运动

答案

C｜特别提醒｜

“杆＋导轨”模型是电磁感应中的常见模型，选择题和计算题均有考查。该模型以单杆或双杆在导体轨道上做切割磁感线运动为情境，综合考查电路、动力学、功能关系等知识。在处理该模型时，要以导体杆切割磁感线的速度为主线，由楞次定律、法拉第电磁感应定律和欧姆定律分析电路中的电流，由牛顿第二定律分析导体杆的加速度及速度变化，由能量守恒分析系统中的功能关系。Part03锁定“目标”·提素能⁠1.如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻。ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。ef及线框中导线的电阻不计。开始时，给ef一个向右的初速度，则（

）A.ef将减速向右运动，但不是匀减速运动B.ef将匀减速向右运动，最后停止C.ef将匀速向右运动D.ef将往返运动

2.用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R（r≪R）的圆环。圆环竖直向下落入如图所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下滑过程中某一时刻的速度为v，忽略电感的影响，则（

）A.此时在圆环中产生了（俯视）顺时针的感应电流B.圆环因受到了向下的安培力而加速下落

3.（2023·江苏宿迁二模）如图所示，匀强磁场中水平放置两足够长的光滑平行金属导轨，导轨的左侧接有不带电的电容器C。金属棒ab在导轨上向右运动，运动过程中棒始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，不计导轨电阻。在t0时刻闭合开关S，则金属棒两端电压Uab、速度v、电容器所带电荷量q、回路中电流强度i随时间t变化的关系图像可能正确的是（

）解析：A

开关原来断开，金属棒匀速运动，金属棒两端电压Uab＝BLv，在t0时刻闭合开关S，金属棒两端电压等于电容器两端电压，开始电容器两端电压为0，金属棒给电容器充电，使得电容器两端电压增大，此过程有电流经过金属棒，且充电电流逐渐减小，根据左手定则可知安培力方向向左，金属棒做减速运动，最终电容器两端电压等于ab切割磁感应线产生的感应电动势，回路中的电流为零，金属棒再次匀速运动，但速度要小于原来的速度，此时ab两端电压恒定不变，故A正确，B、D错误；闭合开关后，电容器充电过程中，其电荷量从零开始增大，最后不变，故C错误。4.（2023·江苏南京市中华中学模拟预测）两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，顶端接阻值为R的电阻。质量为m、电阻为r的金属棒在距磁场上边界某处由静止释放，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场垂直，如图所示。不计导轨的电阻，重力加速度为g，则下列说法正确的是（

）A.金属棒在磁场中运动时，流过电阻R的电流方向为a→bB.金属棒刚进磁场时一定做加速运动

5.（2023·江苏苏锡常一模）如图所示，一无限长通电直导线固定在光滑水平面上。一质量为0.02kg的金属圆环在该平面内以大小v0＝2m/s、方向与电流方向成60°角的初速度滑出，直到达到稳定。求：（1）整个过程金属圆环产生的电能；

答案：（1）0.03J（2）整个过程金属圆环受到安培力的冲量。

6.（2023·江苏盐城一模）某实验小组利用塑料小车模拟探究电磁刹车的效果，在遥控小车底面安装与小车底面长宽均相同的n匝矩形导线框，其总电阻为R，其平面与水平地面平行，如图所示，小车在车场外以恒定功率做直线运动，受到地面阻力恒为f，车头刚进入磁场时已达到最大速度v，牵引力立即变为0；车尾刚出磁场时速度恰好为零，已知底面长为x，宽为L的小车总质量为m，宽为d的有界磁场感应强度为B，方向竖直向上，不计空气阻力；求小车：（1）刚进磁场时，导线框中的电流强度I；

（2）从进磁场到完全出磁场过程，安培力做的功W。

⁠7.（2023·苏锡常镇四市教学调研）如图所示，一根足够长的直导线水平放置，通以向右的恒定电流，在其正上方O点用细丝线悬挂一铜制圆环。将圆环从a点无初速释放，圆环在直导线所处的竖直平面内运动，经过最低点b和最右侧c后返回，下列判断正确的是（

）A.从a到c的过程中圆环中的感应电流方向先逆时针后顺时针B.运动过程中圆环受到的安培力方向与速度方向相反C.圆环从b到c的时间大于从c到b的时间D.圆环从b到c产生的热量大于从c到b产生的热量解析：D

根据右手定则可知，导线上方磁场垂直纸面向外，且越靠近导线磁场越强，从a到c的过程中，圆环中的磁通量先增加再减小，根据楞次定律，圆环产生的感应磁场先向里再向外，由安培定则可知，感应电流方向先顺时针后逆时针，A错误；圆环运动过程中，磁场的作用力一直做负功，则圆环从b到c的速度要大于从c到b相同位置的速度，故从b到c磁场的作用力相对大些，产生的热量也较多，可知圆环从b到c的时间小于从c到b的时间，故C错误，D正确；将圆环分为上、下两部分，两部分的等效电流沿水平方向，由左手定则可知，运动过程中圆环受到的安培力沿竖直方向，B错误。8.（2023·江苏苏锡常二模）如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面且方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置，接触良好。已知导体棒a质量为2m，导体棒b质量为m，长度均为l，电阻均为r，其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度v0。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是（

）A.从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b的动能增加量等于导体棒a的动能减少量B.从开始到最终稳定的任意一段