高二数学人教A版2019选择性讲义第15讲椭圆中6大最值问题题型总结

第15讲椭圆中6大最值问题题型总结

题型目录

题型一：利用均值不等式求最值

题型二：利用焦半径范围求最值

题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题

题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题

题型五：椭圆有关向量积最值问题

题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值

典型例题

题型一：利用均值不等式求最值

【例1】已知《，尸2是椭圆C:（+（=l的两个焦点，点M在C上，则IM用∙∣M周的最大值为（）.

A.13B.12C.25D.16

【答案】C

【解析】

【分析】

根据椭圆定义可得IM£|+|炳卜10,利用基本不等式可得结果.

【详解】

由椭圆方程知：“=5；根据椭圆定义知：∣Λ∕制+∣M同=2α=10,

.∙.pw讣IgI吗网，=25（当且仅当I螭I=I峭I时取等号）,

∙∙∙∣M∣∙∣M段的最大值为25.

故选：C.

【例2】（2022•安徽•高二阶段练习）已知椭圆C：±+《=1的左、右焦点分别为写，工，点P是椭圆C上

169

14

的动点，m=∖PFi∖,n=∖PF2∖,则G+%的最小值为（）

c20-3√7D20+3√7

'-9-'~~

【答案】A

【解析】

【分析】

由椭圆的定义可得利+〃=8；

利用基本不等式，若a，b>0,则a+b≥2瓶,当且仅当α=匕时取等号.

【详解】

根据椭圆的定义可知，I尸耳∣+∣PM∣=2α=8,即〃?+〃=8,

因为加≥4-√7>0,n>4-√7>0,

141（14Y、1（n4∕n^1（.CΓn~~4m}9

所以一+—=/一+—I（根+“）=金|5c+—+—>-×5+2---------=-,

mnS∖mnJ81m∖mnJ8

当且仅当机4〃弋时等号成立.

ɔJ

故选:A

【题型专练】

1.（2022.河南.辉县市第一高级中学高二期末（文））设P是椭圆三+4=1上一点，耳、尸2是椭圆的两个

94

焦点，则CoSNKPg的最小值是（）

AɪC「1n1

A.—B.-IC.-D.—

992

【答案】A

【解析】

【分析】

利用椭圆的定义以及基本不等式可求得C。SNKP鸟的最小值.

【详解】

z1122

ιl-IHiIwl—+ɪ-=11>a=3,b—2,c=yja—I）=^5"

94

由椭圆定义可得IP与+∣P闾=2a=6,巧图=2c=2石，

IPd+g2T耳用2(|因+∣p初2—恒闾2一2附|.|p&

由余弦定理可得COSNaPK=

2附I•明2阀HPKl

62-20,、1616,1

=------------1≥------------------11=----1=---

2附H叫，(阀∣+∣P段Y189,

ZXI2)

当且仅当IPKl=IP周=3时,等号成立,

因此，CoSNEP玛的最小值为

9

故选：A.

22

2.(2022•全国•高二课时练习)己知P(m,〃)是椭圆二r+二v=1上的一个动点，则/+〃2的取值范围是

12

()

A.(0,l]B.[1,2]C.(0,2]D.[2,+∞)

【答案】B

【分析】根据题意求得机的范围，及/=2-2病，从而可得裙+〃2=2-病，从而可得出答案.

【详解】解：因为P(m,n)是椭圆片+f=1上的一个动点，

12

所以—l≤m≤l,-√Σ≤"≤√Σ,

22

且江+土=1,则"=2-21,

12

则=2—"？,

因为一1≤机≤1,所以0≤帆2≤1,

所以l≤2-∕√≤2,

即nr+n2∈[1,2].

故选：B.

3.(2022•全国•高三专题练习)已知点P在椭圆E→E=l(">∕>>O)上，耳、名为椭圆的两个焦点，求

a2b-

IP耳∣∙∣尸Bl的取值范围.

【答案】

【分析】由椭圆的定义，可得IP耳∣+∣P闻=2α,进而可得附HP闾=-(冏∣-αf+A然后利用二次函数的

性质即得.

