2024年高考数学二轮复习专题突破专题突破练7　利用导数研究函数的零点（附答案）

专题突破练7利用导数研究函数的零点1.已知函数f(x)=(x3-43x2)ex的定义域为[-1,+∞)(1)求f(x)的单调区间;(2)讨论函数g(x)=f(x)-a在区间[-1,2]上的零点个数.2.(2023·广西柳州二模)已知函数f(x)=xex,g(x)=kx2.(1)求函数f(x)的值域;(2)设F(x)=f(x)-g(x),当x>0时,函数F(x)有两个零点,求实数k的取值范围.3.已知函数f(x)=ax+2ex+1(a∈R(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围;(2)当a≠0时,讨论函数g(x)=f(x)-a-3的零点个数,并给予证明.4.已知函数f(x)=alnx-14x2+b-ln2的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=-12x+(1)求f(x)的单调区间;(2)设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)=f(x)-m的两个零点,求证:x2-x1<32-4m5.(2023·广西北海模拟)已知函数f(x)=aex-x-3(a>0).(1)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围;(2)若函数g(x)=f(x)+x-ln(x+1),g'(x)是g(x)的导函数,证明:g'(x)存在唯一的零点t,且g(t)+2≥lna.6.已知函数f(x)=2exsinx(e是自然对数的底数).(1)求f(x)的单调区间;(2)记g(x)=f(x)-ax,0<a<6,试讨论g(x)在区间(0,π)内的零点个数(参考数据:eπ2≈4.

专题突破练7利用导数研究函数的零点1.解(1)f'(x)=(x3+53x2-83x)ex=x3(3x+8)·(x-因为x∈[-1,+∞),所以函数f'(x)的零点为0和1.所以当0<x<1时,f'(x)<0;当x>1或-1≤x<0时,f'(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为[-1,0),(1,+∞).(2)由(1)知,f(x)在区间[-1,2]上的极大值为f(0)=0,极小值为f(1)=-e因为f(-1)=-73e,f(-1)f(1)=7e2<72.72<1,所以f(1)<f(-1)<0故当a<-e3或a>8e23时,g(当a=-e3或0<a≤8e23时,g当-e3<a<-73e或a=0时,g(x)当-73e≤a<0时,g(x)的零点个数为2.解(1)由f(x)=xex可知f'(x)=(1+x)ex.令f'(x)=0,则x=-1.当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故当x=-1时,f(x)取得极小值,且极小值为f(-1)=-1所以f(x)min=-1e,又f(0)=0,f(x)无最大值所以f(x)的值域为[-1e,+∞)(2)F(x)=xex-kx2=x(ex-kx).令g(x)=ex-kx,则当x>0时,F(x)有两个零点等价于g(x)有两个零点,对函数g(x)求导得g'(x)=ex-k.当k∈(-∞,1]时,g'(x)>0在区间(0,+∞)内恒成立,于是g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.所以g(x)>g(0)=1,因此g(x)在区间(0,+∞)内没有零点,所以F(x)在区间(0,+∞)内没有零点,不符合题意.当k∈(1,+∞)时,令g'(x)=0,得x=lnk,在区间(0,lnk)内g'(x)<0,在区间(lnk,+∞)内g'(x)>0,所以g(x)在区间(0,lnk)内单调递减,在区间(lnk,+∞)内单调递增,所以g(x)的最小值为g(lnk)=k-klnk.由于g(x)在区间(0,+∞)内有两个零点,所以g(lnk)=k-klnk<0,得k>e.因为g(0)=1>0,g(lnk2)=k2-k·lnk2=k(k-2lnk),对于函数y=x-2lnx,y'=1-2x所以在区间(0,2)内,y'<0,函数y=x-2lnx单调递减;在区间(2,+∞)内,y'>0,函数y=x-2lnx单调递增.所以y=x-2lnx≥2-2ln2=lne2-ln4>0,所以g(lnk2)=k(k-2lnk)>0,所以当k>e时,g(x)在区间(0,+∞)内有两个零点.综上所述,实数k的取值范围是(e,+∞).3.解(1)f'(x)=a-2由题意得f'(x)≥0,即a≥2ex在区间(1,+∞当x∈(1,+∞)时,2ex∈(0,2e故实数a的取值范围为[2e,+∞)(2)当a<0时,函数g(x)有且只有一个零点;当a>0时,函数g(x)有两个零点.证明如下:由已知得g(x)=ax+2ex-a-2,则g'(x)当a<0时,g'(x)<0,所以函数g(x)单调递减.