2023届湖南省长沙市某中学高三年级上册第三次月考数学试题

长沙市某中学2023届高三上学期第三次月考

数学

得分：______

本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

I.记集合M={x*>4},N={Rx2_4x40},则McN=()

A.1x|2<x<41B.|X|X>0BKX<-21C.1X|0<X<21D.|X|-2<X<41

2

★2.已知,g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且/(x)—g(x)=/+x+l,则/(l)+g(l)=

()

A.-3B.-IC.ID.3

★3.已知向量a=(—1,2),点A(—2,1),若AB〃。且|AQ=3JL。为坐标原点，则。8的坐标为()

A.(1,-5)B.(-5,7)C.(1,—5)或(5,—7)D.(1,一5)或(一5,7)

4.己知平面a,直线/,m,若加ua,则“/〃机”是“/〃a”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

★5.如图，边长为2的正方形ABCO中，点E,尸分别是边AB,8C的中点，将AEBF,AFCD

分别沿。E,EF,尸。折起，使4,B,C三点重合于点A,若四面体A'EFD的四个顶点在同一个球面

上，则该球的半径为()

娓「而「V5

A.>/2B.---C.---U.

222

6.设。=$m7,贝！J()

a2rt2a

A.cr<2<log2|a|B.log2|a|<2a<crC.a<log2|a|<2D.log2\c^<a<2

7.将函数〃力=/18$3+0)(4>0,0>0,-万<夕<0)的图象上所有点向右平移看个单位长度，得到如

图所示的函数y=g(x)的图象，则/(0)+/(0)=()

A.OB.IC.2D.-1

8.已知：A(—2,0),8(2,0),C(0,2),£(-1,0),F(l,0),一束光线从尸点出发射到8c上的。点经BC

反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点).则ED斜率的取值范围是()

A.(—oo,—2)B.(0,+8)C.(l,+oo)D.(4,+oo)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

★9.已知a,h,c为非零实数，H.a-b>0,则下列结论正确的有()

,,11

A.q+c2/7+cB.-a4—bC.ci~b~D.————

ah2ba2

/

★10.设口>(),函数/(x)=-6sins+cos0x在区间上有零点，则①的值可以是()

15

Bc12

6-6-C.-D.一

33

如三径为1的圆形纸板，在6的左下端剪去一个半径为;的半圆后得到图形鸟，然后依次

S,

剪去一个更小的半圆(其直径为前一个剪掉半圆的半径)得图形A,巴，…，P”,…，记纸板?的周长为人,

面积为S“，则下列说法正确的是()

1

]](1(1、〃+1

r7-B

A.L]=­71+2S3=—7rC.L=712——+—D.S=S——2n—+1

4332(2)(2)2

12.已知c>d,----=1.01,(l-c)ec=(l-<Z)erf=0.99,则()

。+1b+\

A.a+b>0B.c+d>0c.a+d>0D.b+c>0

选择题答题卡

题号123456789101112得分

答案

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

★13.已知i是虚数单位，如图，在复平面内，点A对应的复数为z「若三=i,则z,=.

zi

★14.已知等边三角形ABC的边长为6,点P满足3P4+2尸B+PC=0,则1PAb.

15.已知数列｛叫的前〃项和S,,对任意〃eN*,S“=(-1)"q+£+〃一3且(4用一〃)(%—〃)<()恒成

立，则实数〃的取值范围是.

16.如图，多面体A3CDER中，底面ABC。为正方形，O£J_平面ABC。，CF//DE,且A5=OE=2,

CF=\,G为棱BC的中点，”为棱OE上的动点，有下列结论：

①当”为。E的中点时，G”〃平面A5E；

②存在点H,使得G〃_LAE；

③三棱锥B-GHF的体积为定值；

④三棱锥E-BCF的外接球的表面积为14万.

其中正确的结论序号为.(填写所有正确结论的序号)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

★17.(10分)已知等差数列｛为｝前三项的和为-9,前三项的积为-15.

(1)求等差数列｛为｝的通项公式；

(2)若｛a,,｝为递增数列，求数列｛|4|｝的前〃项和S,.

18.(12分)在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,其外接圆的半径为百，且满足

4>/3sinBcosC=2a-c.

(1)求角8；

(2)若AC边上的中线长为之，求△ABC的面积.