【详解】由题可知∣P6∣+∣P闾=2α,∣P卜4a-c,α+c],

因为阀卜阀|=|叫伽-归用)=_附『+翻M=-(IMl-『+落

.∙.∣P用=4时，I尸甲IPgI有最大值小，|P£|=a-c或IP周=α+c时,I"；川尸亮I有最小值从,

即IPGI∙∣Pg∣的取值范围为

题型二：利用焦半径范围求最值

22

【例1】(2022•全国•高二课时练习)己知椭圆C：;→4=1(α>A>())的右焦点F(GO),点尸(x,y)是椭

ah

圆C上的一个动点.求证：a-c≤∖PF∖<a+c.

【答案】详见解析.

________________2

【分析】利用椭圆方程及两点间公式可得∣PF∣=J(x-c∙)2+y2=(χ-*,再根据椭圆的有界性即证.

fV2

【详解】由A方=1,可得V=4ɪ-ʒ-,

2

Λ∖PF∖=ʌʃ(ɪ-e)+χ=—X-—τ乂-a≤x≤a,

・・.|叩=:a--x≡[a-c,a+c],

即a-c≤∖PF∖≤a+c.

【例2】(2021・山西吕梁•一模(理))已知尸为椭圆]+f=l的左焦点，尸为椭圆上一点，则IPFI的取值

范围为.

【答案】[1,3]

【分析】设出点P的坐标，由两点间的距离公式求出|「用，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范

围.

【详解】由题意，餐—1,0),设P(XM,则J+[=i=y2=3_%2,所以

i222

∖PF∖=y∣(x+∖)+y=^(X+1)+3-∣Λ=^∣X+4∣,因为—2≤X≤2,所以I尸Fl的范围是[1,3].

故答案为：[1,3].

【例3】(2022・河南•新蔡县第一高级中学高二开学考试(文))己知椭圆?+]=1,点A(0,1),尸为椭圆

上一动点，则IPAI的最大值为一.

【答案】√6

【分析】设点P(x,y),可得出∕=4-2y2,其中-√5≤y≤√∑,利用二次函数的基本性质可求得IPAl的最大

值.

【详解】设点P(x,y),则:+91,可得χ2=4-2∕,其中-√Σ≤y≤√I,

2222,22

IPAI=y∣x+(y-l)=y∣4-2y+γ-2>+l=y∣-y-2y+5=1J-(y+l)+6≤ʌ/ð，

当且仅当y=τ时，|尸4|取得最大值几.

故答案为：√6.

2

【例4】(2023•全国•高三专题练习)已知点户是椭圆工+V=I上的动点(点P不在坐标轴上)，6、居为椭

4

圆的左，右焦点，O为坐标原点；若“是/耳尸"的角平分线上的一点，且则IOMI的取值

范围为()

A.(0,√3)B.(0,2)

C.(1,2)D.(√3,2)

【答案】A

【分析】延长PA、FyM相交于点N,连接QM,利用椭圆的定义分析得出|。Ml=JI尸制-IP周I,设点P(X°,%),

求出与的取值范围，利用椭圆的方程计算得出IoM卜;IXoI,由此可得出结果.

【详解】如下图，延长尸心、耳时相交于点N,连接。M,

因为片,

因为PM为N耳尸鸟的角平分线，所以，∣∕W∣=归用，则点〃为KN的中点，

因为。为耳心的中点，所以，I。叫=；IKNI=SPM-IP矶=SPKiTP/，

设点P(x°,%),由己知可得α=2,h=↑,c=∖∣a2-b2=yβ`

则-2<%<2且XOWO,且有尤=1-：片，

IP用=^(⅞+√3)^+yθ=J*+2√¾>+3+l-};=gj+2√5⅞+4=∙y⅞+2=y^⅞+2,

故∣"∣=4-附∣=2-¥x°,

所以，I。叫=Jp周TP闾|=#闯e(o,√η.

故选：A.