又g(0)=-a>0,g(1)=2e-2<0,故函数g(x)有且只有一个零点当a>0时,令g'(x)<0,得x<ln2a令g'(x)>0,得x>ln2a,所以函数g(x)在区间(-∞,ln2a)内单调递减,在区间(ln2a,+∞)内单调递增,而gln2a=a(ln2a−2由于x>lnx,所以a+2a>2所以g(x)在区间(ln2a,a又g(ln2a2+a+2)=a(a-lna2+a+22),且ln2a2+a+2<ln2a,设h(a)=a-lna2+a+22,则h'(a)=1-2而h(0)=0,所以h(a)>0在区间(0,+∞)内恒成立,所以g(ln2a2+所以g(x)在区间(ln2a2+a+2综上所述,当a<0时,函数g(x)有且只有一个零点;当a>0时,函数g(x)有两个零点.4.(1)解由题可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax−12x,又函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=-12x+1,所以f(2)=0,f'(2)=-12,即aln2-1+b-ln2=0,a2-1=-12,解得a=1,b=1,所以f(x)=lnx-14x2+1-所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞).(2)证明由(1)得f(x)=lnx-14x2+1-ln2(x>0),且f(x)在区间(0,2)内单调递增,在区间[2,+∞)内单调递减由题意得f(x1)=f(x2)=m,且0<x1<2<x2,∴x2-x1-32+4m=x2-x1-32+2(f(x2)+f(x1))=2lnx2+x2-12x22+2lnx1-x1-令t1(x)=2lnx+x-12x2,x>2则t1'(x)=(x+1)(x-2)-x,令t1'令t1'(x)<0,得x>2,∴t1(x)在区间(2,2]内单调递增,在区间(2,+∞)内单调递减,∴t1(x)≤t1(2)=2ln2.令t2(x)=2lnx-x-12x2,0<x<2,则t2'(x)=(令t2'(x)>0,得0<x<1;令t2'(x)<0,得1<x<2,∴t2(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间[1,2)内单调递减,∴t2(x)≤t2(1)=-32,∴x2-x1-32+4m≤t1(2)+t2(1)+52-4ln2=1-2ln2∴x2-x1<32-4m5.解(1)令f(x)=0,则a=x+3ex,记m(x)=x+3ex,由题意,直线y=a与函数m(易得m'(x)=-x所以当x∈(-∞,-2)时,m'(x)>0;当x∈(-2,+∞)时,m'(x)<0,即函数m(x)在区间(-∞,-2)内单调递增,在区间(-2,+∞)内单调递减,而m(-2)=e2,m(-3)=0,当x∈(-2,+∞)时,m(x)>0,作出函数m(x)=x+3ex的图象由图可知,当0<a<e2时,直线y=a与函数m(x)=x+3e即实数a的取值范围为(0,e2).(2)依题意,a>0,g(x)的定义域为(-1,+∞).g(x)=aex-3-ln(x+1),则g'(x)=aex-1x+1=1x+1[aex(令h(x)=aex(x+1)-1,a>0,显然h(x)在区间(-1,+∞)内单调递增,又h(-1)=-1<0,h(1a)=e1a(a+1)-所以存在t∈(-1,1a),使得h(t)=0,且当-1<x<t时,h(x)<0;当x>t时,h(x)>又当x>-1时,1x+1>0,所以当-1<x<t时,g'(x)<0;当x>t时,g'(x)故g'(x)存在唯一的零点t;由h(t)=0,得aet=1t所以lna+t=-ln(t+1).因此g(t)+2-lna=aet-ln(t+1)-lna-1=1t+1+t-1=当且仅当t=0时等号成立.故g'(x)有唯一的零点t,且g(t)+2≥lna.6.解(1)函数f(x)=2exsinx的定义域为R.f'(x)=2ex(sinx+cosx)=22exsin(x+π4)由f'(x)>0,得sin(x+π4)>0,可得2kπ<x+π4<2kπ+π(k∈解得2kπ-π4<x<2kπ+3π4(k由f'(x)<0,得sin(x+π4)<0,可得2kπ+π<x+π4<2kπ+2π(k∈Z),解得2kπ+3π4<x<7π4+2kπ所以f(x)的单调递增区间为(-π4+2kπ,3π4+2kπ)(k∈Z),单调递减区间为(3π4+2kπ,7π4+2k(2)由已知g(x)=2exsinx-ax,所以g'(x)=2ex(sinx+cosx)-a,令h(x)=g'(x),则h'(x)=4excosx.因为x∈(0,π),所以当x∈(0,π2)时,h'(x)>当x∈(π2,π)时,h'(x)<0,所以h(x)在区间(0,π2)内单调递增,在区间(π2,π)内单调递减,即g'(x)在区间(0,π2)内单调递增,在区间(π2g'(0)=2-a,g'π2=2eπ2-a>0,g'(π)=-2eπ①当2-a≥0,即0<a≤2时,g'(0)≥0,所以∃x0∈(π2,π),使得g'(x0)=0.所以当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,π)时,g'(x)<0.所以g(x)在区间(0,x0)内单调递增,在区间(x0,π)内单调递减因为g(0)=0,所以g(x0)>0.因为g(π)=-aπ<0,所以由零点存在定理可得,此时g(x)在区间(0,π)内仅有一个零点.②当2-a<0,即2<a<6时,g'(0)<0,所以∃x1∈(0,π2),x2∈(π2,π),使得g'(x1)=0,g'(x2)=当x∈(0,x1),x∈(x2,π)时,g'(x)<0;当x∈(x1,x2)时,g'