河南省郑州市等2地2023届高三年级下册3月冲刺一理科数学试题真题卷（含答案与解析）

河南省郑州市等2地2023届高三下学期3月冲刺（一）

数学（理科）

本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

={0,1,2,3,4},8={寺

Al,xeZ*

1.已知集合，则AB=()

A{。，2}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{124}

2

2.已知复数Z满足z-i二一百’则Z在复平面内所对应点位于（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1贝cos2(x一聿)+cos2x+弓）的值为（）

3.已知cos2x

一5’

9BT1317

A.记c.D.

62024

x-y-2<0

x-2y+2>0

4.己知变量X,y满足，、八,则z=2x—8y的最大值是()

x>0

y>0

A.4B.6C.8D.12

5.一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（）

6.某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取

了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形

最高点的纵坐标为x,则该型电动汽车月平均用电量在［200,280）的户主人数为（）

?频率

msg

0.0125----------------——

0.0110-------------1——

0.0095--------——

x---------------------------------

0.0050------------------------------

O25

0..0O20

0..0

O'160180200220240260280300月平均用

电量/度

A.98B.103C.108D.112

7.某班学生的一次的数学考试成绩J（满分：100分）服从正态分布：专〜N（85,b2）,且

P（83<^<87）=0.3,P（78<^<83）=0.12,P（J<78）=（）

A.0.14B.0.18C.0.23D.0.26

8.已知函数/（力=。（3-尤）+鼻•的图象过点（0,1）与（34），则函数在区间［1,4］上的最大值为

（）

37「58

A.-B.—C.-D.一

2345

o2

9.已知双曲线C:4-马=1（〃>0,"0）的左右焦点分别为K，F）,P为C右半支上一点，且

a~h~

COS/6PM=；,P/PE=2/,则双曲线。的离心率为（）

A.2B.4C.6D.9

,、11116

10.在等比数列｛〃〃｝中，公比4=2,且一+-+—+—,则。9+4O+Q11+。12=（）

。9。|0〃［［62。10

A.3B.12C.18D.24

11.定义在R上的函数/（x）满足，①对于互不相等的任意与e（O,2］都有

/、

f五=/(%1)-/(%,),且当X>1时,/(x)>0,②/(x+2)=-/(x)对任意xeR恒成立，(3)

1%J

丁=/（》+2）的图象关于直线》=一2对称，则/（一10）、/（一|）、”3）的大小关系为（）

B./(-|1</(3)</(-10)

C./.(-10)</(3)</^-|jD./(3)</(-10)</^-|j

12.已知函数与g(x)定义域都为R,满足〃x)=11土芈"，且有

g'(x)+xg'(x)-xg(x)<0,g⑴=2e,则不等式/(x)<4的解集为()

A.(1,4)B.(0,2)C.(F,2)D.(l,+oo)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若“mxeR,/-6依+3。＜0”为假命题，则实数“的取值范围为.

14.(x+2)4(x—Ip的展开式中x2的系数为.

15.如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为4c边上的一个动点，长度为6的线段E尸的中点

为点B,则PEPF的取值范围是.

16.直线/：x+y-1=()与椭圆C：三+二=1交于A3两点，长轴的右顶点为点P,则A5P的面积为

42

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.已知的角A,8,C对边分别为满足6acosC+asinC=，

3

b+c—V2a=0-

(1)求A；

(2)求_ABC外接圆的半径A.

is.某农科所统计了单位面积某种化肥实施量x(kg)和玉米相应产量y(kg)的相关数据，制作了数据对

照表：

x(kg)1620242936

Y(kg)340350362404454

若在合理施肥范围内》与y具有线性相关关系,

（1）求Y关于x线性回归方程3=忘+」；

（2）请利用线性回归方程预测x=40kg时的玉米产量.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：6=j------:—，a^y-bx.

—

/=1

19.已知正三棱柱ABC-45G中，侧棱长为正,底面边长为2,。为AB的中点.

'C

（1）证明：

（2）求二面角。一A。-A的大小；

（3）求直线C4与平面所成角正弦值.