【题型专练】

1.平面内有一长度为4的线段AB,动点P满足IpAI+∣PB∣=6,则|始|的取值范围是()

A.[1,5]B.[1,6]C.[2,5]D.[2,6]

【答案】A

【解析】由题可得动点户在以AB为焦点，长轴长为6的椭圆上，

..ci—3,c=2,

则可得IPAl的最小值为α-c=l,最大值为α+c=5■

∙∙∙∣Λ4∣的取值范围是[1,5].

故选：A.

2.已知动点尸在椭圆工+汇=1上，若点A的坐标为(3,0),点“满足IAMl=1,且尸M∙AM=0,则∣PΛ∕∣

4940

的最小值是.

【答案】√15

【解析】由题意知/=49,〃=40,所以¢2=9,解得c=3,所以A(3,θ)为椭圆的右焦点，由题意知点

M是以A为圆心，1为半径上的圆上一动点，且尸MJ_Au所以IPM=JIPAI2TAM2=JiPAf-1

,因IPd的最小值为a-c=7—3=4,所以IPMwn=J储T=J^

3.已知P是椭圆C:：+(=l上的动点，且与C的四个顶点不重合，耳，鸟分别是椭圆的左、右焦点，若

点M在/GPK的平分线上，且MGMP=0,则IoMl的取值范围是()

A.(0,2)B.(θ,2√2)C.(θ,3-2√2)D.(0,1)

【答案】D

【解析】

【分析】

作出辅助线，得到IOMl=g怩M，求出IENl的取值范围，从而求出IoMl的取值范围.

【详解】

如图，直线耳M与宜线PG相交于点M

由于PM是NKP心的平分线，且岬∙MP=O,即PΛ∕J.,

所以三角形F、PN是等腰三角形，

所以尸耳=PN,点M为与N中点，

因为。为耳网的中点,

所以。例是三角形耳SN的中位线，

所以IOM=；|&M，

其中比MTPKHPKl=2∣P凰-2a=4P4|-6,

22

因为P与C的四个顶点不重合，设PW,〃)，则M∈(0,3),^-+ɪ=1

2222

贝∣]IPF[I=ʌʃ(w+1)+n=^(m+l)+9-^w=∙^∣m+9∣,

所以仍用e(2,4),又IEM＞。，

所以优NIe(0,2),∣OMI=J鸟Me((U)

.∙.IOMI的取值范围是（0,1）.

故选：D.

题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题

【例1】（2022•全国•高三专题练习）已知椭圆的长轴长为10,短轴长为8,则椭圆上任意一点P到椭圆中心

。的距离的取值范围是（）

A.[4,5]B.[6,8]C.[6,10]D.[8,10]

【答案】A

【分析】不妨设椭圆的焦点在X轴上，设点P（x,y）,则-5≤x≤5,且有V=16-^∣χ2,利用二次函数的基

本性质可求得IoH的取值范围.

【详解】不妨设椭圆的焦点在X轴上，则该椭圆的标准方程为5+]=】，

设点P（x,y）,则-5≤x≤5,且有>2=16-£彳2,

所以，|。Pl=yjx2+y2=^x2+16-^X2=+16∈[4,5].

故选：A.

【例2】（2022.全国•高三专题练习）已知点P是椭圆t+片=1上的任意一点，过点P作圆C：/+（>-if=]

129

的切线，设其中一个切点为M,则IPM的取值范围为（)

A.[Λ4]B.[√3,√15]C.[√15,4]D.[^,2√3]

【答案】B

【分析】设P(χ,y),得至IJIPMI2=|PC『—Mc「=T(y+3)2+i5,利用椭圆的范围求解.

【详解】解：设P(χ,y),

贝"PM『=IPCf-IMel2=χ2+(y,

ɪfi-ɪ-×12+(y-1)2-1,

1ʌ

=-g(y+3)-+15,

因为-3≤y≤3,

所以3≤∣PΛ√f≤15,即√5w∣尸M∣≤J百，

故选：B

【例3】(2022•重庆市实验中学高二阶段练习)已知点P在椭圆《+$=1上运动，点Q在圆(X-I)2+/=|

938

上运动，则IPQl的最小值为.

