无穷级数第一节常数项级数

关于无穷级数第一节常数项级数-1--2-一常数项级数的概念及基本性质1常数项级数的概念引例1.

用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0

表示即内接正三角形面积,ak

表示边数增加时增加的面积,则圆内接正第2页,共54页，2024年2月25日，星期天-3-引例2.小球从1米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的总时间为设

tk

表示第k

次小球落地的时间,第k

次小球跳起的高度为米，因此第3页,共54页，2024年2月25日，星期天-4-定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第

n

项叫做级数的一般项,级数的前

n

项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛

,则称无穷级数并称S

为级数的和,记作第4页,共54页，2024年2月25日，星期天-5-当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散

.显然第5页,共54页，2024年2月25日，星期天-6-例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为第6页,共54页，2024年2月25日，星期天-7-2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.此时第7页,共54页，2024年2月25日，星期天-8-如果级数是发散的。解例2.说明调和级数:是收敛的，则但所以，级数是发散的第8页,共54页，2024年2月25日，星期天-9-例3.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和第9页,共54页，2024年2月25日，星期天-10-(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和第10页,共54页，2024年2月25日，星期天-11-

例4.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为第11页,共54页，2024年2月25日，星期天-12-2无穷级数的基本性质

性质1

若级数收敛于S,则各项乘以常数

c

所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为cS.说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.即第12页,共54页，2024年2月25日，星期天-13-性质2

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数也收敛,其和为即第13页,共54页，2024年2月25日，星期天-14-说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)第14页,共54页，2024年2月25日，星期天-15-例5判别下列级数的敛散性，如果收敛，求其和解（1）因为均收敛，所以收敛，且（2）因为收敛，发散，发散。第15页,共54页，2024年2月25日，星期天-16-性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数第16页,共54页，2024年2月25日，星期天-17-性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:

若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:

收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如第17页,共54页，2024年2月25日，星期天-18-例6.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.第18页,共54页，2024年2月25日，星期天-19-设收敛级数则必有证:可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.性质5.收敛级数的必要条件注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.第19页,共54页，2024年2月25日，星期天-20-例7.说明下列级数是发散的解（1）所以原级数是发散的（2）所以原级数是发散的（3）级数是发散第20页,共54页，2024年2月25日，星期天-21-（4）故从而这说明级数(1)发散.第21页,共54页，2024年2月25日，星期天-22-二正项级数及其判敛法若基本定理

收敛的充要条件是部分和有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数

.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”正项级数序列第22页,共54页，2024年2月25日，星期天-23-都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若级数则级数(2)若级数则级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示级数是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨部分和,则有第23页,共54页，2024年2月25日，星期天-24-(1)若级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若级数因此这说明级数也发散.也收敛.发散,收敛,级数第24页,共54页，2024年2月25日，星期天-25-例8.讨论p-级数的收敛性解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p

级数发散.发散,第25页,共54页，2024年2月25日，星期天-26-因为当故考虑级数的部分和故级数时,2)若p

级数收敛.收敛,由比较审敛法知第26页,共54页，2024年2月25日，星期天-27-重要参考级数:几何级数,p-级数,调和级数.例9.判别下列级数的敛散性

解(1)

而

发散,

所以

原级数发散第27页,共54页，2024年2月25日，星期天-28-(2)收敛，所以收敛.(3)收敛，所以收敛.(4)

所以

原级数收敛收敛第28页,共54页，2024年2月25日，星期天-29-例10.判别下列级数的敛散性解(1)当时，则级数发散，所以级数发散.第29页,共54页，2024年2月25日，星期天-30-(2)时，对于级数由于则收敛，所以级数收敛.第30页,共54页，2024年2月25日，星期天-31-定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当0<l<∞

时,第31页,共54页，2024年2月25日，星期天-32-由定理2可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0<l<∞时,(2)当l=

0时,由定理2知收敛,若第32页,共54页，2024年2月25日，星期天-33-特别取推论（极限判别法）设为正项级数，如果则级数收敛；如果则级数发散；第33页,共54页，2024年2月25日，星期天-34-例11判别下列级数的敛散性解(1)～根据比较审敛法的极限形式知(2)根据比较审敛法的极限形式知收敛第34页,共54页，2024年2月25日，星期天-35-(3)～根据比较审敛法的极限形式知(4)∼根据比较审敛法的极限形式知第35页,共54页，2024年2月25日，星期天-36-例12判别级数的敛散性.解当时当时，当时发散，当时，收敛根据比较审敛法的极限形式知第36页,共54页，2024年2月25日，星期天-37-定理4.比值审敛法

(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知第37页,共54页，2024年2月25日，星期天-38-因此所以级数发散.时(2)当说明:

当时,级数可能收敛也可能发散.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.从而第38页,共54页，2024年2月25日，星期天-39-注意(1)当时比值审敛法失效;条件是充分的,而非必要.(2)第39页,共54页，2024年2月25日，星期天-40-(3)在判别收敛时，求极限过程不可缺，而事实上第40页,共54页，2024年2月25日，星期天-41-例13判别下列级数的收敛性:(1)(2)(3)解(1)所以收敛.第41页,共54页，2024年2月25日，星期天-42-比值审敛法失效,改用比较审敛法(2)所以发散第42页,共54页，2024年2月25日，星期天-43-的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;例14.讨论级数第43页,共54页，2024年2月25日，星期天-44-

对任意给定的正数定理5.

根值审敛法(Cauchy判别法)设为正则证明提示:

即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.项级数,且第44页,共54页，2024年2月25日，星期天-45-例15.证明级数收敛于S,近似代替和S

时所产生的误差.解:

由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn第45页,共54页，2024年2月25日，星期天-46-三任意项级数则各项符号正负相间的级数称为交错级数

.定理6

.(Leibnitz

判别法)

若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足1交错级数第46页,共54页，2024年2月25日，星期天-47-证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故第47页,共54页，2024年2月25日，星期天-48-例16