20.已知斜率存在的直线/过点尸（1,0）且与抛物线C：y2=2px（p>0）交于两点.

（1）若直线/的斜率为1,〃为线段A3的中点，M的纵坐标为2,求抛物线C的方程；

（2）若点。也在x轴上，且不同于点尸，直线AQ,BQ斜率满足七。+⑥0=。，求点。的坐标.

21.已知函数=hrv—：工2+x（a〉0）.

（1）若a=l,求函数/（x）在点（1,/。））处的切线方程；

（2）若函数/（行=12一亡犬+13>0）在其定义域上有唯一零点，求实数。的值.

［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

22.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为。=4cos6,直线/的

v——I4-/7）

参数方程为，1.5（，为参数）.

y=l+tsm（p.

⑴若.力求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）过点尸（0,-3）向直线/作垂线，垂足为Q,说明点Q的轨迹为何种曲线.

［选修4-5：不等式选讲］（10分）

23.已知函数/（力=卜+3］.

(1)解不等式〃x)+k-3|>8；

(2)若/(可〈机(,一3|+卜+9|)在(F,+8)上恒成立，求实数m的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

A={0,l,2,3,4},B=-xlW-]l,xeZ>

1,已知集合[9,则A8=()

A.{0,2}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{1,2,4}

【答案】C

【解析】

【分析】由指数函数的性质求解集合B,结合交集的概念运算可得出结果.

【详解】B=<<1,XGZ,={x|04xW2,xeZ}={0』,2},;.AC8={0,1,2}.

故选：C

2

2.已知复数z满足z-i=----,则z在复平面内所对应的点位于()

14-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】化简复数z,结合复数的坐标表示，即可求解

2

【详解】由题意，复数z满足z—i=----，

1+1

可得z-.+1-(.、/]..+1-(11)+1l+2i,

1+1(l+i)(l-i)

所以复数Z在复平面内对应的点(-1,2)位于第二象限.

故选：B.

3.已知cos2x=—,则COS?(工一二)+COS?(Xd--1

的值为()

316j16j

1317

A.2BTC.—D.—

1662024

【答案】B

【解析】

【分析】利用降幕公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.

、1+cos2x——1+cos2x+一

详解】兀L,^I__11+I__1

cosX——+COSX+

16j16)22

1cG.c.1

1H—cos2xH-----sin2x1H—cos2x--sin2x

22,22

22

।।i，n5

=Id■—cos2x=1+—x—=—.

2213)6

故选：B.

x-y-2<0

x-2y+2>0

4.已知变量羽y满足1/,则z=2x-8y的最大值是()

x>0

y>0

A.4B.6C.8D.12

【答案】A

【解析】

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值作答.

x-y-2<0

x-2v+2>l3

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影四边形。钻C(含边界)，

y>0

A(2,0),8(6,4),C(0,l),

1z17

目标函数z=2x_8y,即y=—x――表月(斜率为a,纵截距为的平行直线系，

48

画直线平移直线4)到直线4,当直线4过点A(2,o)时，直线4的纵截距最小，Z最大，即

Zmax=2x2=4,

所以z=2x-8y的最大值为4.

故选：A

5.一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（）

【答案】D

【解析】

【分析】结合子集的概念与性质及古典概型的概率公式求解即可.

【详解】4个元素的集合所有子集共24=16个，设此集合为{a,b,c,d},

事件4“所取子集中含有3个元素”，则事件A的基本事件个数为4个，即{a,0,c},{a,b,d},

{a,c,d},［b,c,d］,

41

所以。（小记二

故选：D.

6.某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取

了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形

最高点的纵坐标为X,则该型电动汽车月平均用电量在［200,280）的户主人数为（)

频率

0.0125

0.0110

0.0095

x

0.0050

0"160180200220240260280300月平均用

电量/度

A.98B.103C.108D.112

【答案】C

【解析】

【分析】由频率和为1列方程求x,再根据直方图中［200,280）区间频率求样本中对应的户主人数.

【详解】由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）x20=l,得x=0.0075.

月平均用电量在［200,280）用户20x（0.011+0.0125+0.0075+0.005）x150=108户.