【答案】叵##；9

44

【解析】

【分析】

将求IPQl最小值的问题，转化为求点P到圆心M(l,0)距离最小值的问题，结合点尸满足椭圆方程，转化为

二次函数求最值即可.

【详解】

不妨设点P为小,％),⅞∈[-3,3].贝IJ,+冷=1，则y；=3-日

设圆(X-I)2+V=J的圆心为M,则M坐标为(1,0)

O

则IPQI的最小值，即为I网的最小值与圆(X-I)2+产=。的半径回之差.

o4

乂IMpl=J(Xo_if+%2=J∣∙(*-3无0)+4=J■!1。d+1

当/e［-3,3］时，IMP∣≥乎，当且仅当飞=T时取得等号;

故∣R2∣≥四一亚=四.

11244

故答案为：叵.

4

【题型专练】

2

1.(2021.陕西.长安一中高二期中(文))设B是椭圆C:?r+y2=i的上顶点，点P在C上，则IPM的最大值

为.

【答案】生叵

3

【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，以及两点间的距离公式，即可求解.

丫2

【详解】根据题意，易知3(0,1),设P(X,y),则?+丁=1,即χ2=4-4∕,

222

故IPM=JxRy-])=j4-4√+(y-l)=λ∣-3y-2y+5=.3卜++y>

因为T≤y≤l,所以当y=-g时，归虬““

故答案为：警

X2

2,已知椭圆T:+y2=ιg>i)的焦点尸(—2,0),过点M(0,1)引两条互相垂直的两直线∕∣、Z,若P为桶圆

72

上任一点，记点P到4、4的距离分别为4、4,则裙十片的最大值为()

131325

A.2B.C.D.

4^4T

【答案】D

【解析】由题意知从=1,。2=4,所以"=5,解得α=√L所以椭圆的方程为［→V=1,设P(Xo,%),

则乜，且M((M),所以内公画…+①-讥又吟+%』，所以小5-5嫣

2222

所以6∕1+J2=5-5√+γ0-2y0+l=-4γ0-2γ0+6因为一1≤%«1，所以当先=一(时，4?+4?

25

的最大值为一

4

3.(多选题)已知点P是椭圆C：三+V=I上的动点，。是圆O：(x+lf+y2=!上的动点，则()

34

A.椭圆C的短轴长为1B.椭圆C的离心率为亚

3

C.圆Z)在椭圆C的内部D.∣PQ版最小值为日

【答案】BC

【解析】

【分析】

AB.利用椭圆的方程求解判断；C.由椭圆方程和圆的方程联立，利用判别式法判断；D.利用圆心到点的距离

判断.

【详解】

解：因为椭圆方程为：-+y2=∖,

3

所以/=3,巨=1,，=/-62=2*=£=渔，故A错误，B正确;

a3

fx2.

—+y2=1

由，，得8χ2+24x+21=0,

(^÷1)2÷∕4

因为△=242—4x8x21=—96<0,

所以椭圆与圆无公共点，又圆心(τ,o)在椭圆内部,

所以圆在椭圆内部，故C正确；

设P(x,y乂-&4x≤K),

则归必=J(χ+ι)'+y2=+2x+2=J∣"|)+g，

当X=-T时，IPq取得最小值孝，则IPa的最小值为等-g，故D错误，

故选：BC

4.(全国•高二课前预习)点P、。分别在圆一+｝一石y=2和椭圆［→y2=ι上，则尸、Q两点间的最大

距离是()

A.5√2B.4√2C.3√2D.2√2

【答案】C

【分析】设点Q(χ,y),利用二次函数的基本性质可求得点Q到圆心的最大距离，结合圆的几何性质可求得

结果.

【详解】圆χ2+(y-√5)2=2的圆心为c(o,√i),半径为厂=&,

-4y~+y~—2,∖∕3y+3=^~3y~—2√3y+7

=卜y+y+8≤20,当且仅当y=-当时，等号成立，

所以，∣PβL=∣CβLχ+r=3√L

故选：C.

22

5.(2022•全国•高三专题练习)设椭圆Cg+马=l(α>%>0)的的焦点为片,0P是C上的动点，直线

a"b~

y=x-G经过椭圆的一个焦点，心的周长为4+2√5∙

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求pa+Pq的最小值和最大值.