2

19.(12分)2022年9月28日晚，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以3：0的比分酣畅淋漓

地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？

其规则是：每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束).比赛排名采用积分制，

积分规则如下：比赛中，以3:0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；以3：2取胜的球队积2分，负队积1

2

分.己知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为一.

3

(1)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；

(2)如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率.

20.(12分)如图，在几何体A3CDE中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC,

平面ACO,平面ABC_L平面BCE,OE〃平面ABC,ADYDE.

(1)证明：O£J_平面ACO；

(2)若AC=2C0=2,设M为棱BE的中点，求当几何体ABCDE的体积取最大值时A"与CD所成角

的正切值.

22

21.(12分)如图所示，已知椭圆C:工+匕=1与直线/:2+?=1.点P在直线/上，由点P引椭圆。的

6363

两条切线24,PB,点、A,B为切点,。是坐标原点.

(1)若点P为直线/与y轴的交点，求△PA3的面积S；

(2)若ODJ.AB,。为垂足，求证：存在定点。，使得为定值.

22.(12分)已知函数/(x)=xe'”.一以(〃eN*且〃22)的图象与x轴交于P,。两点，且点P在点Q

的左侧.

(1)求点P处的切线方程y=g(x),并证明：xNO时，/(x)Ng(x).

（2）若关于x的方程〃x）=r1为实数）有两个正实根玉，4，证明：、-+也

n\nnn

长沙市某中学2023届高三上学期第三次月考

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

题号12345678

答案ACDDBDCD

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

题号9101112

答案ABDBCDABDAD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.-2-i

14.不

16.①③④

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】（1）设公差为。，则依题意得q=—3,则q=—3—d,4=—3+d,

3—d)(—3)(—3+d)=—15,得储=4,J=±2.=—2〃+l或=2〃-7.

7一2〃,n<3,

（2）由题意得a“=2〃—7,所以同=<

2n-7,n>4,

5+(7-2zz)

①〃43时，S〃=—(q+%++〃〃)n=6n-n2

2

②〃24时，Sfl——q—a?一生+g++=—2(q+丹+/)+(4+a?++)=18—6n+.

-n2+6n,n<3,

综上,数列｛|。“|｝的前几项和=*

n2-6H+18,77>4.

18.【解析】(1)由正弦定理。=2HsinA,b=2RsinB,c=2RsinC得:

4GsinBcosC=473sinA-25/3sinC,

即2Gsin5cosC=2esin(8+C)—GsinC,即2GsinCcos8=GsinC,因为sinCwO,

化简得cos8=；,•.•Be（0,乃），J6=60°.

1/\，21/«2，2

（2）设AC边上的中线为BD,则B£）=2（BA+8C）,所以8。一=7（区4~+BC+2BA-BC

=；（网，+卜。『+2网也。际8）,即有胃=；（“2+c2+ac）,①

又人=2RsinB=3,由余弦定理/=a2+/-2accos8得9="+c?-〃c,②

由①②得%=8,所以50品=」"5皿8=26.

19.【解析】（1）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

、2

I-P（x=i）=c*q2.]_I8

3737381

P（X=3）=C；.仔

16i_2+12丫16

8127

所以X的分布列为

X0123

81616

p

9818127

所以数学期望E（X）=0x'+lx§+2x竺+3x史184

\）9818127

（2）记“甲、乙两队比赛两场后，两队积分相等”为事件A,

设第i场甲、乙两队积分分别为X,、工，则X,=3-工，i=l,2,

因两队积分相等，所以X1+X2=Y+%,即X1+X2=（3—Xj+（3—X2），则X+X2=3,

所以P（A）=P（Xj=0）P（X2=3）+P（X,=l）P（X2=2）+P（X,=2）P（X2=1）

+产出=3加"。）小导於舁崇小泉蓑器

20.【解析】（1）过点。作OOLAC交AC与点。,

•..平面ABC_L平面ACD,且两平面的交线为AC,.••。。,平面ABC,

又•:〃平面ABC,：.DOIDE,

又•••AD_L£>£且ADcZX）=。，；.OE_L平面ACO.

（2）过前E作EN上BC交BC与点N,连接ON,

•••平面ABC_L平面BCE,且两平面的交线为8C,

...EN,平面ABC,又•••£>£〃平面ABC,.•.£）,E到平面ABC的距离相等，

:.DO〃EN&DO=EN,ON_L平面ACO,，CO=ON,DE=ON,

**•^AtH-CLDflEL=LL.—/AiBZ>CC+%th—/AiCCtDz=-3ENZXA,Z>SC.AS3CH—DEZXr-iSCt./ACD3=-EN3+—DE,DO3——D'O（1+D,E）,

又DO?+DE?=DO?+CO?=CD?=1,令£>E=x（0WxW1）,

则匕83=/（x）=；。。（1+DE）=l"+x），r（x）=-^±^（1—2x）.