故选：C

7.某班学生的一次的数学考试成绩J（满分：100分）服从正态分布：J〜N（85,b2）,且

尸（83＜4＜87）=03,/（78＜看＜83）=0.12,。偌＜78）=（）

A.0.14B.0.18C.0.23D.0.26

【答案】C

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性计算即可.

【详解】因为J〜N（85,02）,尸（83<4<87）=0.3,

所以'（“83）=匕瞥包=0.35,

又尸（78<*83）=0.12,

所以P（J<78）=P（q<83）-P（78<83）=0.23.

故选；C.

8.已知函数J'（x）="（3-力+9的图象过点（0,1）与则函数/（x）在区间［1,4］上的最大值为

（）

378

2345

【答案】B

【解析】

【分析】由条件列方程求。力，由此可得函数/（X）的解析式，再由基本不等式求其最大值.

【详解】因为函数“X）=a（3—x）+署的图象过点（0,1）与（3,（）,

3b9

所以/（0）=1,/（3）=?,则J44,

!3a=1

解得〃=一,b=3,

3

3TJC

故函数/（X）的解析式为：/（力=；石—§+L

3xXI3（1+1）-3x133x+10_2户亘二

而“X）——4-1---------------------1-1+------

x+13x+133x+\33Vx+133

当且仅当x=2时取等号，

7

函数“X）在区间［1,4］上的最大值为

故选：B.

22

9.已知双曲线。：=-2=13＞。力＞0）的左右焦点分别为6,6，。为c右半支上一点，且

crb-

cos/F；P玛=；,尸£"鸟=2〃，则双曲线。的离心率为（）

A.2B.4C.6D.9

【答案】A

【解析】

【分析】根据数量积的定义可得|p£，pg|=8〃2,结合双曲线的定义可得W@-|pq=2a,进而求解

附|=4a,pE|=2a,由余弦定理即可求解.

【详解】丽.网=2。2,二卜司1际卜。5/隼专=2。2可得'用.卜同=8。2.

又同卜|叫=2%两式联立可得阀|=4a,p司=2«,

|P用2+|P用2一恒用216a2+4标一公2

2

/.cos/耳产工整理可得。2=4。2,

2|叫腔|4

/.c—2a,e=2.

故选：A.

,、11116

10.在等比数列｛《,｝中，公比q=2,且一+——+—+——,则49+40+61+。12=()

。9a\0a\\at24o

A.3B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比数列的性质即可求解.

【详解】

11ri

11111_佝+。12a\〃9+4o+a][+42%+Q[0+。][+。]2

---1-----1----1----—+—+—+——+

〃94。a\\42。92,〃10a\1ciyCiy2q()4]1240

11116.6_%+4o+4]+。[2

---1-----1----1----=29**2a9+4o+〃[]+。]2=12

。94o4]424o。10240

故选:B.

11.定义在R上的函数/（x）满足，①对于互不相等的任意外,与«0,2]都有

f—=/(百)一/(巧),且当X>1时，/(x)>0,②/(x+2)=-/(x)对任意xeR恒成立，③

\x27

y=/（x+2）的图象关于直线％=-2对称，则/（一10）、/[-1）、/（3）的大小关系为（）

A.7(—1]<〃3)B./[-|j</(3)</(-10)

C.f(-10)<〃3)<《—|)D./⑶</(—10)<C)

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的三个条件得到函数/(x)为R上的偶函数，周期为4,且函数/(x)在(0,2]上单调递

增，然后将利用周期、奇偶性和单调性即可比较大小.

【详解】因为y=/(x+2)的图象关于直线％=-2对称，则函数/(X)关于y轴对称，

所以函数/(X)为R上的偶函数，

又因为/(X+2)=—/(x)对任意XeR恒成立，则函数/(幻的周期为4,

/、

又因为对于互不相等的任意修«0,2]都有/%=/(%)-〃々)，

\X2j

且当x>l时，/(x)>0,所以对任意22%>工2>0,则±>1,

X?