【答案】(l)t+>2=i;⑵最小值为2,最大值为4.

4

【分析】(1)由给定条件求出半焦距C,再由APKB的周长列出方程再经计算即得；

(2)设出点P的坐标(X。,%),求出Pn+尸⑷关于X。的函数关系及X。的范围，求得函数最值即可.

【详解】(1)显然椭圆C的焦点在X轴上，直线y=x-石交X轴于点(6,0),于是得椭圆C的焦点玛(6,0)，

即半焦距C=6，

而的周长为IwI+∣P心∣+∣∕^∣=2α+2c,则有2α+2c=4+2后，解得α=2,h2=a2-c2=∖,

所以桶圆C的标准方程为J+>2=1；

4

⑵设椭圆C上的点P（X。,%）,于是有手+¥=1,即"_亨，-2≤⅞≤2,

令坐标原点为0,则。是线段F1F2的中点,于是得IPFi+PF2H2PO∖=2«+y：=2向+1—今=片+4,

因此，当Xo=O时，IPR+叫ImM=2,当/=-2或x0=2时，|尸外+PKLX=4,

所以IP吊+喝的最小值为2,最大值为4.

题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题

两种思路：法一：设椭圆参数方程，即设椭圆上一点为尸（“cos。/Sine）,用点到直线的距离公式

法二：利用直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式△=（）,求出切线，再求两直线间距离

【例1】（2022•黑龙江・齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆工+.=1上的点P到直线/：x+y+3=0的

43

距离的最小值为（）

ʌ3-√7r3+√7O3√2-√L4n3√2+√14

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

根据椭圆的形式，运用三角代换法，结合点到直线距离公式、辅助角公式进行求解即可.

【详解】

X2V2[^x=2COSe

由一+2-=l=4L设P（2cos6,石Sin。），

43[ʃ=√3sin0

设点P到直线/：x+N+3=0的距高d,

,xrl7.,∣2cos0+^sin^+3∣∣√7sin（6+夕）+才√7sin（0+伊）+3

*/TUA-rJCl-I—=产=尸>

√i77F√2√2

其中tane=∙^^（0e（O,]））,

所以当e+e=2版'-]（后∈z）时，d有最小值∖Σ=逑于叵，

故选：c

【例2】(2022.全国•高二专题练习)椭圆宁+匚1上的点到直线/：2x+6厂9=0的距离的最大值为.

【答案】2√7

【分析】设与直线2x+0y—9=0平行的直线2x+石)，+m=0与椭圆江+t=1相切，然后将直线方程代入

43

椭圆方程中，由A=O可求出用的值，再利用两平行线间的距离公式可求得结果

【详解】设与直线2x+石)-9=0平行的直线2x+Ky+W=O与椭圆?+号=1相切，

2x+Gy+m=0

由，X2y2得25%2+16〃优+4帆2-36=0，

I43

由A=O得，(16m)2-4×25(W-36)=0,解得加=±5,

设直线2x+√Jy+m=O与直线2x+合-9=O的距离为d,

当机=5时，直线为2x+Gy+5=O,Pl1Jd='——-=2Λ∕7,

√4÷3

当τπ=-5时，直线为2x+Gy-5=0,W∣Jd=',

√4+37

因为2√j>勺豆，

7

22

所以椭圆?+?=1上的点到直线2x+Qy-9=0的距离的最大值为2√L

故答案为：2后

【例3】(2021•浙江・慈溪市浒山中学高二阶段练习)设点Pa,)，J在椭圆£+反=1上，点Q(Λ2,%)在直线

82

x+2y-8=O上，则3∣Λ2-4|+6以一R的最小值为,

【答案】12

【分析】对椭圆进行三角换元，进而代入所求式子，再利用放缩法进行化简，最后通过辅助角公式结合三

角函数的性质求得答案.

