全国初中生数学竞赛真题试卷及详细答案

全国初中生数学竞赛真题试卷及详细答案

一、填空题（共7小题，每空2分，满分20分）

1.在平面直角坐标系中，点尸［机（m+1）,m-］］（加为实数）不可能在第象限.

2.某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客

车,可以少租一辆，且余30个座位.则该校去参加春游的人数为；若己知45座

客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车

其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一辆客车要节省，按这种方案需

要租金____元.

3.已知m-w=-5,m2+n2—13,那么“Aw/：.

4.如图，以A8为直径画一个大半圆，BC^2AC,分别以AC,为直径在大半圆内部画

两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于.

5.加油站A和商店8在马路的同一侧（如图），A到的距离大于8到的距离

AB=7米，一个行人尸在马路上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最

大时，这个差等于米.

MPN

6.如图，有_____个正方形，有个三角形.

7.如图，尸是平行四边形ABCZ）内一点，且S△如B=5,S△如D=2,则阴影部分的面积为

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D

二、选择题（共1小题，每小题4分，满分2分）

8.（2分）如果a,b,c均为正数，且a（6+c）=152,b（c+a）=162,c（a+6）=170那

么abc的值是（）

A.672B.688C.720D.750

三、解答题（共9小题，满分100分）

9.（8分）已知a,b,c都是整数，当代数式7a+26+3c的值能被13整除时，那么代数式5a+lb

-22c的值是否一定能被13整除，为什么？

10.（8分）如图所示，在四边形A8CD中，AM=MN=ND,BE=EF=FC,四边形

C

MEFN,N/CD的面积分别记为Si,S2和S3,求——-?

S1+S3

（提示：连接AE、EN、NC和AC）

11.（9分）已知〃是正整数，且2什1与3〃+1都是完全平方数.是否存在%使得5见+3是

质数？如果存在，请求出所有〃的值；如果不存在，请说明理由.

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12.（10分）某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3成为

一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发现他家中的电话

号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码33倍.问这家原来的电话号码是多少？

13.（10分）如图，一个9义9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格

其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的

正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数

字从左向右写成一个9位数.请写出这个9位数，简单说明理由.

14.（10分）平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点

可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角

形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共

边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）

15.（15分）壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳

和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”刘

芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”.已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄

的总和是105岁.请回答：是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是岁

岁,岁？

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11

16.（15分）请回答：-能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？一能否表示为3个互异的

88

完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由.

17.（15分）甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发沿

相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度

211

是甲速度的一，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了一，乙跑第二圈时速度提高了二已知

335

甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问：这条椭圆形跑道长多少米？

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参考答案与试题解析

一、填空题(共7小题，每空2分，满分20分)

1.在平面直角坐标系中，点P[机(m+1),m-1](机为实数)不可能在第二象限.

(?71V0

或)，所以机>0或能<7,因此

m+1>0Im+1<0

机-1>-1或-1<-2,即P[m(加+1),加-1]可能经过第一或四象限.

⑵当机(〃什1)<0时，有或产〈°,所以因此

lm+1<01m+1>0

1<-1,即P[mm-1]经过第三象限.

综合地，P[m(m+1),相-1]不经过第二象限.

2.某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客

车，可以少租一辆，且余30个座位.则该校去参加春游的人数为270；若已知45座

客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车

其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一辆客车要节省，按这种方案需

要租金1400元.

aa+30

解：设该校去参加春游的人数为。人，则有:=-----+1,解的：。=270

4560

设租用45座客车x辆，则租用60座客车(x+1)辆，由题意

若单独租45座客车需要270・45=6辆，租金250X6=1500元，若单独租60座客车需

要(270+30)+60=5辆，租金300X5=1500元，则有：

(250x+300(x+l)<1500；解地:2<#<24

[45%+60(%+1)>27011

:尤为正整数；.x=2

即租45座客车2辆，60座客车3辆，此时租金为：250X2+300X3=1400(元).

故答案为270,1400.

3.已知祖-“=-5,〃，+〃2=]3,那么〃z4+w4=97.

解："."m-n=-5,m2+n2=13

(m-H)2=m2+n2-2mn

mn=-6

又(m2+n2)2=m4+n4+2m2n2

故机4+〃4=]32_2X36=97.

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故答案为：97.