X

故有/(%)-f(%)=/(-)>0,所以函数/(X)在(0,2]上单调递增，

则有/⑶=7(3-4)=/(-1)=/(I),/(-10)=/(—10+3x4)=/(2),

9911

/(--)=/(-1+4)=/(--)=/(-),因为函数f(x)在(0,2]上单调递增，

则/(}</(D</⑵，即/[*]<"3)</(-10),

故选：B.

12.已知函数“X)与g(x)定义域都为R,满足/(x)=(x+；),$(.♦),且有

g'(x)+xg'(x)-xg(x)<0,g(l)=2e,则不等式/(x)<4的解集为()

A.(1,4)B.(0,2)C.(f,2)D.(1,+8)

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数结合题意可知/'(力<0,在(9,+8)上单调递减，又〃“<4=/(1),结合单

调性定义可得不等式的解集.

【详解】由/(x)=+可得

g(x)e，+(x+l)g，(x)e'-(x+l)g(x)e'_毋'(x)+g，(x)—xg(x)

"鬲"■

而g'(x)+xg'(x)-xg(x)<0,，/(尤)<0,，/(x)在(-oo,+oo)上单调递减,

又g(l)=2e,则/⑴=/乱1)=竺=4,

ee

所以/(x)<4=/(l),则为>1,

故不等式/(x)<4的解集为(1,+8).

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若“3teR,x2-6办+3。<0”为假命题，则实数。的取值范围为.

【答案】0,1

【解析】

【分析】由“Vx€R,x2-60l+3aNO”为真命题，利用判别式法求解.

【详解】解：由条件可知“VxeR,/—6改+3"之0”为真命题，

则△=36。2一12。W0，即

故答案为：0,1

14.(尤+2)4(x-Ip的展开式中/的系数为.

【答案】24

【解析】

【分析】(x+2)4(x-l)3的展开式中V来自于三类:①(x+2)4中的二次项与(x-l)3的常数项的乘积;②

(x+2)4中的常数项与(x-I)3的二次项的乘积;③*+2)4中的一次项与(x-IF的一次项的乘积.

【详解】展开式中V项为(―IpC；/.22+24-C；X2-(-1)+C：23.f.C；(-1)?=24x2,

f的系数为24.

故答案为：24

15.如图所示，AABC是边长为8的等边三角形，点尸为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点

为点B,则/>£■.P/7的取值范围是.

B

【答案】[39,55]

【解析】

【分析】由向量的数量积公式得出=9,求出|Pq的最大值和最小值即可得出结果.

【详解】由线段EF的中点为点B,得出BF=—BE-

PEPF=（PB+BE）（PB+BF）=（PB+BE）^PB-BE）=[\PB^-\BE^=\PB^-9当点P位于点4

或点C时，|Pq取最大值8.

当点尸位于AC的中点时，网取最小值，即网皿=85呜=46

.♦•网的取值范围为[46,8],PE.PF的取值范围为[39,55].

故答案为：[39,55].

16.直线/：x+y-1=0与椭圆C：三+二=1交于A,5两点，长轴的右顶点为点P,则A8P的面积为

42

【答案】叵

3

【解析】

【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离即可结合三角形面积公式进行求解.

（22

二+匕=1

【详解】直线/与椭圆C联立42'得3炉—4%-2=0.

x+y-1=0,

设点4（%,芳）,3仁,%），则%+々=*P2=-|••所以

I阴=J(1+〃)[■+/)2_4中1=/0+|=孚

由椭圆C知点尸（2,0）,故点尸到直线/:x+y—1=（）的距离:

Vi2+i22

所以.ABP的面积为S=』A6|M=Lx逑x乂2=Y@.

2112323

故答案为：巫.

3

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.已知一ABC的角A,5,C对边分别为a,b,c,满足百acosC+asinC=dbc=—,

3

b+c--J2a=0-

（1）求A；

（2）求外接圆的半径R.

【答案】（1）土

3

⑵—

3

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及和差角公式化简可得sinA=6cosA，结合三角函数同角关系即可

求解，

（2）由余弦定理代入已知关系即可得a=l,由正弦定理即可求解.