X.=2夜cosa...,

【详解】由题意，设r,αe[0,2%),则3比一力+6良一引

y=√2sina

=3∣X2-2∖∣2cosa∣+6∣y2-∖∕2sinɑ∣=3(忖-2Λ∕2COSa∣+2∣y2->∕2sina∣j

=3^∣Λ2-2∖∕2cos6z∣+2∣γ2-V∑sin<z∣j≥3∣x2+2y2-2∖∕2(cosα÷sina)∣=38—4sin∣α+?)≥3∣8-4∣=12,当且

仅当α=M时取“=”

4

故答案为：12.

【题型专练】

1.（2022•甘肃・兰州一中高二期中（文））已知实数x,y满足方程Y+2丁-2=0,则x+），的最大值为.

【答案】√3

【分析】利用三角换元法，再用辅助角公式，结合三角函数的性质可求出答案.

【详解】因为f+2/-2=0,所以gf+y2=ι

令X=0cosay=sin6,

则x+y=V5cosg+sin，=GSin（6+°）,

所以χ+y的最大值为√L

故答案为：小

22

2.（2022•全国•高二专题练习）椭圆C：三+汇=1上的点P到直线Mx+3y+18=0的距离的最小值为.

94

［答案］18~6λ^

5

【分析】设点尸的坐标为（3COSa2sing）,利用点到直线的距离公式及辅助角公式计算可得.

【详解】解：设点P的坐标为（3CoSa2sin6）,其中。∈［0,2π）,

I12cos0+6sin^+18∣

L

则点P到直线/的距离d=J——,+3,——

=6∣2CoSRSine+3|臼瓜代分⑶+彩词,其中tan∕7=2,

当sin（。+/?）=—1时，等号成立.

所以d取得最小值史二述.

5

故答案为：18-6-

5

3.（2022.四川遂宁.高二期末（理））如图，设P是圆V+V=9上的动点，点力是尸在X轴上的射影，M为

2

P力上的一点，且IMq=IP口.

tjʃ

⑴当P在圆上运动时，求点M的轨迹C方程；

⑵求点M到直线/：X+2y-9=O距离的最大值.

【答案】⑴cq+t=ι,⑵竽

=X

【分析】(1)设点?(%,%),M(x,y),根据题意得到3,代入即可求解：

y(>=2y

(2)设平行于直线/且与C相切的直线4：x+2y-匕=0,联立方程组，根据4与C相切时，求得。=±5,得

到4的方程，结合两平行线间的距离公式，即可求解.

IX=Ao[χ0=x

(1)解：设点P(X0,%),M(x,y),由IMM=引刊中可得2，即3,又因为点P在圆/+>2=9

ɜ[>=/[y°=2y

上，代入可得£+*4=9,整理得上+$=1,即点M的轨迹方程。三+£=1.

9494

x+2y-b=0

(2)解：设平行于直线/且与C相切的直线4：x+2y-8=0,联立方程组Y,整理得

25V-⑹+4〃-36=0,当4与C相切时，则满足△=(16ft)2-4×25×(4⅛2-36)=0,解得b2=25.SP⅛=±5,

所以《的方程为x+2y+5=0或x+2y-5=0,所以点M至IJ直线Lx+2y-9=0距离的最大值

)9-5∣14√5

⅛ax=匚；=-∑--

√l2+225

/2

4.(2020.海南•高考真题)已知椭圆C：0+av=l(a>8>O)过点M(2,3),点A为其左顶点，且AM的斜

率为万，

(1)求C的方程;

(2)点N为椭圆上任意一点，求AAMN的面积的最大值.

【答案】(I)—+^-=1；(2)18.

1612

【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；

(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定

点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.

【详解】⑴由题意可知直线AM的方程为：y-3=∣(x-2),^x-2y=-4.

当y=0时，解得了=T,所以。=4,

椭圆U*∙+^=l(α>8>0)过点M2,3),可得α+*=1,

解得从=12.

22

所以C的方程：土+匕=1.

1612

(2)设与直线AM平行的直线方程为：x-2y=m,

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时AAMN的面积取得最

大值.