333V1-X

所以/（x）在（0,；）上单调递增，在上单调递减，

即匕8CDEW/（；）=乎，当且仅当OE=g时取得最大值.

如图所示，以点。为原点建立空间直角坐标系。-孙Z,

则A（—3,0,01，fifo,-,—\cf-,O,o\£>fo,O,—

由z13G）...（53百］二八（1y/3}

所以M—,—,AM=—,CD=—,0n,—.

\444/\444/\22/

UM-C£>|^37

设AM与CD所成角为a,则cosa=^一■^4=—,

|AM|.|CD|37

则tana=6,即当几何体ABCDE体积最大时，A"与CO所成角的正切值为6.

21.【解析】（1）由题意知P（0,3）,过点P与椭圆相切的直线斜率存在，设切线方程为y="+3,

联立‘可得（2左2+DY+12依+12=0,（*）

x2+2y2=6,、）

由A=144k2—48（2公+1）=48（攵2—1）=0,可得左=±1,

即切线方程为y=±x+3,所以，PAA.PB,

将％=1代入方程（*）可得f+4x+4=0,可得尤=—2,此时y=l,

不妨设点A（—2,1）,同理可得点5（2,1）,|PA|=|P3|=j4+（l_3『=2垃,

因此，S=g|H4Hp4=4.

（2）证明：先证明出椭圆,+q=1在其上一点M（Xo，%）处的切线方程为岖+皿=1,

22

因为点M（为,为）在椭圆誉+?=1上，则X；+2邸=6,

V3V

6+3=1

联立]2消去y可得(*°+2%)x

=0，

x2y2,^3633

—+—=1,

63

整理得一2/工+焉=0,即（%一%）2=0,解得X=%,

因此，椭圆三+匕=1在其上一点M（毛,为）处的切线方程为至+纨=1.

6363

设4（x「y）,B（%2，%），则切线B4的方程为5±+生=1，切线依的方程为显+奥=1.

3636

侬+处=]

63一’

设P（W7,〃），则«

些+蟹=]

63

所以，点A,8的坐标满足方程如+2〃y一6=0,所以，直线AB的方程为znx+2"y-6=（）,

因为点在直线；+1=1上，则加+2〃=6,则2"=6-加，

所以，直线AB的方程可表示为〃犹+（6—加）丁一6=0,即w（x—y）+6（y—1）=0,

x—y=0,fx=1,/、

由47可得故直线A3过定点T。/，

J一1=0,[y=L

因为ODLA8,所以，点。在以OT为直径的圆上，

当点。为线段OT的中点时，|。0=3。刈=变，此时点。的坐标为0,口.

22122j

故存在点使得|也为定值孝.

22.【解析】（1）令/（x）=0,得把小一加=0.所以x=0或e"=".即x=0或彳=皿.

因为点P在点Q的左侧，所以P（0,0）,Q[¥，0）

因为f(x)=(nx+l)eu,所以/'(0)=I—”，

得点P处的切线方程为y=(l-〃)x,即g(x)=(l—〃)x.

当x20时，/(%)-g(x)=xe,lx-nx—{\—n)x=—1),

因为龙之0,〃eN*且〃22,所以加2(),所以e"'Nl,即e"'—120.

所以x(e"‘—1)之0,所以/(x)Ng(x).

(2)不妨设玉4々，且只考虑尤2()的情形.

因为/'(%)=(依+1)6'"—〃，所以=+=+=

所以点。处的切线方程为y==(〃ln〃)x-ln?n,记〃(x)=(〃ln〃)x-ln2〃，

令F(x)=/(x)—A(x)=xe/,r—/ix—|^(nlnn)x—In2〃]=xe,K—(7t+/iln/i)x4-ln2n,x>0,

设6(1)二9(司=(依+1卜心一(〃+〃111〃)，则6'(耳=〃(加+2)暧>0.所以F(x)单调递增.

又因为尸(皿)=(〃皿+1〉M"_(〃+〃]n)=O,

所以，当xe(0,乎)时，F(x)<0；当时，F(x)>0