【小问1详解】

由gzzcosC+asinC=以及正弦定理可得：＞/3sinAcosC+sinAsinC=V3sinB,

A+B+C=TI，

sinAsinC=V3cosAsinC，

一sinCw0,.\tanA=6，而A£(0,兀)，/.A=y.

【小问2详解】

bc=L,b+c-6a=6

3

,b2+c2-a2(b+c)2-2bc-a22a一厂“1…，

cosA=-----------=--------------------=------算----=-,整理得a2=1

2bc2bc22

3

2R=上，=空.

由正弦定理可得/尺一而一近一亍'..代RJ_7L

T

is.某农科所统计了单位面积某种化肥实施量x（kg）和玉米相应产量y（kg）的相关数据，制作了数据对

照表：

x(kg)1620242936

Y(kg)340350362404454

若在合理施肥范围内X与y具有线性相关关系，

（1）求丫关于％的线性回归方程亍=晟+〃；

（2）请利用线性回归方程预测X=40kg时的玉米产量.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：/=J------;一，a=y-bx-

ZkT

i=l

【答案】（1）y=5.893x+234.675

（2）470.395kg

【解析】

【分析】（1）利用最小二乘法求解；

（2）将x=40kg代入回归方程求解.

【小问1详解】

解：由表中数据计算得，嚏=253=382,

Z（斗一—y）=1438,xj=244,

/=!i=l

5

za-无）（K-刃

b=旦蓝-------------®5.893,

£（七.一可2

1=1

a=亍-菽=382-5.893x25=234.675.

所以回归方程为＞=5.893x+234.675.

【小问2详解】

将x=40kg代入回归方程得＞=5.893x+234,675.

故预测x=40kg时，玉米产量约为5.893x4。+234.675=470.395kg.

19.已知正三棱柱ABC-A中，侧棱长为Q,底面边长为2,。为AB的中点.

（1）证明：

（2）求二面角。—AC—A的大小；

（3）求直线CA与平面A。。所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵-

4

⑶—

6

【解析】

【分析】（1）由正三棱柱的性质可得3与J.平面4BC,再利用线面垂直的判定定理即可证明CD,平面

A5B.A,即可得（2）以4G的中点o为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量与二面

TT

角的几何关系即可求得二面角。-A|C-A的大小为了；（3）根据（2）中结论，利用线面角与空间向量的

4

关系即可得直线C4与平面4CD所成角的正弦值为逅.

6

【小问1详解】

由ABC-44G为正三棱柱可知，SB,1平面ABC,

又CDu平面ABC,所以

由底面是边长为2的正三角形，。为A8的中点，所以CD_LAB；

又BB]CAB=B,64,48匚平面4844，所以CD_L平面山?44；

又ADu平面所以CO，4。；

【小问2详解】

取线段4G,AC的中点分别为0,E,连接OB1,OE,

易知。4,0E,0Ci两两垂直，以。为坐标原点，分别以。£,。耳。片所在直线为工,乂2轴建立空间直角

坐标系。-型，如下图所示；

由侧棱长为正，底面边长为2可得，

4(-1,0,。),。(1,"0)川-1,夜,0),网0,加,@，4e,0,@,

由。为A8的中点可得。

uuir、uuu(3百

所以AC=(2,0,O),OC=-,0,-^-

设平面D\C的一个法向量为n=(x,y,z),

n•A。=2x+41y=0

则《3x/3>令x=l，可得y=-^2,z=；

n-DC^-x--z^O

I22

即〃=(1,-及,6)；

易得潴=仅,0,6)即为平面4。1的一个法向量,

Iuuu

/r£\士照3_V2

所以cos(n,OB1)=riiuu1

'：nOB]忘2

设二面角。-4。一A的平面角为e,由图可知。为锐角,

“UUlTv兀

所以cos0-cosOBq=,即6=1；

TT

即二面角。-AC-A的大小为一.

4

【小问3详解】

由(2)可知为=(—2,0,0),平面D4C的一个法向量为7=(1,—夜,6b

设直线CA与平面4。。所成的角为a,

ruu'

n-CA

所以sina=cos(〃,C4)=旦逅

T-tftF

nCA2a6'

即直线CA与平面A。。所成角的正弦值为YS.