4.如图，以为直径画一个大半圆，BC=2AC,分别以AC,CB为直径在大半圆内部画

4

两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于f

解：设AC=2x

U：BC=2AC

.*.BC=4x,AB=6x

•121212

S阴影部分=27r(3x)—(2x)—2兀^

=2m；2

阴影部分的面积与大半圆面积的比为：

2TVC2：一兀(3x)2=4：9

2

4

故答案为：

5.加油站A和商店B在马路的同一侧(如图)，A到的距离大于2到的距离

AB=7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当尸到A的距离与P到8的距离之差最

大时，这个差等于7米.

解：当A、B、尸三点不在同一直线上时

此时三点构成三角形.

两边AP与BP的差小于第三边AB.

.♦.A、B、P在同一直线上

：.P到A的距离与P到B的距离之差最大

这个差就是的长

故答案为：7.

6.如图，有95个正方形,有155个三角形.

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X4+3X3+2X2+1X1=91.

另外还有4个正方形.

所以正方形的个数为91+4=95；

(2)①直角边长为1的三角形的个数为6X6X2=72个.

②直角边长为2的三角形8+6+2+8+6=30个.

③直角边长为3的直角三角形4+2+4=10个

④直角边长为4的直角三角形有2个.

⑤斜边长为2的三角形12+3+1+4=20个.

⑥斜边长为4的三角形1+2+1=4个.

(7)1—6列依次还有3+3+3+2+3+3=17个.

所以三角形的个数为72+30+10+2+20+4+17=155个.

故答案为：95；155.

7.如图,P是平行四边形ABCD内一点，且S△朋B=5,SAT?W=2,则阴影部分的面积为

解：S^PAB+S^PCD=-^SSABCD—S/XACD

SAACD~S/\PCD=S^FAB

贝-S^PCD-S/^PAD

=S^PAB~S/\B\D

=5-2

=3.

故答案为：3.

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二、选择题（共1小题，每小题4分，满分2分）

8.（2分）如果a,b,c均为正数，且。（6+c）=152,b（c+a）=162,c（a+6）=170那

么abc的值是（）

A.672B.688C.720D.750

解：Vtz（Z?+c）=152,b（c+a）=162,c（i+Z?）=170

/.ab+ac=152①

bc+ba=162（2）

ca+cb=170③

（D+（2）+（5）,并化简,得：tz/?+Z?c+cd!—242（4）

④-①地：be=90

（4）-②地：C4=8O

④-③地：ab=72

「・8c•co•〃/?=90X80X72

即（abc）2=72。2

•二〃，b,c均为正数

・・〃Z?c=720.

故选：C.

三、解答题（共9小题，满分100分）

9.（8分）已知a,b,c都是整数，当代数式la+2b+3c的值能被13整除时，那么代数式5a+76

-22c的值是否一定能被13整除，为什么？

解：设x,y,z,r是整数

并且假设5a+76-22c=x(7a+26+3c)+13(ya+zb+tc)(1)

比较上式a,b,c的系数

应当有7x+13y=52x+13z=7(2)

3x+13f=-22,取x=-3

可以得到y=2,z—1,t--1

贝ij有13(2a+b-c)-3(7a+26+3c)=5a+7b-22c(3)

既然3(7a+2b+3c)和13(2a+b-c)都能被13整除

5a+7b-22c就能被13整除.

10.（8分）如图所示，在四边形43a）中，AM=MN=ND,BE=EF=FC,四边形ABEM

第8页共14页

s

MEFN,N/C。的面积分别记为Si,S2和S3,求——?=?

S1+S3

（提示：连接AE、EN、NC和AC）

解：如图〃所示：连接AE、EN和NC,设四边形AECN的面积为S

•；AM=MN=ND,BE=EF=FC

S^AEM=S^MEN,S^CNF=SAEFN

上面两个式子相加的SAAEM+SACNF=S2

并且四边形AECN的面积S=2S2,即：S2=15,SMEM+S^CNF=

连接AC,如图b所示：

•：AM=MN=ND,BE=EF=FC

：.CE=2BE,NA=2DN

.11

••Sj^ABE—2s△AEC,S丛CDN=2s△C7VA

上面两个式子相加的SAABE+SRDN=Ix四边形AECN的面积=

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H.(9分)已知”是正整数，且2w+l与3”+1都是完全平方数.是否存在〃，使得5〃+3是

质数？如果存在，请求出所有w的值；如果不存在，请说明理由.

解：如果2〃+]=必,3w+l=w2

则5〃+3=4(2/1+1)-(3/1+1)—4k1-m2=(2k+m)(2k-m).

因为5w+3>(3n+l)+2=m2+2>2m+l

所以M-mW1(否贝lj5n+3=2k+m=2m+l).