22

联立直线方程x-2y=∕n与椭圆方程二+匕=1,

1612

可得：3(∕n+2y)2+4y2=48,

化简可得：16y2+12my+3M?-48=0,

所以A=14Φ√-4xl6(3%2—48)=0,QPw⅛64,解得加=±8,

与AM距离比较远的直线方程：x-2y=8,

直线AM方程为：x-2y=-4,

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，

j8+4I2√5

利用平行线之间的距离公式可得:d=E=M

由两点之间距离公式可得IAM∣=√(2+4)2+32=3√5.

所以AAMN的面积的最大值：1×3√5×-^=18.

25

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意:

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三

角形的面积等问题.

题型五：椭圆有关向量积最值问题

【例1】(2022•黑龙江・佳木斯一中高二期中)己知P为椭圆τ7+=1上任意一点,EF为圆N:(X-1):+V=4

任意一条直径，则PEPF的取值范围为()

A.[8,12]B.[12,20]C.[12,32]D.[32,40]

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可得圆心N(LO)恰好是椭圆的右焦点，将PEPF化简得-4+∣M)j,由椭圆的性质可知

INPk[α-c,α+c1,从而可求出PE-PF的取值范围

【详解】

由二+上=1,得"=25,/=24,则α=5,〃=26,0=1,

圆NXx-l>+y2=4的圆心N(LO)恰好是桶圆的右焦点，圆的半径为2,

因为PEpF=(NE-NPNNF-NP)

=NE∙NF-NP<NE+NF)+NP1

=INEH帽COS乃—0+M1

=-4+网\

因为P为椭圆g+g=l上任意一点，N为椭圆的右焦点,

所以INPi∈[α-c,α+c],βp∣∕VP∣∈[4,6],

所以网2e[16,36],所以T+Wde[12,32],

所以PE∙PF的取值范围为[12,32],

故选：C

【例2】(2022•全国•高三专题练习)已知大,8是椭圆E:工+£=1的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则

42

FtPF2P的取值范围是

【答案】[0,2]

【分析】求出焦点坐标，设出P(m,")(-√2≤n≤√2),利用向量的数量积的坐标表示和椭圆方程表达出

2

FlPF2P=2-n,结合”的取值范围，得到耳PEP的取值范围.

【详解】由6=4,b2=2,解得：c2=a2-b2=2,所以C=&，不妨令耳(-夜,0),∕⅛(√2,θ),因为P

是椭圆E上任一设点，设P(m,")(-√2≤n≤>^).则J+[=l,即4=4-2/,其中

2222

F1P-F2P=^m+>∕2,nj^m->j2,nj=m-2+n=2-n,因为-√5≤"≤√J,所以0≤∕≤2,0≤2-n≤2,所以

EP∙gP的取值范围是[0,2].

故答案为：[0,2]

【例3】(2022•全国•高三专题练习)已知点P(x,y)满足J(X-I)。+歹+J(X++/=2&,点A,B关于

点。(0,-2)对称且IABl=2,则PA.刊?的最大值为()

A.10B.9C.8D.2

【答案】C

【分析】利用向量的加法运算求出PA,PB,根据向量数量积基底模式求出PA-PB=∣PD∣2-1,

再用两点间的距离公式及点P(χ,y)在椭圆[+/=1上即可求解.

【详解】由椭圆定义可得点P(x,y)在椭圆]+y2=i上，因为点4,8关于点0(0,-2)对称，所以RVPB=

(PD+叫(PD+DB)=(PD-；AB)(PD+；AB=PDLmABj=M”一1,而

2222

IPD∖=λ∕x+(y+2)=√2-2/+(y+2)=J-(y-2)+10,因为-∣≤y≤l,

所以当y=l时IPq取得最大值3,所以BVPB的最大值为32-1=8.

故选:C.

【题型专练】

1.（2022・山东•高三开学考试）在椭圆[→y2=ι上有两个动点P,Q,£（1,0）为定点，EP±EQ,则办.β>的

最小值为（）

1j2

A.-B.ɪC.7D.1

323

【答案】C

【分析】由题意得EPQP=Ep产-Eq=EP-EpEQ=EP,然后转化为椭圆上的点尸到点醺1,0）的距

离的问题处理，根据二次函数的最值可得所求.