6

20.已知斜率存在的直线/过点尸（1,0）且与抛物线C:y2=2Pxe>°）交于AB两点.

（1）若直线/的斜率为1,"为线段AB的中点，M的纵坐标为2,求抛物线C的方程；

（2）若点。也在x轴上，且不同于点P,直线AQ,BQ的斜率满足即2=0,求点。的坐标.

【答案】（1）y2=4x

⑵。（-1,0）

【解析】

【分析】（1）由题知直线/的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；

（2）设出直线/的方程及。的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出阳原。将

韦达定理代入七°+⑥°=0,化简求出参数即可得点。的坐标.

【小问1详解】

因为直线/的斜率为1且过点尸（1,0）,

所以直线/的方程为：y=x-i,

设4（%,凹）,8小,必），

由卜=2/*,得：1_（2p+2）x+l=0,

y=x-l

所以X]+々=2〃+2,西工2=1，

所以M+丁2=XI+x2-2=2p,

因为M为线段AB的中点，M的纵坐标为2,

所以号=〃=2'

所以抛物线的方程为：y2=4x.

【小问2详解】

设直线/的方程为：>=Z（xT）,Q（肛

V=2px

得：k2x2-(2k2+2p)x+k2=0,

y=Zr(x-l)

所以%+4="也=1,

X।%-1)(尤2-，〃)+我(%2-1)(尤1一”)

由“AQ+《BQ

X)—mx2-m(%1-m)(x2-m)

Zkx、％+2km-(km+k)(X、+x2)

+

XxX2+%2)，"2

2r+2p

2k+2km-(km+k)・

+病

k2

2公+2p

2k+2km-(krn+k)」k2

2

k—=0

k2-m[2k~+2p)+&2m2

由ZwO,

2/2+2〃

所以2%+2加一（攵利+2）・0,

驷一女=0,

kk

所以根=T,

所以点。的坐标为（T,o）.

21.已知函数/（x）=瓜♦：*2+x（a>0）.

（1）若a=l,求函数/（x）在点（1,7（1））处的切线方程；

（2）若函数/（力=1必-（£+了3>0）在其定义域上有唯一零点，求实数。的值.

【答案】（1）2x—2y—1=0

⑵i

【解析】

【分析】（1）求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，

⑵将问题等价转化成x2-2a\wc-2ax=0在（0,+“）有唯一实数解.构造函数g（x）=x2-2a\nx-lax,

和〃（x）=21nx+x—1,利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解.

【小问1详解】

当a=l时，/(1)=一(+1=(,

且r(x)=/7+i"⑴=i，

函数/(X)在点(1,/(1))处的切线方程y-3=X—1,

即2x-2y-l=0.

【小问2详解】

/(力=3-，-/+13>0)在其定义域上有唯一零点，

2a

1

••方程Inx---r9+x=0,

2a

即X2-2a\wc-2cvc=0在(0,+8)有唯一实数解.

设g(x)=x2-2«lnx-2tix,贝i]g'(x)=2r-2"-2"

令g'(x)=°，即f—以―a=0.，a>0,x>0,

.,.12-办一a=0的两个根分别为

u—Ja-+4a八/分+、。+18+4a

x.=-----------<0(舍去)，X,=-------------

122

当工€(0,工2)时，g'(x)<0,g(x)(0,工2)上单调递减，

当xw(孙400)时,g'(x)>0,g(x)在(0,电)上单调递增,

当x=今时，8'(%)=0,8(%)取最小值8(工2)，

'o(X]xf-2tzlnx-2ax=0,

要使g(尤)在(0,+力)有唯一零点，则须>即<22

8\x2)~。,-ax-,-a=0,

/.2cdnx0+陋-Q=0,a>0,「.21nx+x2—l=0.(*)

设函数/z(x)=21nx+x—l,当x>0时/z(x)是增函数，二〃(%)至多有一解

〃⑴=0,.•.方程(*)的解为无2=1，即a+J；+4j],解得a=(,

..•实数。的值为3.

【点睛】思路点睛：利用导数