而5w+3=C2k+m)(2k-m)是合数.

12.(10分)某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3成为

一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发现他家中的电话

号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码33倍.问这家原来的电话号码是多少？

解：设原电话号码为仍加小则升位后为2a3bc的令bcdef=x

由题意的33a尤=2°3无

即33(100000«+x)=20300000+1OOOOOOA+X

化简得32x=20300000-2300000。(3aW9,0/x<100000的整数)

故0Wx=3125(203-23a)<100000

解得171<23aW203

所以a=8.

于是x=3125(203-23X8)=59375.

故所求的电话号码为859375.

13.(10分)如图，一个9义9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格

其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的

正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数

字从左向右写成一个9位数.请写出这个9位数，简单说明理由.

第10页共14页

5874

627

13498

49

31756

917

6395

7369

4182

解：填数的方法是排除法，用（m,n）表示位于第m行和第"列的方格.

第七行、第八行和第3列有9,所以，原题图6左下角的“小九宫”格中的9应当填在

（9,2）格子中；

第1歹U、第2列和第七行有数字5,所以，在图右下角的“小九宫”格中的数字5只能

填在（9,3）中；

第七行、第八行有数字6,图6中下部的“小九宫”格的数字6应当填在（9,6）；

此时，在第九行尚缺数字7和3,由于第9列有数字7

所以，7应当填在（9,8）；3自然就填在（9,9）了

填法见图.

九位数是：495186273.

3S74

627

1349S

49

31756

917

6393

7369

495186273

14.（10分）平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可

以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形

没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边

最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）

解：（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点

有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点

有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点

有4种取法.因为任何3个点不在同一条直线上

所以，这样选出的三个点可以作出1个三角形.

第11页共14页

但是，如果选出的三个点相同的话，则作出的三角形相同，

三个点相同的取法有3X2X1=6种，

所以，以这6个点为顶点可以构造文四=20个不同的三角形；

3x2x1f

（2）每个三角形有3个顶点

所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形；

（3）用英文大写字母A、B、C、D、E、F记这6个点

假设可以选出两两没有公共边的5个三角形

它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母.

这里不同的英文大写字母仅有6形两两没有公共边

即除去公共顶点A之外，其余6个顶点互不相同

即表示这6个顶点的字母不相同.

但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母.

所以不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边.

又显然△ABC,△ADE,△8。尸和这4个三角形两两没有公共边.

所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边.

15.（15分）壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳

和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”

刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”.已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人

年龄的总和是105岁.请回答：王雪是路路的妈妈?壮壮、菲菲和路路的年龄各是

5岁,3岁,4岁?

解：设刘芳的年龄为尤岁.

①刘芳和路路的年龄和是36岁

是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数

而路路和妈妈的年龄的差是奇数

因此路路的妈妈不是刘芳.

注意到菲菲比刘芳小29岁

菲菲的妈妈不是刘芳

所以，壮壮的妈妈是刘芳.

②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为（2x-27）

第12页共14页

路路(36-x)岁，他的妈妈应当是(36-X+27)岁，和为(99-2x)

菲菲(x-29)岁，她的妈妈应当是(x-29+27)岁,和为(2%-31)

由于6个人共105岁，所以，(2%-27)+(99-2x)+(2x-31)=105.

③解出工=32,菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；

路路和刘芳的年龄的和是36,路路4岁；

路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁.

答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁.

故填：王雪，5,3,4.

11

16.(15分)请回答：:能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？;能否表示为3个互异的

88

完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由.

111

解：(1)由于一+-+-=1,

236

1111111

故有一=-X(―+—+—)=——+——+——.

8836，162448

所以，:能表示为3个互异的正整数的倒数的和(表示法不唯一).

(2)不妨设

现在的问题就是寻找整数〃，b,c

、“1111

病足二=—+—+

8a2b2c2

由则有，

,,11113

从而二=f

8於bzczaz

11

所以42V24.又有3>温

所以。2>8,故〃2=9或16.

11111

若〃2=9,则有77+W=\一1二二7

匕2c28972

一11-2111

由于并且77>77+=7Z

72b2b2b2c272

所以房>72,72<Z?2<144.

2

故户=81,100或121.将房=81、io。和121分别代入,2=没有一个是完全平

b-72

方数

1111

说明当〃2=9时，；；=w+7?+:■无解.

8a2b2c2

第13页共14页

,11111

右。~=16,贝U77+f--=­•

b2c281616

类