信号与系统：第5讲 从LTI系统的微分差分方程表征到方框图实现

第五讲从LTI系统的微分/差分方程表征到方框图实现内容提要用微分方程描述的连续时间LTI系统用差分方程描述的离散时间LTI系统LTI系统的方框图实现奇异函数内容提要用微分方程描述的连续时间LTI系统用差分方程描述的离散时间LTI系统LTI系统的方框图实现奇异函数连续时间系统的微分方程描述输入输出电阻电容

微分方程线性常系数微分方程N阶线性常系数微分方程微分方程给出的是系统的一种隐含的特性N反映系统的复杂程度，ak、bk反映系统的输出与哪些因素有关，以及关联程度如何实际中一般应满足线性常系数微分方程的时域求解

特解，是一个与输入x(t)同类型的函数通解，是如下齐次微分方程的解(齐次解)：受迫响应自然响应线性常系数微分方程的时域求解假设该齐次方程的解具有如下形式：将其代入齐次微分方程，可得：

该方程有N个根如果没有重根，则：线性常系数微分方程的时域求解不同的附加条件导致不同的解初始松弛条件初始松弛：若t<t0时，x(t)=0，那么t<t0时，y(t)=0。初始松弛的意义：在初始松弛条件下，线性常系数微分方程所描述的系统是因果线性时不变系统。零初始条件：线性常系数微分方程的时域求解应用初始松弛条件，则有：所以：系统的完全解为：内容提要用微分方程描述的连续时间LTI系统用差分方程描述的离散时间LTI系统LTI系统的方框图实现奇异函数离散时间系统的差分方程描述房贷问题：住房问题已成为最受关注的社会话题之一。A君因为买房从银行贷了10万元的款，其利息按每年未偿还金额的12%来计算（或者说月利息为1%），例如，第一个月，总的欠款等于一个现实的问题就是要确定月供（亦即每月需要偿还的金额），以使得在某一规定时间内，贷款全部还清。离散时间系统的差分方程描述为了研究这个问题，需要首先建立欠款的数学模型——差分方程。令y[n]表示第n个月支付还款后余下的未付欠款。假设贷款是在第0个月借的，第一个月开始每月偿还，则第n个月余下的未付还款可以表示为：贷款+利息本月还款线性常系数差分方程N阶线性常系数差分方程对差分方程不必限制差分方程的时域求解方法与微分方程类似：特解+齐次解其中：是方程的N个根。假设没有重根线性常系数差分方程的时域求解N=0：这表示的就是一个LTI系统，其脉冲响应为：有限长脉冲响应(FiniteImpulseResponse,FIR)系统线性常系数差分方程的时域求解N：为了计算y[n]，就需要知道y[n-1],y[n-2],…,y[n-N]，即：需要给定一组附加条件。递归方程线性常系数差分方程的时域求解假设每月还款额是一常数D，则：线性常系数差分方程的时域求解30年内付给银行的总金额为：如果计划30年还清贷款，可令y[360]=0，得到：银行为什么要发放贷款？初始松弛条件初始松弛：若n<n0时，x[n]=0，那么n<n0时，y[n]=0。初始松弛的意义：在初始松弛条件下，线性常系数差分方程所描述的系统是因果线性时不变系统。零初始条件：线性常系数差分方程的时域求解由初始松弛条件可得y[-1]=0，所以：无限长脉冲响应(InfiniteImpulseResponse,IIR)系统内容提要用微分方程描述的连续时间LTI系统用差分方程描述的离散时间LTI系统LTI系统的方框图实现奇异函数连续时间LTI系统的方框图实现涉及的三种基本运算：相加、乘以系数、微分×连续时间LTI系统的方框图实现线性常系数积分方程连续时间LTI系统的方框图实现连续时间LTI系统的直接I型实现连续时间LTI系统的方框图实现连续时间LTI系统的直接II型实现离散时间LTI系统的方框图实现涉及的三种基本运算：相加、乘以系数、延迟离散时间LTI系统的方框图实现离散时间LTI系统的方框图实现离散时间LTI系统的直接I型实现离散时间LTI系统的方框图实现离散时间LTI系统的直接II型实现内容提要用微分方程描述的连续时间LTI系统用差分方程描述的离散时间LTI系统LTI系统的方框图实现奇异函数作为理想化短脉冲的单位冲激很多看起来很不相同的信号，在极限之下都表现为一个冲激。作为理想化短脉冲的单位冲激表现为一