→→T（T→ʌ->29T—2

【详解】解：由题意得EpQP=EPEP-EQJ=EP-EP-EQ=EP.

设椭圆上一点P（X,y）,则6a=（x-l,y）,

∙-∙EP=（X—if+y?=（x—I）?+[1—彳）=W（X-3）+~,又—2≤x≤2,

∙∙∙⅛x=∣4,Bl.还取得2最小值与.

故选：C.

2.（2022•全国•高三专题练习多选题）已知椭圆C:《+《=l的左、右焦点为J%,点M为椭圆上的点（M

32

不在X轴上），则下列选项中正确的是（）

A.椭圆C的长轴长为2百

B.椭圆C的离心率e=；

C.ΔMEK的周长为2√i+2

D.∙M鸟的取值范围为U,2）

【答案】ACD

【分析】根据椭圆的方程，求出“，b,C,判断A,B,C的正误，对于D,设出M（X,y）,表示出M片∙Λ√居

的解析式，求出其范围，判断正误即可.

【详解】辅圆C:W+£=1,.∙./=3,从=2,¢2=1,

32

ci—^/ɜ,b—c=l,

・二椭圆的长轴长为2α=26，故A正确，

椭圆的离心率e=£=且，故B错误，

a3

△MK心的周长为：IM6+IM周+∣6M∣=2α+2c=2√5+2,故C正确，

设M(X,y)(y≠O),则<x<后,-√Σ<y<√Σ,y≠0,且片(—1,0),E(1,0),

故M=(-∖-x,-y∖MF1=(l-x,-y),

又工+反=1,则丁—3=—1V,

322

222

i^MFt-MF2=x-∖+y=-^y+2,

0<γW,.∙.-l-ɪʃ2<0,

故ME的取值范围是U,2),故D正确，

故选：ACD.

3.(2022.全国•高三专题练习)已知耳鸟是椭圆!+耳=1的两个焦点，AB分别是该椭圆的左顶点和上顶

63

点，点尸在线段AB上，则∙P鸟的最小值为.

【答案】-1

【分析】由题可设P(X,y),则y=孝x+百,-"≤x≤0,然后利用数量积坐标表示及二次函数的性质即得.

【详解】由题可得网-6,0),乙(6,0),A(-√6,0),B(0,√3),

设P(X,)，)，因为点P在线段48匕

所以，>,=-^-X+Λ∕3,-Λ∕6≤x≤0

Z厂、2

；・尸耳∙PF2=(X+G,y)∙(x—=12+,2_3=3彳2+6工=3χ+~^--1,

2213，

.∙.当X=-当时，/Y；.PE的最小值为T.

故答案为：-1.

4.(2015•山西大同市∙高二期末(理))设F、E分别是椭圆二-I-=1的左、右焦点，若Q是该椭圆上

*4'

的一个动点，则应离谈^的最大值和最小值分别为

A.1与一2B.2与一2C.1与一1D.2与一1

【答案】A

【详解】试题分析:设Q(x,y),由题得耳(一百,0)6(8,0),所以QM=(-yβ-X,-y),QF2=(yβ-x,-y),

22

QFl-QF2^x-3+y，(-2≤x≤2)因为Q(x,y)在椭圆上，所以上_「=1所以

2

2V.3χ2

QFiQF2=x-3+∖~^=Y-2(-2≤X≤2),所以当X=O有最小值一2：x=2或一2时，有最大值1

题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值

此种类型题目，一般要利用椭圆定义，转化为三点共线问题，利用三角形两边之和大于第三边，或者两边

之差小于第三边解决

【例1】(2022•辽宁•高二期中)动点M分别与两定点A(-5,0),8(5,0)连线的斜率的乘积为-蒋，设点M的

轨迹为曲线C,已知N(2,√5),F(-3,0),则IMFI+1"Nl的最小值为()

A.4B.8C.2y∣3D.12

【答案】B

【解析】

【分析】

求出轨迹方程根据椭圆的定义，可得IMFI+∣M6∣=10,当g经过点N时，I同+∣MV∣最短.

2516

【详解】

设动点M的坐标为M(x,>,),则一